Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica LEI DE GAUSS

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1 Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica LEI DE GAUSS Lei de Gauss AGENDA Revisão: Produto escalar Quem foi Gauss? Lei de Gauss Analogia Linhas de campo elétrico Fluxo do campo elétrico Simetria Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas Fio infinito 1

2 Revisão: Produto Escalar de dois vetores sen cos Em coordenadas cartesianas: Revisão: Vetor x Escalar Em coordenadas cartesianas: 2

3 Carl Friedrich Gauss Braunschweig, 30 de Abril de 1777 Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855) Príncipe dos matemáticos Eletricidade: Lei de Gauss Estatística: Curva de Gauss Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel Astronomia: Lei de Gauss da gravitação Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton Cálculo do : Algoritmo de Gauss Legendre... Lei de Gauss: Analogia Desejamos medir a intensidade da chuva em um dia chuvoso Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss O método 1 é um procedimento trabalhoso ou microscópico O método 2 é um procedimento mais elegante ou macroscópico Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA! 3

4 Linhas de Campo Elétrico 1C 1C 1C Todas estas representações estão corretas, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico. Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico. Linhas de Campo Elétrico 8C 16C 32C Quantas linhas saem da esfera? 8C 8 linhas 16C 16 linhas 32C 32 linhas Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera 4

5 Linhas de Campo Elétrico Quantas linhas saem da superfície? 8C 16C 32C 8C 8 linhas 16C 16 linhas 32C 32 linhas Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA Linhas de Campo Elétrico Linhas que saem = + Linhas que entram = - 8C 16C 32C 8C 0 linhas 16C 0 linhas 32C 0 linhas Conclusão: Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero! 5

6 Superfícies gaussianas Não! Superfícies gaussianas Atenção! As superfícies gaussianas são imaginárias! Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície! 6

7 Lei de Gauss: Analogia gráfica O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada N Coulombs an linhas de campo elétrico Fluxo do Campo Elétrico Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada. 1C 1C 1C É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a quantidade de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície. Esta quantidade é chamada de Fluxo do Campo Elétrico Unidade: N.m 2 /C 7

8 Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico () (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida) proporcional a q envolvida o = 8,85 x C/N.m 2 Constante de permissividade do vácuo Questão n o 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: Superfície Gaussiana #1 +q Superfície Gaussiana #2 A. maior. B. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder. 8

9 Questão n o 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: Superfície Gaussiana #1 +q Superfície Gaussiana #2 A. maior. B. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder. Revisão: Integral de Área Esta área ficará mais molhada! 9

10 Integral de Área Chuva Chuva Esta área ficará mais molhada! Integral de Área Chuva Chuva Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que molha cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva! 10

11 Integral de Área Chuva [C] Chuva [C] Casos extremos Vetores C e em 180 : máximo molhamento Vetores C e em 90 : a chuva não molha a superfície Fluxo de chuva através de uma área Fluxo chuva = C (produto escalar de dois vetores) C cos(q) C. cos(q) Fluxo chuva = 0 para q=90 cos(q) = 0 Fluxo chuva = -C. para q=180 cos(q) = -1 Generalizando: Fluxo chuva = C. cos(q) Para -1 < cos(q) < +1 q C 11

12 Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores: Caso 1: Os vetores E e A são paralelos = E A Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores: = E A = E.Acosq Superfície Gaussiana ˆn Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral ˆn ˆn 1. Dividir a superfície em pequenos elementos de área A 2. Para cada elemento de área A calcular o termo: E. A = E. Acosq 3. Somar todos os termos calculados anteriormente: = E. A 4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal: A 0 5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo: = E. 12

13 Questão n o 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? A. Superfície Gaussiana A B. Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B Questão n o 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? A. Superfície Gaussiana A B. Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B 13

14 Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral: anote! A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área. Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta para fora da superfície gaussiana. O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área: E = E. cos(q) O truque é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada. Superfície Gaussiana ˆn Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral: anote! A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se aplicar a Lei de Gauss! O procedimento é buscar a SIMETRIA 14

15 Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação. Atenção: Simetria é uma noção intuitiva! Simetria rotacional Observador Esfera sem defeitos superficiais Eixo de Rotação Simetria rotacional Observador Esfera sem defeitos Cilindro sem defeitos superficiais superficiais Eixo de Rotação 15

16 Simetria de Translação Observador Tapete mágico Plano infinito e sem defeitos Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR 16

17 Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica FÍSICA HALLIDAY, RESNICK & WALKER Exemplo de uso da Lei de Gauss: Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m] Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro: E E l C/m r L 17

18 Cálculo do Fluxo: = = Nas tampas do cilindro E e são perpendiculares Então: tampa1 lateral tampa2 E tampa1 tampa2. tampa 1 E. lateral E. tampa 2 = E. = E. tampa1 tampa2 cos(90) = 0 Não existe fluxo do campo elétrico através das tampas do cilindro! = 0 E. lateral 0 cos(90) = 0 r E Cálculo do Fluxo: = 0 E. lateral 0 E E & são paralelos E = E = E. l C/m L 18

19 2r 10/10/2011 Cálculo do Fluxo: = 0 E. lateral 0 E A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície l C/m L Cálculo do Fluxo: = 0 E. lateral 0 E = constante = 0 E lateral 0 A integral de todos os é a superfície lateral do cilindro: lateral Então: = E2πrL = 2πrL L l C/m 2r L r 19

20 Cálculo do Campo Elétrico: A Lei de Gauss também pode ser escrita como: A carga dentro da superfície gaussiana é: l C/m 2r L r Então: E = ρ l 2. r. o Discussão do resultado obtido E = 2. r. E é proporcional a 1/r A medida que nos afastamos do fio carregado o campo elétrico fica mais fraco. Intuitivamente correto! O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado Intuitivamente correto! A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio ( l ) Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais intenso Intuitivamente correto! ρ l o 20