Física 3. Resumo e Exercícios P1

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1 Física 3 Resumo e Exercícios P1

2 Resuminho Teórico e Fórmulas Parte 1 Cargas Elétricas Distribuição Contínua de Cargas 1. Linear Q = dq = λ dl 2. Superficial Q = dq = σ. da 3. Volumétrica Q = dq = ρ. dv Força Elétrica Duas formas de calcular: 1. Módulo + Direção pelas propriedades das cargas F = k q / q 0 r 0 = q / q 0 4 π ε r 0 2. Sem módulo + Direção dada por r = r 0 r / r 0 : vetor da origem até a carga que sofre a força r / : vetor da rigem até a carga que exerce a força F 0/ = k q /q 0 r r 0 = k q /q 0 r r I Princípio da Superposição: A força resultante em uma carga é a soma VETORIAL das forças exercidas sobre ela 1

3 Campo Elétrico Linhas de campo elétrico Definição E = kqr r 0 = F q K q: carga que exerce a força q K : carga de prova; carga que sofre a ação da força r: distância entre o ponto em que se quer achar o campo e a carga Princípio de Superposição O campo resultante em uma carga de prova ou em um ponto é dado pela soma VETORIAL dos campos gerados pelas cargas ao seu redor. Cálculo do campo para distribuições contínuas de carga E = Exemplos mais comuns em prova: 1) Campo elétrico gerado por um anel kdq r 0 = dq r 0 4πε K 2

4 E = kdq r 0 = λ. ds r 0 4πε K Mas, por simetria, só sobra a componente horizontal. Logo: Substituindo r = E = E Q = λ. ds r 0 4πε K. cos α = a 0 + x 0, temos: λ. ds r 0 4πε K. x x 0 + a 0 E Q = Q. [ V W XQ W Y/W \]^_ K 0]V ds = Q [V V W XQW Y/W. 0^_ à E = Q [V V W XQW Y/W. 0^_ x 2) Campo elétrico gerado por um disco Basta integrar, ao longo do raio, o campo gerado pelo anel! :) Assim, temos: x E V`ab = r 0 + x 0 I/0. q E 4πε defgh = K Temos que escrever a integral em função do raio! Note que Além disso, dq =σ.da 2πr. dr = da x r 0 + x 0 I/0. dq 4πε K Portanto, 2πr dr 3

5 E = K V x r 0 + x 0 I/0. σr. dr 2ε K = E = σ 2ε K. 1 x x 0 + a 0 3) Campo elétrico gerado por uma barra no eixo que passa pelo seu centro E = kdq r 0 = λ. dx r 0 4πε K Mas, por simetria, só sobra a componente vertical, logo: E = E k = λ. dx r4πε K. cos θ = λ. dx r 0 4πε K. y y 0 + x 0 Substituindo r = y 0 + x 0, E = y. λ 4πε K n/0 on/0 dx y 0 + x 0 I 0 E = 2πε K y λl L 0 + 4y 0 y Fluxo Elétrico Definição Mede o quanto do campo elétrico atravessa determinada área a = E da fstauvígea da: vetor de área, PERPENDICULAR à superfície *Detalhe Importante: O fluxo positivo é aquele que SAI da superfície 4

6 Lei de Gauss A Lei de Gauss é a lei que relaciona o fluxo elétrico em uma superfície fechada com a carga DENTRO dela. Utilidade a = E da = q e` ε K Cálculo do campo elétrico gerado por simetrias CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS. Como utilizar? Para aplicar essa Lei é preciso escolher uma superfície fechada (ex: esfera ou cilindro), mais conhecida como superfície Gaussiana, que envolva total ou parcialmente (geometrias infinitas) a geometria que está gerando o campo elétrico. As geometrias mais frequentes em prova são: 1. Esfera, Casca Esférica: Gaussiana Esférica 2. Plano Infinito, Fio Infinito: Gaussiana Cilíndrica Caso específico: Condutores em equilíbrio Nos condutores a carga se concentra na superfície do material. Ou seja, se quisermos calcular o campo elétrico através de uma superfície contida nesse condutor, a carga interna será nula e, portanto, pela Lei de Gauss, o campo também. Entretanto, através de uma superfície fora do condutor, a carga interna será a carga total e o campo não será nulo. 5

