F = 1/4πɛ 0 q 1.q 2 /r 2. F = G m 1.m 2 /r 2 ENERGIA POTENCIAL 04/05/2015. Bacharelado em Engenharia Civil. Física III

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1 ENERGIA POTENCIAL Bacharelado em Engenharia Civil Física III Prof a.: D rd. Mariana de Faria Gardingo Diniz A energia potencial é a energia que está relacionada a um corpo em função da posição que ele ocupa. Muitos fenômenos elétricos estão relacionados com a transferência de grandes quantidades de energia. A Lei da Força Eletrostática é muito semelhante à lei da Força Gravitacional. F = 1/4πɛ 0 q 1.q 2 /r 2 Eletrostática F = G m 1.m 2 /r 2 As duas forças depende do inverso do quadrado da distância de separação entre dois objetos. F = 1/4πɛ 0 q 1.q 2 /r 2 F = G m 1.m 2 /r 2 Gravitacional Quando um objeto desloca-se de uma posição para outra sob ação da força gravitacional de outro objeto (o qual supõe-se permanecer em repouso). O trabalho realizado pela força gravitacional sobre o primeiro objeto depende apenas dos pontos inicial e final, e não depende do caminho percorrido entre os pontos. Uma força tem essa propriedade especial é descrita como FORÇA CONSERVATIVA FORÇA CONSERVATIVA: quando o seu trabalho é independente da trajetória. 1

2 Para uma força conservativa pode-se definir uma energia potencial. A diferença de energia potencial de um sistema ΔU à medida que um objeto move-se de sua posição inicial para sua posição final é igual ao trabalho com sinal negativo realizado pela força: Onde W if é o trabalho realizado pela força F quando o objeto move-se de i para f. A FORÇA ELETROSTÁTICA É CONSERVATIVA E, PORTANTO, EXISTE UMA ENERGIA POTENCIAL ASSOCIADA COM A CONFIGURAÇÃO (POSIÇÃO RELATIVA DOS OBJETOS) DE UM SISTEMA NO QUAL FORÇAS ELETROSTÁTICAS AGEM. ΔU = U f U i = -W if = - F.ds Energia Potencial Elétrica É a energia que determinado objeto ou partícula eletrizado adquire quando colocado na presença de um campo elétrico. Concordando com o fato de a força eletrostática ser conservativa, pode-se calcular a variação na energia potencial quando a carga q 2 desloca-se do ponto a para o ponto b submetida a uma força devida a uma outra carga q 1 em repouso. Supõe-se nesse caso, que ambas as cargas são positivas. Supondo que o movimento de a para b se dá ao longo de uma linha imaginária que une q 1 a q 2. Escolhe-se a origem como sendo na posição da carga q 1, e r para expressar a posição de q 2 relativa a essa origem. O vetor ds expressa um deslocamento ao longo da direção do movimento de a para b. 2

3 A força F e do deslocamento ds são sempre paralelos para esse movimento, e então, F.ds = F.ds ΔU = -F.ds = -F.dr Para o movimento observado na fig 28-1, ds = dr porque o deslocamento está sempre na direção de r. Com essas considerações teremos: ΔU = - 1/4πɛ 0. q 1 q 2 (1/r b 1/r a ) (Equação 1) A equação 1 é válida se q 2 está indo ao encontro ou se afastando de q 1. Se q 2 move-se em direção a q 1, então r b <r a e ΔU<0; isto é, a energia potencial decresce a medida que as cargas se aproximam. A equação 1 continua válida se os sinais das cargas são positivos ou negativos. Se ambas as cargas são negativas, claramente obtém-se o mesmo resultado. Se q 2 afasta-se de q 1, então r b >r a e ΔU>0; isto é, a energia potencial decresce a medida que as cargas se afastam. Se as cargas tem sinais opostos (uma positiva e outra negativa), então a força entre elas é atrativa. Logo teremos: F.ds = -F.ds = -F.dr = = - 1/4πɛ 0. q 1.q 2 /r 2 Quando as cargas têm sinais opostos, q 1 q 2, é negativa, fazendo com que ΔU < 0, quando as cargas aproximam-se mutuamente e ΔU > 0 quando as cargas afastam-se mutuamente. (Equação 2) 3

4 Considerando agora que q 2 move-se em uma direção diferente daquela ao longo de uma linha imaginária que liga q 1 e q 2. Ao longo desse caminho F é sempre perpendicular a ds, e portanto F.ds = 0. A fig 28-2 mostra q 2 movendo de a para b ao longo de um arco de círculo r centrado em q 1. A força eletrostática não realiza trabalho ao longo desse caminho, de forma que ΔU = 0. Para mover q 2 entre pontos arbitrários a e b, como na fig. 28-3, pode-se escolher uma variedade de caminhos possíveis. ΔU = 0 para os trechos tangenciais (curvas) dos caminhos. Ao longo dos caminhos 1 e 2, ΔU é dado pela equação 1 para os trechos radiais (retas) Conclui-se que a equação 1 determina o valor de ΔU para qualquer caminho entre o ponto a, que está a uma distância r a de q 1, e o ponto b, que está a uma distância r b de q 1, não importando onde os pontos estejam posicionados. Até agora discutimos a energia potencial ente dois pontos. Mas podemos definir a energia potencial em um só ponto b através da escolha de um ponto a de referência de energia potencial e designá-lo como um valor de referência de energia potencial U a neste ponto. 4

