Conteúdos 5, 6 e 7 de Fundamentos do Eletromagnetismo

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1 Conteúdos 5, 6 e 7 de Fundamentos do Eletromagnetismo Prof. Dr. Vicente Barros 5- O campo elétrico 6- Comportamento de uma carga pontual e um dipolo. 7- Lei de Gauss elétrica

2 Antes de mais nada Vamos testar o quanto sabemos sobre carga elétrica usando um aparelho para gerar. acúmulo de cargas o aparelho van der Graaf. Responda as seguintes questões e faça um relatório que será compartilhado na comunidade do facebook. Como o van der Graaf carrega os corpos? Qual o apapel das banderolas? Você percebe uma tendência espacial no comportamento das banderolas?

3 O campo elétrico: Definições A definição de campo está associado a região do espaço onde há a ação de uma determinada força, de qualquer natureza, desta forma podemos definir campo elétrico como: Região do espaço que sobre a influência de uma dada carga elétrica, Q. Nesta região, corpos possuidores de cargas elétrica sofrem ação da força elétrica: Alguns autores definem dois tipos de campo elétrico Campo elétrico de afastamento: Gerado por carga positiva. As linhas de campo nascem da carga.

4 O campo elétrico: Definições De maneira análoga o campo elétrico de aproximação é aquele gerado por carga elétrica negativa, ou sejam, as linhas de campo morrem na carga. Campo de afastamento

5 O campo elétrico: Definições É necessário mais algumas definições. Uma definição bem útil é a carga de prova q. Esta é a carga que sofre a ação da força elétrica. Temos as seguintes expressões para a força elétrica. A força elétrica é definida como: Como q é um escalar. q 0 F mesmo sentido de E q 0 F sentido oposto de E F=q E E= F q E portanto, a unidade de campo elétrico é N/C.

6 O campo elétrico: Definições Podemos abstrair pensando que q não irá influenciar a distribuição de cargas, tem-se que: E= lim q 0 F q Agora pensaremos melhor sobre a definição de vetor para escrevermos de forma mais abrangente o vetor força elétrica. Se você lembra bem o vetor posição pode ser definido como:. d = r 2 r 1 E de forma geral

7 O campo elétrico: Definições r=x i y j z k Devemos lembrar que os versores são vetores unitários. Isto implica em dizer que é a mesma coisa de normalizarmos o vetor, portanto. x= x x i Pensando novamente em duas partículas carregadas.

8 O campo elétrico: Definições Nesta figura precisamos dizer qual a direção do vetor diferença entre as duas posições. Poderíamos dizer que ela é aproximadamente no eixo horizontal, mas podemos ser mais precisos r 1,2 = r 1,2 r 1,2 r 1,2 Ou seja, definimos o versor diferença de posições. Agora precisamos escrever a lei de Coulomb de outra forma.

9 O campo elétrico: Definições A lei de Coulomb usando apenas a intensidade da força resulta em: F 1,2 = kq 1 q 2 r 1,2 = kq 1 q 2 2 r 2 No caso da figura acima as forças são atrativas pois as cargas são diferentes. Escrevendo a lei de Coulomb em termos dos vetores. F 1,2 = kq 1 q 2 r 1,2 2 r 1,2 = kq 1 q 2 r 1,2 r 1,2 2 r 1,2 r 1,2= kq 1 q 2 r 1,2 3 r 1,2

10 O campo elétrico: Definições Mas, vamos voltar a pensar na carga de prova q e na carga que gera o campo Q que estão separadas por uma distância r, então teremos: F= kqq r 3 r Lembrando da definição de campo elétrico que q sofre teremos finalmente a expressão do campo elétrico. E= F q = 1 q Finalmente teremos: E= k Q r 3 r kq Q r 3 r= k Q r 3 r

11 Comportamento de uma carga pontual em um campo elétrico Falamos de força e falamos de um tipo diferente de interação da que estudamos em Mecânica. Agora vamos lembrar de alguns conceitos de Mecânica. Definição de dipólo elétrico Em Mecânica falamos sobre corpos extensos sujeitos a dois movimentos, rotação e translação. Vamos definir uma entidade no eletromagnetismo associada a essa propriedade mecânica. O dipólo elétrico que é: O sistema formado por 2 cargas opostas em sinal, porém idênticas em quantidade de carga, separadas pela distância d. Assim, podemos definir o momento de dipólo elétrico, p,como sendo um vetor..

12 Comportamento de uma carga pontual em um campo elétrico + d p=q d - Mas, podemos pensar também em apenas uma carga na ação de um campo que estará sujeita a uma versão e então, teremos:

13 Comportamento de uma carga pontual em um campo elétrico Comportamento semelhante ocorrerá com o dipólo, no entanto, o mesmo causará rotação se o dipólo estiver perpendicular ao campo.

14 Exercícios Antes de irmos para a Lei de Gauss, vamos fazer alguns exercícios 1-) Uma carga puntiforme de -3 mc gera um campo elétrico no vácuo. a-) Determine a intensidade do campo elétrico a 20 cm dessa carga e que tipo. b-) Qual a intensidade da força elétrica que uma carga de prova de 500 nc sofre nesse ponto a 20 cm da carga -2 mc? 2-) Determine o vetor campo elétrico no ponto P, que possui coordenadas (-1,5, 2) em metros, gerado pela carga q de 10 q micro Coulomb. x(m) y(m) 3-) Veja a figura ao lado. A que distância de q1 o campo elétrico será nulo?( As medidas estão em metros)

15 A lei de Gauss Como vimos, o divergente nos informa o quanto as linhas de força de um campo vetorial variam entre si (devergem) o rotacional indica o quanto as linhas de força se orientam no espaço. No entanto, se temos um área e queremos saber a quantidade de campo elétrico que atravessa esta área precisamos pensar melhor em uma área e imaginar a quantidade de linhas que atravessam a mesma. Para isso precisamos pensar em termos de uma superfície orientada.

16 A lei de Gauss Então, definimos o fluxo de campo elétrico, ΦE, dado por: E = S E n d S A unidade de fluxo de campo elétrico é Nm 2 /C Vamos pensar agora em uma esfera de raio R que envolve uma carga Q, sabemos o valor do campo em uma infintésimo de áre como mostra a figura abaixo.

17 A lei de Gauss Se queremos calcular o valor do campo em toda a superfície devemos resolver a integral E = Q 4 0 r r 2 sin d d 2 Adotei α para diferenciar o ângulo do fluxo ΦE. É fácil encontrar o resultado E = Q 0 E então. E = S E n d S= Q 0

18 A lei de Gauss A lei de Gauss, na forma diferencial pode ser expressa pelo Teorema da divergência. Então: E = S E n d S= v E dv v E dv= Q 0 Pensando agora em termos de densidade volumétrica de carga, que representaremos por ρ, teremos. = dq dv Q= v dv Então, v E dv= v 0 dv

19 A lei de Gauss E finalmente chegamos na lei de Gauss da eletricidade na sua forma diferencial. E= 0 Bibliografia Griffiths, P. Introduction to Electrodynamics, New York:Springer, 2001.