Energia. 5.2 Equações de Laplace e Poisson

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1 Capítulo 5 Equações da Eletrostática e Energia 5.1 Introdução Neste momento, já foram vistas praticamente todas as equações e fórmulas referentes à eletrostática. Dessa forma, nesse capítulo estudaremos algumas das relações entre o potêncial eletrostático, o campo elétrico e as densidades de carga dos corpos. Além disso, serão abordadas as equações de Laplace e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar cálculos, as condições de contorno da eletrostática e as equações que fornecem a energia potencial eletrostática de um configuração de cargas 5. Equações de Laplace e Poisson Como já vimos: E = 0 (5.1) E = ρ ε 0 (5.) 69

2 V = ρ ε 0 70 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, vimos que: E = 0 P ermite E = V (5.3) Assim, substituindo 5.3 em 5., obtemos: V = ρ (5.4) ε 0 A equação acima é chamada equação de Poisson e relaciona o potencial eletrostático com a densidade de carga pontual. Com ela é possível calcular, em cada ponto, o potencial eletrostático, desde que se conheçam as condições de contorno do problema, de forma a resolver as equações diferenciais que serão obtidas. A equação de Laplace vem diretamente da equação de Poisson, quando ρ = 0. Assim: V = 0 (5.5) 5.3 Resumo das equações da eletrostática A partir de duas observações experimentais, notadamente o princípio da superposição e a Lei de Coulomb, foi possível depreender todas as outras fórmulas da eletrostática. Abaixo, segue um resumo de todas as equações vistas até aqui: 5.4 Condições de Contorno Definidas as equações de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas

3 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO 71 Figura 5.1: Equações da eletrostática dessas formas já foram comentadas Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfície carregada Nós notamos estudando alguns exemplos que o campo elétrico apresenta em alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfície carregada. Imagine uma superfície arbitrária Considere a gaussiana desenhada com área A extremamente pequena e espessura. Assim, pela lei de Gauss temos: S E d S = q int ε 0 = σa ε 0 Os lados não contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De forma que quando ε 0: Em particular, quando não há uma superfície carregada E é contínua,

4 7 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Figura 5.: Esquema de uma superfície carregada com uma gaussiana Figura 5.3: A componente normal de E é descontínua exemplo: esfera sólida uniformemente carregada. Consideremos agora a circulação de E na mesma superfície: E d l = 0 quando ε 0. Assim: E acima d l 1 + E abaixo d l = 0

5 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO 73 d l 1 = d l E acima = E abaixo Logo a componente paralela do campo é contínua, então: E acima E abaixo = σ ε 0 ˆn (5.6) onde ˆn é o vetor unitário perpendicular à superfície de cima para baixo Relação entre os potenciais Ao contrário do que acontece com o campo, o potencial é contínuo, pois: b V = a b V b V a = a E d l E d l E quando ε 0 então b a E d l 0, Logo V b = V a V abaixo = V acima (5.7) Alguns outros comentários Além das condições já mencionadas, vale lembrar também de alguns pontos: * Já vimos que, na maioria dos casos V ( ) = 0 * Quando há distribuição de cargas não pontual V =

6 74 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA 5.5 Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace Com as condições de contorno em mãos, somos capazes de aplicar as equações de Poisson e Laplace para alguns exemplos Exemplo 1 Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0 e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V 0 e em x = L igual a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas situações: Densidade de carga entre as placas igual à zero; Densidade de carga entre as placas é contante igual à ρ. Figura 5.4: Esquema No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equação de Laplace: V = d V dx = 0 V = ax + b Assim, pelas condições do problema, como para x = 0, V = V 0, então:

7 5.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE75 b = V Além disso, como para x = L, V = 0, então a = V 0 L V (x) = V 0 L + V Podemos calcular também o campo, assim: E = d V 0 dx L x + V 0 î = V 0 L î No segundo caso temos ρ = ρ 0, assim, pela equação de Poisson: V = ρ 0 ε 0 d V dx = ρ 0 ε 0 V = ρ 0x ε 0 + ax + b Aplicando as condições de contorno: V (0) = V 0 b = V 0 V (L) = 0 a = V 0 L + ρ 0L ε 0 V (x) = ρ 0x + V 0 ε 0 L + ρ 0L x + V 0 ε 0 Também podemos calcular o potencial, assim:

