( ) r. (b) (c) (d) ( ) 2a. (f) Gabarito Pág. 1

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Primeira Prova (Diurno) Disciplina: Física III-A - 017/ Data: 11/09/017 do campo elétrico externo. Assinale a alternativa que melhor descreve o movimento subsequente do centro de massa (CM) do dipolo e o movimento de rotação do dipolo em torno de um eixo paralelo a OZ e que passa pelo CM. Seção 1: Múltipla Escolha (5 0,9 = 4,5 pontos) 1. Sobre as linhas de um campo eletrostático não nulo, considere as afirmativas abaixo: (I) Duas linhas de um campo eletrostático nunca podem se cruzar, caso contrário o campo ficaria indefinido nos pontos de cruzamento. (II) O potencial eletrostático aumenta ao longo de uma linha de campo no sentido de sua orientação. (III) Linhas de campo eletrostático nunca podem ser fechadas, caso contrário o campo não teria caráter conservativo. São VERDADEIRAS as afirmativas: (a) I e III (b) I (c) II (d) III (e) I e II (f) II e III (g) I, II e III (h) Nenhuma delas.. Um cilindro circular infinito, isolante, de raio R possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme. Que tipo de dependência com a distância s ao eixo do cilindro podemos esperar para a intensidade do campo elétrico, E(s), nas regiões do espaço definidas por s < R e s > R, respectivamente? (a) E(s < R) s; E(s > R) 1 s ; (b) E(s < R) = 0; E(s > R) 1 s ; (c) E(s < R) = 0; E(s > R) 1 s ; (d) E(s < R) s; E(s > R) 1 s ; (e) E(s < R) s ; E(s > R) 1 s ; (f) E(s < R) s ; E(s > R) 1 s ; 3. Um dipolo elétrico é formado por duas partículas de mesma massa e cargas +q e q (q > 0), unidas por um bastão rígido, fino, isolante e de massa desprezível. Ele encontra-se inicialmente em repouso em uma região de campo eletrostático externo não-uniforme, como mostrado na figura abaixo. Seu eixo está inicialmente paralelo ao eixo OY do sistema de coordenadas e as linhas orientadas representam as linhas (a) O CM se deslocará no sentido +ŷ e as cargas irão girar em sentido horário. (b) O CM se deslocará no sentido +ŷ e as cargas irão girar em sentido anti-horário. (c) O CM se deslocará no sentido ˆx e as cargas irão girar em sentido horário. (d) O CM se deslocará no sentido ˆx e as cargas irão girar em sentido anti-horário. (e) O CM permanecerá em repouso e as cargas irão girar em sentido horário. (f) O CM permanecerá em repouso e as cargas irão girar em sentido anti-horário. 4. O potencial eletrostático numa região do espaço é dado por V(r) = V 0 exp( r /a ), onde V 0 e a são constantes e r é a distância até a origem de um sistema de coordenadas. Sendo ˆr o unitário da direção radial, o campo elétrico nessa região do espaço é dado por: ( ) r (a) a V(r) ˆr ( ) r (b) a V(r) ˆr ( ) r (c) a V(r) ˆr ( ) r (d) a V(r) ˆr ( ) a (e) V(r) ˆr (f) r ( a r ) V(r) ˆr 5. Sobre capacitores e dielétricos, considere as afirmativas abaixo: (I) Numa associação em série de capacitores, a diferença de potencial em cada capacitor da associação é a mesma diferença de potencial atuando no capacitor equivalente. (II) Numa associação em paralelo de capacitores, a carga do capacitor equivalente é a soma das cargas em cada um dos capacitores da associação. Gabarito Pág. 1

2 (III) Um material dielétrico é inserido em um capacitor de placas planas e paralelas de forma a ocupar todo o volume entre as placas. Se o capacitor for mantido isolado durante a inserção, a energia potencial elétrica armazenada nele será maior do que antes da inserção. São VERDADEIRAS as afirmativas: (a) II (b) I (c) III (d) I e II (e) I e III (f) II e III (g) I, II e III (h) Nenhuma delas. Gabarito Pág. 1

3 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 017/ Primeira Prova: 11/09/017 (Diurno) F e = q E, x dx x+a E = k0 q r ˆr U = k 0 qq ( k 0 = 1 4πǫ 0 Formulário ), S E d A = QS int ǫ 0, E = V, V = k0 q r, r, C = Q/V, U = 1 QV, u E = 1 ǫ 0E, = x aln x+a + const, ln ( ) 1+x = x+ 1 x 3 x ( se x < 1 ) Seção : Questões Discursivas (,5 + 3,0 = 5,5 pontos) 1. (,5 pontos) Uma barra fina e isolante de comprimento a é posicionada sobre o eixo OX de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade linear de carga não-uniforme dada por λ(x ) = λ 0 x /a ( a x a), onde λ 0 é uma constante positiva. Considere que o potencial elétrico é nulo no infinito. (a) Determine o potencial elétrico em um ponto P sobre o eixo OX, a uma distância x > a da origem. (1,5 pontos) (b) Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item (a) no limite x a. Interprete o resultado. (1,0 ponto). (3,0 pontos) Uma partícula de carga Q é colocada no centro de um condutor em formato de casca esférica, de raios interno a e externo b (b > a), carregado com carga total Q. A situação é mostrada na figura abaixo. Sabe-se ainda que o sistema está em equilíbrio eletrostático. (a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nas regiões do espaço definidas por r < a, a < r < b e r > b, onde r é a distância ao centro da casca. Esboce o gráfico de sua intensidade como função de r. (1,5 pontos) (b) Determine a densidade superficial de carga nas superfcies interna e externa da casca condutora. (0,7 ponto) (c) Num ponto P distando b do centro do condutor é colocada e fixada uma partícula de carga Q. Após reestabelecido o equilíbrio eletrostático no condutor, a força elétrica sobre essa nova carga será atrativa, repulsiva ou nula? Justifique sua resposta. (0,8 ponto) 1