5 Muitas vezes é adequado escolher um ponto de referência que corresponda a uma separação infinita entre as cargas e, geralmente, escolhe-se o valor de referência U a = 0. Então, fazendo-se o ponto b representar qualquer ponto onde a separação é r, temos: U (r) = 1/4πɛ 0. q 1 q 2 /r (Equação 3) Nesta expressão, U é positivo sempre que q 1 e q 2 tiverem sinais iguais, o que corresponde a uma força repulsiva, e U é negativo sempre q 1 e q 2 tiverem sinais contrários, o que corresponde a uma força atrativa. U (r) = 1/4πɛ 0. q 1 q 2 /r (Equação 3) Dois prótons no núcleo de um átomo de U 238 estão separados por uma distância de 6 x m. Qual a energia potencial associada com a força elétrica que age entre essas duas partículas? Energia Potencial de um Sistema de Cargas Considere que exista três cargas (q 1, q 2 e q 3 ) separadas por distâncias infinitas umas das outras. A energia potencial elétrica total do sistema como um todo é: U = 1/4πɛ 0. q 1 q 2 /r /4πɛ 0. q 1 q 3 /r /4πɛ 0. q 2 q 3 /r 23 Da energia cinética já estudada, sabemos que para que um corpo adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por U ou E p. (Equação 4) A energia potencial é uma propriedade do sistema e 5

6 ou U = k. Qq/d Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático). De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja: Logo teremos, A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C). Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os potenciais criados por cada carga, ou seja: Dois prótons no núcleo de um átomo de U 238 estão separados de 6 x m. Qual a energia potencial associada com a força elétrica que age entre essas duas partículas? 6

7 Potencial Elétrico Defini-se a diferença de potencial elétrico ΔV como a diferença da energia potencial elétrica por unidade de carga teste. ΔV = ΔU/q 0 (5) ou V b - V a = U b U a /q 0 (6) Existe no potencial a opção para a escolha do ponto nulo ou o seu valor de referência mais conveniente. Quando um potencial é escolhido para ser nulo em pontos que estão infinitamente distantes de q, o potencial elétrico é: V = U/q 0 (7) A unidade do SI para potencial é o JOULE POR COULOMB. A esta combinação é dada o nome de VOLT (V): Podemos calcular a diferença da energia potencial: ΔU = q ΔV (8) 1 volt = 1 joule/coulomb Esta equação mostra que quando qualquer carga q move-se entre dois pontos cuja diferença de potencial é ΔV, o sistema experimenta uma mudança da energia potencial ΔU. ΔV é expresso em volts e q em coulombs, então ΔU é expresso em joules. O elétron-volt, uma unidade de energia, segue diretamente da definição de potencial, logo se ΔV é expresso em volts e q em unidades de carga elementar e, então ΔU é expresso em ev (elétron-volts) Exemplo Uma carga pontual q, cria no vácuo, a uma distância r, um potencial de 200 volts e um campo elétrico de intensidade igual a 600 N/C. Quais os valores de r e q? (k = 9 x 10 9 N.m 2 /C 2 ). 7

8 Calculando o Potencial a partir de um Campo ΔV = -W ab /q 0 = - F.ds/q 0 = = - q 0 E.ds/q 0 Ou Pode-se querer achar o potencial em um ponto, relativo a alguma referência de potencial escolhida. Ao se escolher o ponto de referência no infinito se definir V = 0 como referência, então teremos no ponto P: V p = - E.ds (10) ΔV = V b V a = - E.ds (9) Potencial devido a cargas pontuais Primeiramente será considerado o potencial devido a uma carga pontual positiva q. Deixase uma carga teste q 0 se mover do ponto a para o ponto b na vizinhança de q. Usaremos a carga teste para encontrar a diferença de potencial entre os pontos a e b devido a q. A diferença de energia potencial ΔU para esta situação já foi encontrada, tendo sido determinado pela equação 1 para duas carga pontuais. q q 0 V b V a = U b U a /q 0 = =q/4πɛ 0. (1/r b 1/r a ) (11) Para se encontrar o potencial em um único ponto a uma distância r de q, teremos: Potencial devido a um conjunto de cargas pontuais Considerando um conjunto N de cargas pontuais (q 1, q 2,...q N ) posicionadas em vários pontos fixos. V = U/q 0 = = 1/4πɛ 0. q/r (12) 8

9 Deseja-se achar o potencial em um ponto arbitrário P devido a este conjunto de cargas. O procedimento é calcular o potencial em P devido a cada carga como se as outras não estivessem presentes e, então somar os potenciais resultantes para se obter o potencial total. V = V 1 + V V N = 1/4πɛ 0. q 1 /r /4πɛ 0. q 2 /r /4πɛ 0. q N /r N (13) Potencial devido a dipolos elétricos O potencial devido a dipolos elétricos pode ser calculado diretamente pela utilização da equação 13. V = 1/4πɛ 0. q + /r + + q - /r - (14) A eq 14 é a expressão exata para o potencial devido ao dipolo. Uma distribuição Linear de Cargas Pode-se utilizar a geometria abaixo para se determinar o potencial devido a uma distribuição linear uniforme de cargas positivas no ponto P, a uma distância y da haste sobre o seu bissetor perpendicular. Utilizando o elemento de caga dq=λdz (onde λ é a densidade linear de carga) temos: 9

10 Um Anel de Cargas raio a e carga q raio a e densidade σ Um disco carregado 10