8 76 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA E = d ρ 0x + V 0 dx ε 0 L + ρ 0L ρ0 x + V 0 î = x + V 0 ε 0 ε 0 L ρ 0L î ε Energia Potencial Eletrostática Nós vimos que U = qv para uma carga q num ponto de um campo préestabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuição qualquer de cargas? Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as cargas uma a uma do infinito (considera-se V ( ) = 0 para as suas posições, formando uma configuração escolhida, assim: Para trazer a primeira carga q 1, W = 0 Para trazer a segunda carga, como: r V = temos; W = 1 4πε 0 q 1 q r 1 Para a terceira temos:w = q 3 Assim sucessivamente... E d l = 1 4πε 0 q r q 1 4πε 0 r 13 + q r 3 Logo, obtemos a energia potencial da configuração qualquer de cargas pontuais: U = 1 4πε 0 i<j q i q j = 1 1 r ij 4πε 0 i j=i q i q j r ij (5.8) Na qual o 1/ surge para compensar o fato de que, no somatório duplo, temos os termos q i q j e q j q i que são contados duas vezes.

9 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 77 Assim: Percebe-se pela fórmula 5.8 porém, que: j=i 1 4πε 0 q j r ij Representa o potêncial de todas as outras cargas na posição da carga i. U = 1 q i V i i representa a energia potencial eletrostática na posição i. Logo, caso tenhamos uma distribuição contínua, podemos extender o somatório para: U = 1 ρv dv (5.9) 5.6. Exemplo Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k é uma constante). Ache a energia da configuração. Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse r pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = E d l ou pelas equações de Poisson e Laplace. Resolvendo por V (r) = r S E4πr = 1 ε 0 E d l temos: E d S = q int ε 0 R 0 kr4πr dr E fora = k ε 0 R 4 4r ˆr

10 78 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso; E = k ε 0 r 4 4r E dentro = kr 4ε 0 ˆr Precisamos de V para valores de r < R, assim: r V (r) = R E d l = E fora d l r E entre d l R R V (r) = kr 4 r 4ε 0 r dr R kr 4ε 0 dr = k 1ε 0 (4R 3 r 3 ) Com o potencial em mãos, podemos aplicar a equação 5.9, assim: U = 1 U = 1 U = 1 R π π 0 R ρv dv krv (r)r sin θdθdϕdr (5.10) 4π k r 3 1ε 0 (4R 3 r 3 )dr = πk 7ε 0 R 7 Caso quisessemos calcular pelas equações de Laplace e Poisson, temos: Para r < R: Para r > R: V = ρ ε 0 V = 0 Para o primeiro caso r < R temos:

11 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 79 V = V (r) V θ = V ϕ = 0 Mas o termo em r do operador em coordenadas esféricas, com a consideração acima, é dado por: Assim, temos que: V = 1 r V r r r V = 1 d r dv = ρ r dr dr ε 0 1 d r dv = kr d r dv = kr3 r dr dr ε 0 dr dr ε 0 Para r > R, temos que: r dv dr = kr4 4ε 0 + A dv dr = kr 4ε 0 + A r V dentro (r) = kr3 1ε 0 A r + B 1 d r dv r dr dr V = 0 = 0 r dv dr = C V fora (r) = C r + D Aplicando as condições de contorno: V fora ( ) = 0 V fora (R) = V dentro (R)

12 80 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, como se trata de uma distribuição volumética: Assim: E fora (R) = E dentro (R) Vfora (R) = Vdentro (R) V (0) = V fora ( ) = 0 D = 0 V dentro (0) = A = 0 V dentro (R) = V fora (R) kr 4ε 0 r=r = C r r=r C = kr4 4ε 0 Dessa forma: B = kr4 4ε 0 R + kr3 1ε 0 = kr3 3ε 0 V dentro (r) = kr3 1ε 0 + kr3 3ε 0 = k 1ε 0 (4R 3 r 3 ) V fora (r) = kr4 4ε 0 r Para o cálculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrandose o mesmo resultado Relação entre Energia e Campo Elétrico Uma pergunta interessante de se fazer é onde está localizada a energia eletrostática? Também poderíamos perguntar: e o que importa? Qual o significado de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a combinação tem certa energia. É necessário dizermos que a energia está localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode ser que estas perguntas não façam sentido, porque realmente só sabemos que a energia se conserva. A idéia de que a energia está localizada em alguma parte