7 Observação para a MAIORIA das questões de Lei de Gauss 1. E será constante na superfície Gaussiana utilizada 2. E será paralelo ao vetor área E da = E. da = E da = E. A Exercícios Parte 1 1. (P Questão 1 Itens a e b) Quatro cargas puntiformes são colocadas nos vértices 1, 2, 3 e 4 de um retângulo de acordo com a figura abaixo. O retângulo tem lados de comprimento a e b. Considere q>0. a. Calcule o vetor força resultante que atua na carga localizada na origem. b. Determine o vetor campo elétrico no centro do retângulo. 2. (P Questão 1 Itens a e b) Considere o sistema abaixo, mantido fixo por forças externas, que consiste numa partícula pontual de carga q > 0 e massa m, situada na origem do sistema de coordenadas, e um semi-anel de raio a situado no plano xy e centrado na origem. A densidade linear de carga do semi-anel depende do ângulo φ de acordo com a seguinte função: λ(φ) = λ.senφ, onde λ é uma constante positiva. 6

8 a. Calcule a carga total do anel. b. Calcule o vetor força elétrica que age sobre a carga pontual. 3. (P Questão 1 Item a) Uma barra semi-infinita, mostrada na figura ao longo do lado positivo do eixo horizontal x, possui carga positiva homogeneamente distribuída com densidade linear λ. a. Determine o vetor campo elétrico num ponto P = (0,y) sobre o lado positivo do eixo y. 4. (P Questão 2 Itens a e b) Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme λ < 0, é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme σ > 0. Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo z e a placa se extende no plano yz, conforme a figura. 7

9 a. Calcule o vetor campo elétrico produzido pela placa em todo o espaço. b. Calcule o vetor campo elétrico produzido pelo fio em todo espaço. 5. (P Questão 2) Uma camada esférica condutora, neutra, tem raio interno a e raio externo b. No centro da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q >0. a. Usando Lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático determine as densidades superficiais de carga σ(a) e σ(b) nas superfícies interna e externa da camada esférica. b. Calcule o vetor elétrico em todo o espaço. 8

10 Gabarito Parte 1 1) a. F / = kq 0 ( / W V b. E = 0 2) a. 2λa b. š[ _ œv^_ V W X W Y W )x + kq 0 ( / W V W X W Y W )y 3) E = [ o X \]k^_ 4) a. E = ž 0^_. Q Q ı b. E = o[u ^_.0]u 5) a. σ a = \ W; σ b = \ W b. E = šu \]u W^_ para 0 < r < a 0 para a < r < b šu \]u W^_ para r > b 9

11 Resuminho Teórico Parte 2 Energia Potencial Eletrostática Força eletrostática - É uma força conservativa, logo: 1. O trabalho por ela exercido independe do caminho 2. Em um caminho fechado, o trabalho é nulo Definição O trabalho que a força eletrostática exerce sobre uma carga para levá-la de um ponto A para um ponto B é dado por: Outra forma de calcular este trabalho é: U = U U V = W V W V = F dl = q K E dl ª ª Para calcular a energia potencial em um único ponto, utiliza-se U = U «= 0. Assim, a energia potencial em um único ponto é dada por: U V = q KQ 4πε K. 1 r V Cálculo da energia eletrostática A energia eletrostática de uma configuração de cargas é o trabalho necessário para formar a configuração, isto é, para trazer as cargas do infinito até a posição final delas! Para trazer a primeira carga, não é necessário nenhum trabalho, já que ela não está submetida a um campo ou a um potencial. 10

12 Entretanto, essa primeira carga, uma vez em sua posição final, gera um campo e um potencial. Assim, para trazer as demais cargas, será necessário um trabalho e haverá uma contribuição na energia eletrostática total! U = 1 2 Potencial Eletrostático Definição: e, e q e q 4πε K r e V = U q K Partindo da definição, podemos deduzir que o potencial gerado por uma carga pontual é: V u = Q. 1 4πε K r *Para potenciais elétricos, também vale o princípio da superposição! Diferença de potencial elétrico: Potencial em um único ponto: V V ª = [U U V ]/q K = V V «= «E dl ª = E dl «E dl = V Caso especial: Condutores Equilibrados = Volume Equipotencial Já vimos que, num condutor equilibrado, E =0. Assim: V V ª = 0 dl ª = 0 V B = V A Potencial gerado por uma distribuição contínua de cargas num ponto P: V = dq r4πε K 11

13 Exemplos mais comuns em prova: Anel, disco e barra 1) Anel Sabemos que: 2) Disco r = R 0 + z 0 No anel, r é constante! V = 1 r4πε K dq = 1 R 0 + z 0 4πε K dq = Q R 0 + z 0 4πε K - Um disco é um anel de raio variável. Ou seja, basta integrar ao longo do raio a expressão que achamos para o anel! V = 1 4πε K dq r 0 + z 0 Mas, sabemos que: Assim, dq = σda e 2πr. dr = da à dq = σ2πrdr V = 1 4πε K K σ2πrdr r 0 + z 0 = σ 2ε K. z 0 + R 0 z 12

