Lei de Gauss. Quem foi Gauss? Um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ignez Caracelli 11/17/2016

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1 Lei de Gauss Ignez Caracelli Quem foi Gauss? Um dos maiores matemáticos de todos os tempos Um professor mandou ue somassem todos os números de um a cem. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.5. Carl Friedrich Gauss ( ) Como ele fez a conta tão rápido?

2 Quem foi Gauss? Um dos maiores matemáticos de todos os tempos Carl Friedrich Gauss ( ) 3 Quem foi Gauss? Um dos maiores matemáticos de todos os tempos Carl Friedrich Gauss ( ) = n (n + ) 4

3 De ue trata a Lei de Gauss? fornece um método para descrição de campos e de cargas elétricas alternativa à Lei de Coulomb para expressar a relação entre a carga elétrica e o campo elétrico uso da simetria do problema uso de superfícies imaginárias 5 O ue precisamos saber? Conceitos Básicos Campo elétrico Linha de campo elétrico Lei de Coulomb Princípio de uperposição Por ue precisamos saber? Pontos principais Facilita a solução de problemas (simetria) uação de Maxwell para eletricidade uação de Maxwell para o magnetismo 6 3

4 Definições Básicas: Campo létrico Linhas de campo elétrico 7 pergunta v o O Problema P (P)? ual é o campo - elétrico produzido por uma dada distribuição de cargas em um dado ponto P? resposta distribuição conjunto de cargas puntiformes cada carga produz um campo i campo elétrico resultante r 8 4

5 O Problema Inverso conhecido a configuração do campo elétrico em uma dada região pergunta o ue se pode dizer da distribuição de cargas? 9 A superfície imaginária a caixa pode conter ou não cargas a caixa não produz efeito sobre caixa ideal superfície imaginária a caixa superfície fechada 5

6 A superfície imaginária superfície imaginária a caixa superfície fechada superfície fechada: divide o espaço em uma região no interior e outra no exterior da superfície uantidade de carga no interior da caixa? Carga elétrica e Carga de prova + + F 6

7 O Campo létrico na uperfície da Caixa para fora fluxo elétrico para dentro 3 Fluxo létrico carga resultante nula dentro da caixa? = caixa vazia = em todos os pontos = 4 7

8 Fluxo létrico + - carga resultante nula dentro da caixa? cargas positivas e negativas de mesmo módulo para dentro = para fora = 5 Fluxo létrico carga resultante nula dentro da caixa? + caixa vazia imersa em um campo elétrico uniforme = para dentro + laterais + para fora = 8

9 Fluxo létrico carga resultante nula dentro da caixa? resultante através da superfície = carga resultante dentro da caixa = 7 resultante através da superfície Fluxo létrico caixa A caixa B = caixa A + caixa C = caixa A 8 9

10 Fluxo létrico Vimos ue existe uma conexão entre : o sinal da carga dentro da caixa positivo negativo nulo sentido do fluxo resultante através da superfície para fora para dentro nenhum Fluxo létrico Vimos ue existe uma conexão entre : o módulo da carga dentro da superfície fechada intensidade através da superfície módulo da carga dentro da superfície

11 Fluxo létrico Conclusões independentes do tamanho da caixa caixa A carga + A caixa C = caixa A (dimensões lineares) caixa C carga + /r valor médio de C em cada face ¼ A, mas a área de cada face A C é 4 vezes maior ue A A A = C para cada face: = face (componente de médio A facec ) Lei de Gauss ualitativa As observações feitas aui constituem uma formulação ualitativa da Lei de Gauss as observações permanecem válidas para outros tipos de distribuição de cargas? outras superfícies fechadas com formas arbitrárias? IM precisamos uma definição matemática de

12 Determinação do Fluxo létrico analogia entre um campo elétrico e um campo de velocidades v no escoamento de um fluido. observação: campo elétrico não escoa!!!!!!!!!!!!! 3 Determinação do Fluxo létrico vazão volumétrica através da espira A = fluido escoando de modo estacionário dv dt e v é a mesma em todos os pontos do fluido dv dt = va velocidade de escoamento v espira de área A v