4 Gabarito Seção : Questões Discursivas (,5 + 3,0 = 5,5 pontos) 1. Resolução: (a) Considere um elemento de comprimento infinitesimal dx, localizado em uma coordenada x com relação ao ponto O. Este elemento está a uma distncia x x do ponto P, como mostrado na figura abaixo. Ele possui uma carga dq = λ(x )dx = λ 0 (x /a)dx. Dessa forma, como ele pode ser tratado como uma carga puntiforme, sua contribuição para o potencial elétrico em P é dada por: dv = 1 dq = 1 λ 0 x dx. 4πǫ 0 x x 4πǫ 0 a x x Assim, o potencial elétrico total no ponto P será: +a 1 λ 0 x dx V(x) = dv = = λ 0 4πǫ 0 a x x 4πǫ 0 a a +a a x dx x x. A integral acima pode ser resolvida usando a integral fornecida no formulário, resultando em: V(x) = λ [ 0 xln 4πǫ 0 a ( ) ] x+a a. x a (b) Utilizando a expansão fornecida para o logaritmo, temos que, para x a: ( ) ( ) x+a 1+a/x ln = ln a x a 1 a/x x + ( a ) 3. 3 x Substituindo na expressão do potencial, obtemos: V(x) λ ( 0 a ). 6πǫ 0 x Vemos então que o potencial cai com 1/x nesse limite, correspondendo ao de um dipolo elétrico. Isto ocorre porque a carga total da barra é nula, Q = dq = +a a λ(x )dx = 0, de forma que a contribuição de monopolo está ausente. A barra claramente apresenta uma contribuio de dipolo elétrico, uma vez que ela possui uma concentração de cargas negativas em x < 0 e positivas em x > 0.. Resolução: (a) No interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico deve ser nulo, caso contrário haveria movimento efetivo de cargas. Dessa forma, temos: E(r) = 0, a < r < b Podemos agora desenhar uma superfície gaussiana esférica S 1 inteiramente contida na parte maciça do condutor, como mostrado na figura abaixo. Utilizando a informaçao acima, vemos que o fluxo de campo elétrico através de S 1 deve ser nulo. Portanto, pela lei de Gauss, uma carga Q deve se distribuir pela superfície interna do condutor para compensar a carga +Q no interior da cavidade, uma vez que não devehaveracúmulodecargasnointeriordesuapartemaciça. Alémdisso, comoocondutortemsimetria esférica e a partícula carregada está no centro da cavidade, essa carga se distribuirá uniformemente sobre a superfície interna do condutor. Por fim, como a carga total do condutor vale Q, concluímos que a carga total sobre a sua superfície externa é nula. Novamente, usando a simetria do problema, vemos que não haverá acúmulo de carga em nenhum ponto sobre essa superfície. Vemos então que a distribuição de cargas no sistema apresenta simetria esférica, de forma que o campo elétrico terá a forma E = E(r)ˆr, onde r é a distância ao centro da casca condutora e ˆr é o unitário da 1

5 direção radial. Para explorar essa simetria, podemos desenhar outra superfície gaussiana esférica S de raio arbitrário r, como mostrado na figura abaixo (para r > b). O fluxo de campo elétrico através dessa superfície será dado por: Φ S E S = E.d A = E.ˆndA S = E(r)ˆr.ˆrdA = E(r)dA = E(r) da = E(r)4πr, S S S onde usamos que o vetor normal é dado por ˆr e que a intensidade do campo elétrico é constante sobre todos os pontos de S, de modo que ela pode ser retirada da integral. Por outro lado, a carga total no interior de S dependerá do valor de r, de acordo com as três regiões de interesse. Para r > b, temos Q S int = 0, uma vez a soma das cargas da partícula e das superfícies interna e externa do condutor é nula. Portanto, a lei de Gauss dá: Φ S E = QS int ǫ 0 E = 0, r > b Para a < r < b, temos também que Q S int = 0, de forma que E(r) = 0, em acordo com a nossa discussão inicial. Por fim, para r < a, a superfície gaussiana englobará apenas a partícula no interior da cavidade, de forma que Q S int = Q. Portanto, aplicando a lei de Gauss: Φ S E = QS int ǫ 0 E(r)4πr = Q ǫ 0 E = 1 4πǫ 0 Q r ˆr, r < a O gráfico da intensidade de E como função da distância r `sa origem é mostrado abaixo. Note que há uma descontinuidade em r = a por causa da distribuição de cargas na superfície interna da casca. (b) Como vimos acima, uma carga Q se distribuirá uniformemente sobre a superfície interna do condutor e não haverá nenhum acúmulo de carga na superfície externa. Assim, as densidades superficiais de carga serão: σ sup int = Q 4πa e σ sup ext = 0

6 (c) Note que a nova partícula é colocada na região exterior à casca condutora. Dessa forma, ela induzirá uma polarização na superfície externa da casca, que continuará tendo carga nula mas possuirá agora uma densidade superficial de carga não-uniforme. Por outro lado, pode-se mostrar que a distribuição de cargas na superfície interna permanecerá inalterada, continuando uniforme. Em razão da polarização na superfície externa, teremos cargas de sinal oposto ao da nova partícula acumuladas em uma região da esfera mais próxima dela e cargas de mesmo sinal acumuladas em uma região mais afastada. Portanto, como a força que elementos de carga exercem sobre a partícula diminui de intensidade com a distância, vemos que a força resultante que a nova partícula sentirá terá caráter atrativo. 3