LEI DE GAUSS FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL. ɸ = v.a (1) 08/04/2015. Bacharelado em Engenharia Civil. Do que se trata a Lei de Gauss?

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1 LEI DE GAUSS Bacharelado em Engenharia Civil Do que se trata a Lei de Gauss? Disciplina: Física III Prof a.: Drd. Mariana de F. G. Diniz Por que é necessário a Lei de Gauss se a Lei de Coulomb é suficiente para calcular os campos elétricos? FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL A palavra FLUXO origina-se do latim e significa fluir. O Fluxo de um campo vetorial pode ser considerado como uma medida do fluxo ou da penetração dos vetores do campo através de um elemento de superfície, fixo ou imaginário, localizado no campo. Vamos considerar o campo de velocidade de escoamento de um fluido. Imagine o escoamento de um fluido em regime permanente, representado especificando-se o vetor velocidade em cada ponto. Supondo que uma tela retangular com área A seja colocada na linha de escoamento do fluido. Exemplo (a). A tela é colocada de modo que seu plano fique perpendicular à direção de escoamento do fluido. Definindo-se agora o fluxo ɸ do campo de velocidade de modo que seu valor absoluto seja dado por: ɸ = v.a (1) onde v é a intensidade da velocidade no local em que está a tela. 1

2 A unidade do fluxo é m 3 /s, e este poderia ser considerado como a vazão de fluido que passa através da tela. Em termos de conceito de campo contudo, é conveniente considerar o fluxo como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a tela. Observe que a quantidade de fluido que atravessa A no tempo Δt é a mesma que atravessa A' (que é a projeção de A em um plano perpendicular às linhas de campo). Assim Em (b), a intensidade do fluxo é: Em (c) a tela foi girada até que sua superfície fique paralela à direção da velocidade de escoamento. O Fluxo será nulo, onde Ɵ = 90º na equação: Observe que nesse caso não há linhas de campo atravessando a tela. 2

3 A Lei de Gauss, refere-se ao Fluxo líquido através de uma superfície fechada. Assim, é importante estabelecer a distinção entre um FLUXO NEGATIVO e FLUXO POSITIVO que atravessa uma superfície. Pode ser expresso em termos de produto escalar entre os vetores v e A. Cuja intensidade equivale a área da superfície, e direção é perpendicular a ela. Porém, a normal a uma superfície pode ter dois sentidos opostos. (o da figura (d) ou oposto a ele) Por convenção, o sentido de A será escolhido como o da normal saindo da superfície. Fluxo deixando o volume contido pela superfície será considerado positivo e o fluxo penetrando no volume será considerado negativo. 3

4 Com esta escolha, podemos escrever o fluxo para uma superfície fechada composta de várias superfícies (ex.: figura 27-1 (e)) como: ɸ = Σ v. A (3) Onde v é a velocidade na superfície. O somatório abrange todas as superfícies individuais que compõem a superfície fechada. EXEMPLO 1 Considere uma superfície fechada da fig. 27-1e, que apresenta um volume delimitado por cinco superfícies (1, 2 e 3 são paralelas às superfícies das fig. 27-1a, c e b, respectivamente, além de 4 e 5 que são paralelas às linhas de corrente do escoamento). Admitindo-se que o campo de velocidade é uniforme, de modo a ter a mesma intensidade, direção e sentido em todos os pontos, determine o fluxo total através da superfície fechada. De acordo com o exemplo da figura acima, notamos que o fluido sai através de A1 e A2 e entra por A3, A4 e A5 Todos esses conceitos estudados podem ser considerando para um campo não uniforme e superfícies com forma e orientações arbitrárias. Qualquer superfície arbitrária pode ser dividida em elementos da área infinitesimal da que sejam, aproximadamente, superfícies planas. O sentido de cada vetor da é o do vetor normal orientado para fora de cada elemento infinitesimal, e o campo tem um valor local v. 4

5 O fluxo final é calculado computando-se a contribuição de todos os elementos infinitesimais isto é através da integração sobre toda a superfície. ɸ = v.a (4) A conclusões obtidas anteriormente permanecem válidas: se a eq. (4) for calculada para uma superfície fechada, então o fluxo é (1) nulo se a superfície não engloba nenhuma fonte e nenhum sumidouro;(2) positivo se a superfície contiver fontes em seu interior, (3) negativo se a superfície contiver sumidouros. BOA NOITE! OBRIGADA! 5