de x = decosθ = k λdθ R cosθ, de y = desenθ = k λdθ R senθ, em que já substituímos dq e simplificamos. Agora podemos integrar, cosθdθ = k λ R,

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Patrícia Leal Belmonte
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1 FÍSICA BÁSICA III - LISTA 2 1 A figura 1 mostra um semicírculo carregado uniformemente na metade superior com carga +Q e na metade inferior com carga Q Calcule o campo elétrico na origem (E = Qĵ/π2 R 2 ) y +R O R +Q Q +R y +Q dl dq θ x O x de Fig 1 Problema 1 y +Q O L d P Fig 2 Problema 2 x O campo elétrico na origem é a soma total de todas as contribuições de todos os elementos de carga À direita temos uma dessas contribuições mostrada apenas para a metade positiva superior O módulo de de é de = k dq R 2 Notemos que para cada elemento de carga dq o campo de está em uma orientação diferente (diferentes ângulos θ) logo não podemos integrar essa expressão ainda Precisamos escrever as componentes x e y primeiro Como dl = Rdθ temos dq = λdl = λrdθ logo de x = decosθ = k λdθ R cosθ de y = desenθ = k λdθ R senθ em que já substituímos dq e simplificamos Agora podemos integrar E x = de x = k λ R E y = de y = k λ R π/2 0 π/2 0 cosθdθ = k λ R senθdθ = k λ R Assim o campo devido à metade positiva possui componentes negativas como esperado Para a metade inferior negativa procedemos de maneira análoga obtendo

2 E x = k λ R E y = k λ R O campo devido à metade negativa está orientado no quarto quadrante O campo total é portanto E x = 0 E y = 2k λ R Substituindo λ = Q/(πR/2) podemos escrever E y = 2k 2Q πr 2 = Q π 2 R 2 ou E = Qĵ π 2 R 2 2 Um fio de comprimento L carregado uniformemente com uma carga +Q encontra-se sobre o eixo y com uma extremidade na origem conforme mostra a figura 2 Calcule o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo x distante d da origem (E x = λl/4π d L 2 +d 2 ;E y = λ/4π ( 1/ L 2 +d 2 +1/d)) 3 A figura 3 mostra um arco de comprimento L carregado uniformemente com umacarga+qcalculeocampoelétriconaorigem(e x = λsenθ 0 /4π R;E y = λ(1 cosθ 0 )/4π R) y O P O R θ 0 L +Q R Fig 3 Problema 3 x q =+5 C q = 3 C 1 2 Fig 4 Problema 6 x

3 4 Um dipolo elétrico p encontra-se em uma região com um campo elétrico uniforme E O ângulo entre p e E é θ Calcule o torque sobre o dipolo Dados: p = qd; q = C; d = 04 mm; θ = 60 o ; E = N/C ( Nm) 5 Calcule o módulo do campo elétrico a 25 cm de uma carga puntiforme de 4 nc (576 N/C) 6 A figura 4 mostra uma carga puntiforme de 5 C na origem e uma carga puntiforme de -3 C em x 2 = 1 m Calcule a posição x de um ponto P onde o campo elétrico se anula (444 m) 7 Um elétron com velocidade m/s entra em uma região com um campo elétrico uniforme de N/C paralelamente ao vetor E Calcule a distância percorrida pelo elétron até parar (20 cm) 8 A tabela abaixo mostra o fluxo do campo elétrico através de cada uma das faces de um cubo Calcule a carga líquida dentro do cubo ( C) Face i Φ i (Nm 2 /C) A figura 5 indica o campo elétrico através das faces de um cubo sem carga em seu interior Como é o campo através da face F? (60 N/C para dentro do cubo) B 25 C +2Q 10 A 25 F D 20 +Q a b q i E 30 Fig 5 Problema 9 Fig 6 Problema 16 q e

