Capítulo 23: Lei de Gauss

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1 Capítulo 23: Lei de Gauss

2 O Fluxo de um Campo Elétrico A Lei de Gauss A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb Um Condutor Carregado A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica A Lei de Gauss: Simetria Plana A Lei de Gauss: Simetria Esférica

3 Definição Definição: A Lei de Gauss considera uma superfície fechada (imaginária) ue envolve a distribuição de cargas. Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter ualuer forma, por isso devemos optar por uma ue facilite o calculo do campo, levando em consideração as simetrias do problema.

4 O Fluxo Fluxo v A v A cos No caso do Fluxo Elétrico: E A E A cos Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico E e o vetor normal à área A.

5 O Fluxo Elétrico O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico ue atravessam a superfície. Definição: P/ Superfícies Gaussianas: E nˆ da E nˆ da nˆ O vetor Normal,, sempre aponta para fora da superfície Gaussiana

6 Exemplo: 1. Um disco com raio r = 1 cm está orientado de modo ue seu vetor normal faça um ângulo de 3 com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 1 3 N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b) Qual o fluxo de campo elétrico depois ue ele gira e a normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c) Qual o fluxo elétrico através do disco uando sua normal é paralela à E? (54 N.m 2 /C; ; 63 N.m 2 /C) 2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixo atravessa um cubo gaussiano com 2, m de aresta, posicionado como na figura ao lado. Determine o fluxo de campo elétrico através das faces: (a) superior; (b) inferior; (c) esuerda ; (d) traseira. (e) Qual o fluxo elétrico total através do cubo? a)-12 N.m 2 /C; b) 12 N.m 2 /C; c) -16N.m 2 /C; d) ; e) E / 4 yiˆ 3ˆj N C

7 A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no erior dessa superfície. Definição: ˆ E nda O fluxo elétrico não depende da geometria da superfície fechada, apenas da carga elétrica contida no seu erior. Se a carga for positiva, o campo elétrico aponta para fora da superfície. Se a carga for negativa, o campo elétrico aponta para dentro da superfície. O vetor normal à superfície, nˆ, sempre aponta para fora da superfície.

8 Exemplo: 1. Sabendo ue 1 = 4 = 3,1 nc, 2 = 5 = - 5,9 nc e 3 = - 3,1 nc, determine o fluxo do campo elétrico através da superfície S. (- 67 N.m 2 /C) E nda ˆ Observa-se experimentalmente ue o campo elétrico em uma certa região da atmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 3 m o campo tem módulo de 6 N/C, e a uma altura de 2 m o campo tem módulo de 1 N/C. Determine a carga em excesso contida em um cubo de 1 m de aresta e faces horizontais a 2 m e 3 m. (3,54 μc)

9 Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual Cuidados na Escolha da Superfície Gaussiana! Escolher uma superfície ue envolve a carga ue facilite o calculo da área. Essa superfície deve conter o ponto no ual o campo elétrico deve ser determinado. Ao longo dessa superfície o campo deve apresentar uma dependência espacial conhecida (de preferência constante). E nda ˆ 1 2 E 1 E(4r ) 2 E rˆ 4 r 2 4 r

10 Um Condutor Carregado Em um condutor as cargas em excesso se movimentam com bastante facilidade. Devido a repulsão coulombiana essas cargas migram para a superfície externa do condutor. Isso ocorre em um ervalo de tempo muito curto, uase instantaneamente. As cargas se distribuem na superfície externa de modo a minimizar a energia do sistema. A gaiola de Faraday Em um condutor no regime estático E = E 1 = E 2 = E 3

11 r Exemplo: Esfera Condutora R da Superfície Gaussiana E Se r R E 1 4 r Campo elétrico de uma carga puntiforme Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse situada no centro. 2 r R Superfície Gaussiana Se r R E Se uma partícula carregada está situada no erior de uma casca uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula. R E 1 r 2

12 Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes) Se r < R: Apenas as cargas contidas no erior da esfera de raio r contribuem para gerar campo elétrico no ponto p. 4R 3 4r Q ˆ E nda E(4r 2 ) E Qr 4 R Qr 3 Qr 3 3 R 3 R 3

13 Distribuição Esférica Exemplos: 23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com 1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficial de 8,1 µc/m 2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine o fluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 1-5 C; 4,14x1 6 Nm 2 /C) Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de 1cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x1-8 C, e da casca maior é 2x1-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm, (b) r = 12 cm e (c) r = 2 cm. ( N/C; 2,5x1 4 N/C; 1,35x1 4 N/C)

14 Distribuição Esférica Exemplos: 23.51) Na figura uma esfera maciça nãocondutora de raio a a = 2 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio erno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. A esfera possui um carga 1 = +5 fc e a casca possui uma carga 2 = -5 fc. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = ; (b) em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e) em r =3,5 a. (a) ; b) 5.62x1-2 N/C ;c).112 N/C; d).499 N/C; e) )

15 Distribuição Linear Infinita de Cargas E nda ˆ E // nˆ h E(2rh) h E 1 2 rˆ r

16 Exemplo: Distribuição Linear de Cargas Uma casca cilíndrica de comprimento 2m e raio 6cm tem uma densidade superficial de carga uniforme de 9 nc/m 2.(a) Qual a carga total na casca? Determine o campo elétrico nas segues distâncias radiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 1 cm. (679 nc; ; ; 1 N/C; 61 N/C). E nda ˆ A 2rh E 1 2 rˆ r

17 Superfície Condutora Infinita E nda ˆ E // nˆ EA A E

18 Superfície Fina, não Condutora, Infinita E nda ˆ E // nˆ EA EA A E 2

19 Entre Duas Placas Condutora Infinita E nda ˆ EA 2 A E // nˆ A E

20 Exemplo: Placas Infinitas A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, nãocondutoras, ambas com uma carga uniforme dos lados. Os valores das densidades superficiais de cargas são σ + = 6,8µC/m 2 e σ - = -4,3µC/m 2.Determine o campo elétrico (a) à esuerda; (b) entre e (c) à direita das placas. (1,4x1 5 N/C; 6,3x1 5 N/C)

21 Lista de Exercícios 1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81 Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8 a ed. Rio de janeiro: LTC, 29. v3. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2. v2. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 28. v3.