CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA III LEI DE GAUSS. Prof.

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA III LEI DE GAUSS Prof. Bruno Farias

2 Introdução Na Física, uma ferramenta importante para a simplificação de um problema consiste em usar as propriedades de simetria dos sistemas. Neste capítulo vamos estudar a lei de Gauss. A utilização de tal lei, nos possibilita determinar, de maneira simplificada, os campos elétricos de algumas distribuições simétricas de carga.

3 Na aplicação da Lei de Gauss considera-se uma superfície fechada (superfície gaussiana) que envolve uma dada distribuição de cargas. A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana à carga envolvida pela superfície.

4 Fluxo Para obtermos uma expressão para a lei de Gauss precisamos calcular a quantidade de campo elétrico que é interceptada pela superfície gaussiana. A medida da quantidade de campo interceptada por uma superfície é denominada de fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é o resultado da integração, em toda superfície, do produto escalar entre o campo vetorial e cada elemento infinitesimal da superfície.

5 Fluxo Como exemplo de fluxo, consideramos uma espira quadrada de área A exposta a um vento uniforme cuja velocidade é v. O fluxo de ar através da espira depende do ângulo entre o vetor velocidade v e um vetor área A e dado por: v O vetor área A é definido de forma que seu módulo é igual a uma área (área da espira) e cuja direção é perpendicular ao plano da área. A

6 Como o conjunto de todos os vetores velocidade é um campo de velocidades, podemos interpretar a Equação para o fluxo como uma expressão para o fluxo do campo de velocidades através da espira.

7 FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO Consideramos uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa em um campo elétrico não-uniforme.. Todos os vetores ΔA são perpendiculares à superfície e apontam para fora da superfície. O campo elétrico E pode ser considerado constante no interior de cada quadrado. Uma definição provisória do fluxo do campo elétrico para a superfície gaussiana da Figura ao lado é a seguinte: E A

8 A definição exata do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos quadrados da Figura abaixo tender a zero, tornando-se uma área diferencial da, assim: E da O fluxo do campo elétrico é um escalar, e sua unidade no SI é o newton-metro quadrado por coulomb (N.m 2 /C).

9 E N que N sai queentra E 0 quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície. E 0 quando existe mais linhas entrando do que saindo da superfície.

10 Exemplo

11 Exemplo

12 Exercício

13 Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total q env que é envolvida por essa superfície: 0 q env Usando a definição do elétrico Φ, podemos escrever a lei de Gauss na forma: 0 E da q env Se q env é positiva, o fluxo é para fora; se q env é negativa, o fluxo é para dentro.

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15 Exemplo

16 Exemplo

17 Exercício f) Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano da Fig. 23-5?

18 Aplicando a lei de Gauss: Linha de cargas infinita (simetria cilíndrica) O fluxo total na superfície gaussiana Φ é: 2rh E. Como a carga envolvida pela superfície gaussiana é λh, temos a partir da lei de Gauss (ε 0 Φ=q env ) que: o que resulta em: 2rh E, 0 h E 2 0 r.

19 Exemplo

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21 Aplicando a lei de Gauss: Placa nãocondutora (simetria planar) O fluxo total na superfície gaussiana Φ é: 2EA. Como a carga envolvida pela superfície gaussiana é σa, temos a partir da lei de Gauss (ε 0 Φ=q env ) que: o que resulta em: 2EAA, 0 E 2 0.

22 Cálculo do Campo Elétrico para uma Placa não-condutora (Método anterior) Vamos calcular o campo elétrico num ponto P, situado no eixo central a uma distância z de um disco carregado. Escrevemos a densidade superficial de cargas na forma: dq. da Dividindo o disco em anéis concêntricos elementares, cada um de raio r e largura dr, temos que: dq da 2r dr.

23 Utilizando a expressão do campo elétrico para um anel de cargas, substituindo q por dq e R por r, ficamos com de z 2r 2 2 z r dr Integrando sobre o toda superfície do disco E de z R z R 2rdr z R z Fazendo R e mantendo Z finito, obtemos o campo elétrico para uma placa não-condutora infinita: E 2 0.

24 Aplicando a lei de Gauss: Casca esférica uniformemente carregada (simetria esférica) Fora da casca esférica (r R) tomamos a superfície gaussiana S 2 que contém uma carga q, assim pela lei de Gauss: q, 0 Como tanto o vetor da e E são radiais e apontam para fora sobre todo superfície gaussiana, temos que o fluxo é dado por: EA 4r 2,

25 Então o campo elétrico pode ser escrito como: E 1 4 q 2 0 r.

26 Dentro da casca esférica (r < R) tomamos a superfície gaussiana S 1 que não contém nenhuma carga, assim pela lei de Gauss: 0, 0 o que resulta em: E 0.