4 10 A Terra apresenta um campo elétrico em sua superfície de aproximadamente 150 N/C dirigido para o seu centro Sendo o raio da Terra R = 6371 km calcule a carga líquida sobre a Terra ( C) O campo elétrico em r R é E = kq r 2 Na superfície da Terra temos então E = kq R 2 em módulo Dessa expressão obtemos Q = ER2 k = C Como o campo elétrico aponta para o centro da Terra essa carga é negativa 11 Uma esfera possui densidade de carga dada por ρ(r) = Ar 2 Calcule a carga total da esfera (4πAR 5 /5) Da definição de densidade de carga temos Q = ρdv = Ar 2 (4πr 2 dr) = 4πAR Calcule a aceleração de um elétron próximo à superfície da Terra onde E = 150 N/C ( m/s 2 ) Como o campo elétrico aponta para o centro da Terra a força elétrica sobre o elétron aponta para cima logo podemos escrever F e P = ma e a = F e P m = ee P m Substituindo os parâmetros para o elétron temos a = m/s 2

5 13 A 5 cm de um fio o campo elétrico é de 2000 N/C Quanto é o campo a 10 cm do fio? Qual é o valor da densidade linear de carga sobre o fio? (1000 N/C; C/m) Como o campo de uma linha de cargas é E = λ 2π r se dobramos a distância o campo é dividido por dois A 10 cm então E = 1000 N/C O valor da densidade de cargas é λ = E2π r = C/m 14 Dois anéis carregados uniformemente de mesmo raio r = 5 cm coaxiais encontram-se separados por uma distância d = 20 cm Um deles possui carga +20 nc e outro -20 nc Calcule o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo dos anéis equidistante deles Quanto vale a força sobre uma carga de -1 nc colocada em P? ( N/C; N) 15 Considere uma superfície retangular A de lados 2 cm e 3 cm no plano xz Calcule o fluxo do campo elétrico através de A para (a) E = 50î+100ˆk em N/C; (b) E = 50î+100ĵ em N/C (0; Nm 2 /C) Como a superfície está no plano xz escolhemos A = Aĵ (a) Φ = E A = (50î+100ˆk) (Aĵ) = 0 (b) Φ = E A = (50î+100ĵ) (Aĵ) = 100A = 006Nm2 /C 16 Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b possui uma carga total +2Q (fig 6) No centro da casca é colocada uma carga puntiforme +Q Calcule o campo elétrico a carga na superfície interior da casca e a carga na superfície exterior da casca (E = Q/4π r 2 em r < a; E = 0 em a < r < b; E = 3Q/4π r 2 em r > b; q i = Q; q e = +3Q) Podemos resolver esse problema utilizando a lei de Gauss E da = q in

6 Um importante resultado da lei de Gauss é que qualquer excesso de carga existente em um condutor isolado está localizado sobre sua superfície externa No equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo no interior do condutor devido à redistribuição de qualquer excesso de carga que tenha sido colocado no condutor Assim para qualquer gaussiana dentro do condutor teremos q in = 0 Vamos calcular o campo elétrico com a lei de Gauss e a simetria esférica para esse problema (a) r < a Temos E4πr 2 = Q E = Q 4π r 2 (b) a < r < b Nesse caso temos E = 0 pois estamos no interior do condutor em equilíbrio eletrostático Assim Φ E = 0 e portanto q in = 0 Como temos a carga +Q no centro devemos ter q i = Q na superfície interna do condutor (c) r > b A carga total dentro da gaussiana nesse caso é +3Q logo E4πr 2 = 3Q E = 3Q 4π r 2 A carga total no condutor é +2Q Como obtivemos q i = Q temos q e = +3Q na superfície externa 17 Um cilindro oco de raio R possui densidade linear de carga 2λ Um fio coaxial com o cilindro possui densidade linear de carga λ Calcule o campo elétrico e a densidade superficial de carga sobre o cilindro (E = λ/2π r em r < R; E = 3λ/2π r em r > R; σ = λ/πr) Vamos calcular o campo elétrico usando a lei de Gauss (a) r < R Considerando como superfície gaussiana um cilindro imaginário

