Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática Energia Eletrostática (Capítulo 4 Páginas 00 a 04) Energia potencial de um grupo de cargas pontuais. Energia de uma distribuição contínua de carga. Densidade de energia no campo eletrostático.

3 - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais Vimos que diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga. No caso de o potencial de referência ser adotado como o infinito (V = 0): VA = A E dl [V ] Se trouxermos uma carga desde o infinito até um ponto imerso num campo elétrico, isto requer a realização de trabalho. (e o trabalho é igual ao potencial no ponto vezes a carga). Este trabalho é igual à energia potencial da carga quando ela está situada no ponto imerso no campo elétrico.

4 - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais A energia potencial de um grupo de cargas positivas é igual ao trabalho para trazer estas cargas desde o infinito até a posição onde estão situadas. O trabalho para trazer as cargas Q, Q e Q3 do infinito até as posições P, P e P3 é: z WE = 0 +QV, +Q3(V3, +V3, ) Q Q Q Q3 V, : Potencial na posição P devido a Q y x 3

5 - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais O trabalho calculado deve ser igual ao trabalho para trazer as cargas na ordem reversa: primeiro Q3, depois Q e depois Q. O trabalho para trazer as cargas Q3, Q e Q do infinito até as posições P3, P e P é: z WE = 0 +QV, 3 +Q(V, +V, 3) Q Q Q3 Q3 V, : Potencial na posição P devido a Q y x 4

6 - Eletrostática Energia potencial de um grupo de cargas pontuais Se somarmos as duas equações obtidas anteriormente, teremos WE = Q(V, +V, 3) + Q(V, +V, 3) + Q3(V3, +V3, ) A energia potencial no sistema de 3 cargas é: WE = (QV + QV + Q3V3 ) V = V, + V, 3 é o potencial total no ponto. Pelo princípio da superposição ele é a soma do potencial devido às outras cargas presentes no sistema. 5

7 - Eletrostática Energia potencial de uma distribuição contínua de carga Generalizando, a energia potencial de um sistema de N cargas pode ser calculado: N WE = Qi Vi i = Para uma distribuição espacial contínua de cargas, com densidade ρv, a energia potencial pode ser calculada por: WE = ρ V dv v (: volume que contém a densidade volumétrica de cargas ρv ) Pergunta: E se tivermos uma densidade superficial de cargas em uma superfície? E no caso de uma densidade linear? 6

8 - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático A expressão anterior permite calcular a energia de um sistema se conhecermos a distribuição de cargas e o potencial em uma região do espaço. É possível calcular a energia através dos campos gerados pelas cargas ou distribuições contínuas de cargas. ρv = D A expressão equivalente é obtida substituindo ρv na expressão anterior pelo divergente da densidade de fluxo elétrico ( WE = ( 7 ): D V dv )

9 - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático É mais interessante expressar a equação anterior para a energia em termos somente dos campos vetoriais (E e D). Para fazer isso, é possível utilizar a seguinte identidade vetorial: ( A f = fa A f ) ( ) Substituindo f = V e A = D, podemos reescrever a expressão para a energia: WE = VD dv ( ) 8 ( D V dv )

10 - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático De acordo com o teorema de Gauss, podemos substituir a integral volumétrica (primeiro termo do lado direito da eq. Anterior) por uma integral de superfície fechada: VD dv = " S VD ds ( ) ( ) Usando esta igualdade, podemos reescrever a expressão para a energia: WE = " VD ds S ( ) 9 ( D V dv )

11 - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático O volume envolvido pela superfície S deve conter todas as cargas e campos. Podemos escolher uma superfície esférica com raio infinito. O potencial elétrico de uma carga finita é proporcional ao inverso do raio (r -) e D é proporcional a r -. Assim, o integrando cai com r -3 e a integral de superfície aumenta com r. Por este razão, a integral de superfície tende a zero para r. WE = ( D V dv 0 )

12 - Eletrostática Energia no Campo Eletrostático Utilizando a relação entre o campo e o potencial: E = V A energia pode ser expressa em termos de D e E somente. No espaço livre: WE = ( ε0 D E dv = ) E dv É útil definir a densidade de energia eletrostática: dwe we = = D E dv [J / m 3 ]