Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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2 - Eletrostática Energia e Potencial Elétrico (Capítulo 4 - Páginas 75 a 84no livro texto) Energia despendida no movimento de uma carga imersa num campo Elétrico. Diferença de potencial e potencial. 2

3 - Eletrostática Trabalho e Potencial Elétrico A Lei de Coulomb pode ser usada (indiretamente) para calcular o campo E de cargas pontuais e pelo princípio da superposição, vimos que é possível chegar a expressões para calcular os campos gerados por distribuições de cargas. A Lei de Gauss permite simplificar bastante o cálculo da distribuição de campos em problemas com simetrias espaciais. Agora vamos definir um potencial elétrico V (campo escalar), que está diretamente associado com o campo elétrico E (campo vetorial). Mais adiante vamos definir expressões que relacionam diretamente este potencial escalar com as fontes de campo (cargas). 3

4 - Eletrostática Trabalho e Potencial Elétrico O trabalho diferencial realizado para mover uma carga Q imersa em um campo elétrico E ao longo de uma distância diferencial dl é: onde d l = â l dl dw = Q E d l, 1 Note que se E e dl forem perpendiculares o trabalho é nulo: 2 O sinal negativo é devido à convenção de que o trabalho é realizado por um agente externo (não pelo campo elétrico). O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita é: W = Q final inicial E d l 4

5 - Eletrostática Exemplo Dado o campo elétrico: E = 1 z 2 ( 8xyzâ x + 4x 2 zâ y 4x 2 yâ z ) [V / m], calcule a quantidade diferencial de trabalho exercido no deslocamento de uma carga de 6nC por uma distância diferencial de 2µm, começando em P(2,-2,3) e movimentando-se na direção â l = 6 7 âr ây âz. 5

6 - Eletrostática Campo Uniforme Vamos considerar o trabalho realizado ao longo de um caminho A à B em um campo uniforme. ΔR 6 A integral de linha do campo elétrico para um campo uniforme se reduz a: W = Q E d l Se dividirmos o caminho em N segmentos, podemos escrever: A B ΔR 1 ΔR 2 ΔR 3 E ΔR 4 ΔR 5 W = Q ( E 1 Δ R 1 + E 2 Δ R E N Δ R N ), fazendo: Δ R N 0 (N ) 6 Prof

7 - Eletrostática Campo Uniforme W = Q ( E 1 Δ R 1 + E 2 Δ R E N Δ R N ), Δ R N 0 (N ) O campo elétrico é uniforme: E = E 1 = E 2 = E N ΔR 5 ΔR 6 Além disso, a soma dos vetores distância é: R BA = Δ " R 1 + Δ " R Δ " R N Assim, o trabalho é independente do caminho W = Q E R BA ΔR 1 ΔR 2 ΔR 3 E ΔR 4 Isto é válido para um campo uniforme, mas também é válido para qualquer outro campo eletrostático gerador por cargas e distribuições de cargas (Campo Conservativo).

8 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho circular de raio a, ao redor de uma linha de cargas? Vimos que o campo gerado só possui componente radial: Em coord. cilíndricas: E = ρ L 2πε 0 ρ âρ 0 0 O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: 2π ρ W = Q L 2πε 0 a âρ a dφâ φ=0 φ â ρ â φ = 0 W = 0 x z ρ L φ a ρ y E = Eρ â ρ 8

9 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto a até o ponto b )? Em coord. cilíndricas: z 0 0 ρ L O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: W = Q O trabalho W é: a b ρ L 2πε 0 ρ âρ dρâ ρ W = Qρ L ln b 2πε 0 a x φ ρ â ρ a b y 9

10 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto a até o ponto b )? E se invertermos o sentido do caminho? (do ponto b até o ponto a ) O elemento de linha muda? z ρ L O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: W = Q O trabalho W fica: b a ρ L 2πε 0 ρ âρ dρâ ρ W = Qρ L ln b 2πε 0 a x φ ρ â ρ a b y 10

11 - Eletrostática Diferença de Potencial e Potencial Elétrico (V) A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste. V AB = W Q = A E d l [V ] Importante: V AB é positiva se o trabalho é realizado externamente no deslocamento da carga de B até A. E B A B V AB 11

12 - Eletrostática Diferença de potencial ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial entre os pontos com ρ = b até o ponto ρ = a V ba? O trabalho realizado ao se movimentar a carga de a até b é: W = Q a b ρ L 2πε 0 ρ âρ dρâ ρ z ρ L Realizando a integral: A diferença de potencial é: W = Qρ L ln b 2πε 0 a V = ρ L ln a 2πε 0 b x φ ρ â ρ a b y 12

13 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial V AB entre os pontos com raio r A até o ponto r B com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? O campo gerado pela carga pode ser obtido pela Lei de Coulomb. E = Er â r = Em coord. esféricas: Q 4πε 0 r A diferença de potencial entre os pontos A e B é: V AB = r A r B E d l âr x z Q ρ L φ θ r r A â r r B y 13

14 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial V AB entre os pontos com raio r A e raio r B com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? Substituindo a expressão para o Campo Elétrico: V AB = A diferença de potencial V AB fica: V AB = r A r B Q 4πε 0 r 2 âr Q 1 1 4πε 0 r A r B drâ r Note que se r B > r A, a diferença de potencial é positiva. (há uma ação externa para trazer a carga de r B até r A ) x z Q ρ L φ θ r r A â r r B y 14

15 - Eletrostática Diferença de potencial e potencial A diferença de potencia pode ser expressa em termos dos potenciais em cada ponto. V ab = V a V b A referência de potencial é arbitrária embora existam certas convenções. No problema do potencial próximo a uma carga pontual, o potencial no infinito é o potencial de referência e é zero Em outros problemas o potencial da terra é adotado como nulo 15

16 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial V AB entre os pontos com raio r A e raio r B com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? A diferença de potencial V AB fica: V AB = Q 1 1 4πε 0 r A r B Se adotarmos o raio r B como infinito, o potencial no infinito é zero e o potencial no ponto A fica: V A = Q 1 4πε 0 Para uma carga pontual em r, o potencial em r fica: r A V( r) = Q 1 4πε 0 r r ' 16 x z Q ρ L φ θ r r A â r r B y

17 - Eletrostática Exemplo 1 Dado o campo elétrico: E = 6x 2 â x + 6yâ y + 4â z [V / m], (a) V MN se os pontos M e N são M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2). (b) V M se V = 0 em Q(4,-2,-35). 17

18 - Eletrostática Exemplo 2 Seja G = 3xy 2 â x + 2zâ y. G d l Q(4, 3, 1), calcule Dado um ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final usando como caminho uma: (a) Linha reta (y = x 1 e z = 1). (b) Parábola (6y = x 2 +2 e z = 1). 18

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