7 com a linha de cargas no eixo temos Φ E = EA = E2πrL em que r é o raio do cilindro e L sua altura O campo é perpendicular ao fio A carga no interio da gaussiana é q in = λl logo E2πrL = λl de onde obtemos E = λ 2π r r < R (b) r > R Agora temos Φ E = EA = E2πrL e q in = 3λL logo E2πrL = 3λL de onde temos o campo elétrico E = 3λ 2π r r > R A densidade superficial de carga sobre o cilindro é σ = Q A = 2λL 2πRL = λ πr 18 Uma casca esférica de raio interno a e raio externo b possui uma carga Q distribuída uniformemente Calcule o campo elétrico (E = 0 em r < a; E = Q(r 3 a 3 )/4π (b 3 a 3 )r 2 em a < r < b; E = Q/4π r 2 em r > b) (a) r < a Como q in = 0 temos E = 0 (b) a < r < b Agora a carga total dentro da gaussiana é q in = ρv r com V r = 4π 3 (r3 a 3 )

8 A densidade de carga é uniforme logo ρ = Q V = 3Q 4π(b 3 a 3 ) e portanto q in = ρv r = Q(r3 a 3 ) (b 3 a 3 ) Com isso a lei de Gauss nos dá E4πr 2 = q in E = Q(r3 a 3 ) 4π r 2 (b 3 a 3 ) (c) r > b A carga total dentro da gaussiana nesse caso é Q logo E4πr 2 = Q E = Q 4π r 2 Notemos que o campo elétrico é contínuo 19 No modelo atômico de Rutherford o átomo é uma esfera de raio R com carga positiva +Ze no centro e carga negativa Ze distribuída uniformemente Calcule o campo elétrico (E = Ze(1/r 2 r/r 3 )/4π em r < R; E = 0 em r > R) (a) r < R Considerando como gaussiana uma esfera de raio r a carga no interior é q in = Ze+ρV = Ze+ Ze 4πr 3 ( ) = Ze 1 r3 4πR 3 /3 3 R 3 O fluxo do campo elétrico é Φ E = EA = E4πr 2 logo substituindo na lei de Gauss / temos

9 E4πr 2 = 1 Ze E = Ze 4π ( ) 1 r3 R 3 ( 1 r r ) 2 R 3 (b) r > R Nesse caso a carga total no interior da gaussiana é zero logo E = 0 20 Um cilindro de raio R possui densidade linear de carga λ e densidade de carga volumétrica ρ = rρ 0 /R Calcule ρ 0 e o campo elétrico (ρ 0 = 3λ/2πR 2 ; E = λr 2 /2π R 3 em r < R; E = λ/2π r em r > R) A carga correspondente a um comprimento L do cilindro é Q = λl Por outro lado também devemos ter Q = ρdv = R 0 rρ 0 R (2πrLdr) = 2πρ 0LR 2 3 Portanto 2πρ 0 LR 2 = λl 3 ρ 0 = 3λ 2πR 2 Vamos agora calcular o campo elétrico (a) r < R A superfície gaussiana é um cilindro de raio r e altura L Temos q in = ρdv = r 0 rρ 0 R (2πrLdr) = 2πρ 0Lr 3 3R O fluxo do campo elétrico é Φ E = E2πrL logo E2πrL = 2πρ 0Lr 3 3 R E = ρ 0r 2 3 R r < R

10 Em função de λ temos E = ρ 0r 2 3 R = 3λ 2πR 2 r 2 3 R = λr2 2π R 3 r < R (b) r > R Temos agora q in = λl logo E2πrL = λl E = λ 2π r r > R Em função de ρ 0 E = λ 2π r = 2πρ 0R π r = ρ 0R 2 3 r r > R

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