13 Determinação do Fluxo létrico fluido escoando de modo estacionário vazão volumétrica através da espira A = dv dt = va cos velocidade de escoamento v espira de área A não v dv dt dv dt = v A 5 vetor de área A? dv dt Determinação do Fluxo létrico dv dt = v A = v A módulo fornece a área A e a direção é perpendicular ao plano ue estamos descrevendo v A produto escalar = v A cos substituímos dv por dt substituímos v por = A 6 3

14 F = A cos F = A Fluxo létrico fluxo elétrico F = produto da área da superfície componente cos do campo elétrico perpendicular à superfície. e A são paralelos, cos θ = F = F = A cos e A são s, cos θ = 7 Determinação do Fluxo létrico se não-uniforme? se A é parte de uma superfície curva? da nˆ da A da da nˆ da = da definição geral do fluxo elétrico 8 4

15 Fluxo de Campo létrico ϕ 9 Fluxo através de uma esfera, devido a uma carga puntual campo elétrico de uma carga puntiforme 4π r cada ponto da superfície + = todos os pontos superfície gaussiana (G) esfera da raio r A G contém a carga pontual r é a distância da carga ao ponto onde uer se calcular 3 5

16 Fluxo através de uma esfera, devido a uma carga puntual fluxo sobre uma esfera de raio r é área r F 4 r 4 r 4 r então F área 3 para esferas de raios diferentes FR F R O fluxo elétrico independe do raio R da esfera; depende apenas da carga contida em seu interior 3 6

17 n da fluxo da n da i i V V dv dv conjunto discreto de cargas distribuição contínua de cargas A Lei de Gauss da Q dentro Lei de Gauss 34 7

18 Lei de Gauss Relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga Q dentro dessa superfície 35 + r carga puntiforme da da k r (4πr da ) 4π r 8

19 esfera condutora uniformemente carregada dentro da da (4πr ) 4π r 37 carga distribuída ao longo de um fio retilíneo da v o l superfície gaussiana

20 carga distribuída ao longo de um fio retilíneo Q da dentro da da ( rl) Qdentro l ( r l) l r - comprimento do fio l densidade linear de carga: v o l superfície gaussiana 39 carga distribuída ao longo de um plano infinito A superficie gaussiana 4

21 carga distribuída ao longo de um plano infinito Qdentro A da da 3 cálculo do em um ponto próximo ao plano A3 da da da superficie gaussiana d densidade superficial de carga: A d A fluxo através do cilindro 3 4 carga distribuída ao longo de um plano infinito da da 3 da superficie gaussiana A da da d seções circulares da da A A A da A Qdentro A A A 4

22 campo entre duas placas paralelas carregadas carga distribuída ao longo de um plano infinito 43 esfera condutora uniformemente carregada dentro 4π r 44

23 esfera condutora esfera isolante dentro esfera condutora esfera isolante 45 campo de uma esfera isolante uniforme carregada raio da esfera: R raio da superfície gaussiana: r superfície gaussiana esferas concêntricas se r > R densidade volumétrica de carga: Q V carga total da esfera Q 4 R 3 3 volume total da esfera 46 3

24 campo de uma esfera isolante uniforme carregada se r < R superfície gaussiana Q dentro carga dentro da superfície gaussiana Q dentro = V dentro Q dentro Q dentro Q Q 4 r R 3 Q 3 r 3 R 3 r Q 3 R dentro 3 47 campo de uma esfera isolante uniforme carregada se r < R superfície gaussiana usando a Lei de Gauss: F 4 r 3 r 4 r 3 R Q o Q r 3 4 o R campo no interior da esfera uniformemente carregada (r < R) 48 4

25 campo de uma esfera isolante uniforme carregada se r < R se r > R Q dentro = Q superfície gaussiana usando a Lei de Gauss: F 4 r Q 4 r o Q 4 o r campo no exterior da esfera uniformemente carregada (r > R) 49 Lei de Gauss para o Magnetismo Fluxo Magnético Lei de Gauss Monopolos Magnéticos 5 5

26 Fluxo létrico e Fluxo Magnético Fluxo létrico Fluxo Magnético B e e A são F A e B e A são F B BA Caso geral F Acos ϕ = A F B B Acos ϕ B = B A 5 letrostática Lei de Gauss Fluxo total através de uma superfície fechada F,superfície Q dentro carga contida dentro da superfície Magnetismo Fluxo total através de uma superfície fechada F B BdA, superfície não há monopólos magnéticos (hoje!!!!) 5 6

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