13 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 81 não é necessária também pode aparecer. Mas será mesmo que a pergunta não tem nenhuma utilidade? Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia está localizada em certo lugar, como ocorre com a energia térmica. Então poderíamos estender o princípio da conservação da energia com a idéia de que se a energia contida dentro de um volume dado varia, poderíamos explicar a variação mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderíamos chamar de princípio de conservação local de energia. Esse princípio diria que a energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui para fora ou para dentro deste volume. Teríamos, portanto, uma lei muito mais detalhada que o simples enunciado da conservação de energia total. Também há uma causa física para que possamos decidir onde está localizada a energia. De acordo com a teoria da gravitação, toda massa é uma fonte de atração gravitacional. Também sabemos que se E=mc, então massa e energia são equivalentes. Toda energia é uma fonte de força gravitacional. Se não pudéssemos localizar todas as massas não poderíamos dizer onde estão localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitação estaria incompleta. Se nos restringimos à eletrostática, não há maneira de decidir onde está a energia se na carga ou no campo. Porém, com o atual conhecimento, não somos ainda capazes de responder a esses questionamentos, as equações de Maxwell para a eletrodinâmica são necessárias para nos dar mais informações. Por enquanto ficaremos somente com esta resposta: A energia está localizada no espaço onde está o campo elétrico. O que é razoável, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos elétricos. Quando a luz ou as ondas de rádio viajam de um ponto a outro, transportam sua energia com elas. Mas não há carga nas ondas. Desta forma, é interessante localizar a energia no campo eletromagnético e não nas cargas. Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostática em função do campo elétrico, assim, como:

14 8 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA V = ρ ε 0 então: U = 1 Mas, matematicamente temos: ρv dv = ε 0 V V dv V x V V = V + V + V = y z = x V V x V x + V V y y = (V V ) ( V ) ( V ) Logo; U = ε 0 ( V ) ( V )dv ε 0 Mas, pelo teorema da divergência, temos: v (V V )dv = s V y + z V V z V z = (V V ) ds (V V )dv Agora, devemos fazer uma rápida análise. Para uma distribuição finita de cargas, sabemos que: V 1/r na melhor das hipóteses (Se a carga total for zero, V 1/r ou mais...). Além disso, V 1/r e ds r portanto a integral: ε 0 (V V )dv é proporcional à 1/r, assim, caso integremos no espaço, teremos que essa integral se anula e: U = ε 0 R 3 ( V ) ( V )dv

15 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 83 Logo, como V = E, então: U = ε 0 R 3 E Edv (5.11) Nos dá a energia potencial eletrostática da configuração em função do Campo elétrico. Vale notar também que devemos integrar em todo o espaço, e não só na região que contém Princípio da Superposição Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princípio da superposição, porém, devido ao fato da energia ser quadrática nos campos, ela não obedece o princípio da superposição, temos, pois, que: W total = ε 0 E dv = ε 0 ( E 1 + E ) dv (5.1) Vejamos um exemplo: Considere duas cascas esféricas concêntricas de raio a e b. Suponha que a interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuídas na superfície. Calcule a energia desta configuração. Assim: Mas U = ε 0 R 3 E dv 0, r < a q 1 E = 4πε 0,a < r < b r 0, r > b

16 84 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA U = ε 0 b a q 16π ε 0 1 r 4 r 4πdr U = q 8πε 0 1 a 1 b Percebe-se contudo que, se calcularmos: U 1 = ε 0 E1dv e U = ε 0 Edv R 3 R 3 U = U 1 + U Como era de se esperar, o princípio da superposição não foi válido.