14 3) Barra Da figura percebemos que: r = Assim, x 0 + y 0 e y varia! V = 1 4πε K Mas, também sabemos que: dq = λdy Portanto, V = 1 4πε K V ov λdy x 0 + y 0 Cálculo de E partindo da fórmula de V: Capacitância dq x 0 + y 0 = λ 4πε K log E = V = V V V ı + ȷ + x y z k x0 + a 0 + a x 0 + a 0 a = dv dr r Um capacitor é um componente eletrônico que serve principalmente para armazenar energia elétrica em um circuito. É formado por dois condutores com um isolante entre eles. Os condutores possuem cargas de sinais opostos e módulos iguais, o que gera uma diferença de potencial V. C = Q V 13

15 Cálculo da capacitância: 1. Calcular o campo E entre as superfícies, em geral pela Lei de Gauss 2. Calcular V utilizando a expressão: 3. Calcular C pela fórmula: V V ª = E dl ª C = Q V Exemplos mais comuns em prova Capacitor de placas planas, capacitor cilíndrico e capacitor esférico. 1) Capacitor de placas planas Pela Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico E gerado por uma placa infinita é dado por: E = σ 2ε K O capacitor é formado por duas placas de forma que: E = ž^_ k *Observação: fora do capacitor, o campo gerado pelas placas se anula! - Calculando o potencial, temos: V V ª = ª E dl V d V K = d σ k dl k ε K K = dσ ε K 14

16 - Aplicando a fórmula da capacitância com Q = σ. A 2) Capacitor Esférico C = Q V = Qε K dσ = σaε K dσ = Aε K d Pela Lei de Gauss, temos que: E = Qr 4πr 0 ε K Calculando o potencial, temos que: Qr V V V = 4πr 0 dr r ε K V Falta só aplicar a fórmula da capacitância: 3) Capacitor Cilíndrico C = Q V = Q Q b a 4πε K ab Q b a = 4πε K ab = 4πε Kab b a 15

17 Pela Lei de Gauss, temos: E = Calculando o potencial, temos que: V V V = V Q ε K 2πrL r Q r dr r ε K 2πrL Por fim, aplicando a fórmula da capacitância: C = Q V = Q Q ε K 2πL ln b = ε K2πL ln b a a = Q ε K 2πL ln b a Energia armazenada em um capacitor U = Q0 2C = CV0 2 = QV 2 Densidade de Energia num capacitor de placas paralelas Associação de capacitores 1) Em paralelo: u = 1 2 ε KE 0 2) Em série: Q aš = Q / + Q Q` C aš = C / + C C` Q aš = Q 16

18 1 = C aš C / C 0 C` Materiais dielétricos Materiais dielétricos são materiais isolantes que podem estar entre as placas do capacitor. O que muda? ε 0 vira Kε 0, sendo K a constante dielétrica do material. Exercícios Parte 2 1. (P Questão 1 Item c) Quatro cargas puntiformes são colocadas nos vértices 1, 2, 3 e 4 de um retângulo de acordo com a figura abaixo. O retângulo tem lados de comprimento a e b. Considere q>0. a. Calcule o trabalho necessário para trazer a carga Q do infinito até o ponto P. 2. (P Questão 2) Uma cama da semiesférica isolante de raio interno a e externo b tem uma densidade volumétrica de carga que decresce com o inverso da distância r ao centro O segundo ρ r = ª. u a. Determine a carga total da camada semi-esférica. 17

19 b. Determine o potencial elétrico no centro O da camada semiesférica. Adote potencial nulo no infinito. c. Se uma carga pontual q com o mesmo sinal da constante A da densidade volumétrica de carga é solta no centro O, qual é a velocidade final v v que ela atinge? Dados: A, a, b, q e m. 3. (P Questão 4 ) Considere um capacitor de placas planas paralelas, com área A, separadas por uma distância d no vácuo. a. Calcule a capacitância C K deste capacitor no vácuo em função de ε K, A e d. b. Calcule a nova capacitância C do capacitor se preenchermos parcialmente o espaço entre as placas com um material de constante dielétrica K e espessura x, conforme a figura. Forneça sua resposta em função de ε K, A, d, K e x. c. Calcule a densidade de energia num ponto P da região sem dielétrico após ligarmos as placas do capacitor a uma bateria com uma diferença de potencial igual a V. Forneça sua resposta e função de ε K, V, d, K e x. 18

20 Gabarito Parte 2 1) a. W=0 2) a. Q = πa(b 0 a 0 ) b. V h = ª ov c. v v = 0^_ Äª ov //0 ı Å^_ 3) a. C K = ^_ª d b. C = ^_ªÆ QXÆ(doQ) c. u a = ^_Æ W Ç W 0 QXÆ doq W 19