LIÇÃO 02 O CAMPO ELÉTRICO. Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas

Transcrição

1 ELETROMAGNETISMO

2 LIÇÃO 02 O CAMPO ELÉTRICO

3 Como vimos, não é necessário que duas partículas estejam em contato para que interajam entre si. Essa interação ocorre através do chamado campo. Para o caso dos planetas, temos o campo gravitacional. Para as partículas com carga, temos o campo elétrico. Coloquemos uma partícula positiva q (chamada carga de prova) nas proximidades de outra partícula de carga qualquer Q. Nossa carga de prova sentirá uma força de atração ou repulsão sobre ela, e sabemos que essa força é dada pela lei de Coulomb. Então, a força sobre nossa carga será: F q = 1 Q 4πε 0 r 2 r E assim definimos o campo elétrico como: E = F q

4 A unidade de campo elétrico é o newton por coulomb (N/C). Podemos representar graficamente o campo elétrico de modo a usar as chamadas linhas de campo. Essas linhas são desenhadas em torno da carga. É importante ressaltar que as linhas de campo não são algo real. Trata-se apenas de um esquema representativo. Se quiséssemos representar, de fato, o campo elétrico teríamos de desenhar infinitas linhas de campo. Mas isso é um pouco trabalhoso. Para cargas positivas, a convenção é desenhar linhas saindo da carga. Já para as cargas negativas, as linhas são desenhadas entrando na carga.

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6 O princípio da superposição também se aplica aos campos elétricos. Logo, várias cargas irão ocasionar um campo resultante em determinado ponto. Porém, imagine que ao invés de cargas puntiformes nós tenhamos um objeto carregado, como um anel cheio de cargas elétricas. Por estar carregado, esse anel ocasiona um campo elétrico em torno de si. Podemos usar o princípio da superposição para calcular o campo? Para usar o princípio da superposição teríamos de calcular, primeiro, o campo individual de cada carga no anel. Porém é trabalhoso visto que temos uma quantidade enorme de cargas. As cargas se distribuem por todo o anel, de modo contínuo. Para calcular o campo resultante devemos integrar todos os campos elétricos. Assim, para distribuições contínuas (seja de carga ou de massa) o princípio da superposição nos fornecerá uma integral, e não mais um simples somatório. Logo: E = de Onde de representa o diferencial do campo.

7 Por exemplo, tomemos um anel de raio R e que possui uma distribuição contínua de cargas positivas sobre sua superfície. Vamos olhar para uma única carga dq no anel. Essa carga produz um campo de no ponto P, que está a uma distância d dessa carga e a uma distância x do centro do anel (vamos imaginar que essa distância x é a coordenada cartesiana).

8 Se tomarmos a carga diametralmente oposta, essa irá produzir, também, um campo em P. Esse campo, somado vetorialmente com o campo da primeira carga, irá produzir um campo resultante na direção de x:

9 Note que quaisquer cargas do anel irão produzir um campo resultante na mesma direção. Portanto, temos um caso bem simétrico e podemos resolver nosso problema com a integração. Se tomarmos qualquer carga, basta integra-la para todo o anel que assim encontraremos o campo resultante. Assim, a partir da nossa primeira carga notamos que a geometria nos fornece um triângulo retângulo.

10 Nosso campo resultante está apontando, em nosso caso, na direção x. A direção x,por sua vez, faz parte do cosseno do nosso triângulo. Portanto, o campo que procuramos é dado por: de x = decosα Note que a distância até a carga é a hipotenusa do triângulo, que é dada por: d 2 = R 2 + x 2 Logo, o elemento de campo de será: de = 1 dq 4πε 0 (R 2 +x 2 ) Portanto, o campo que devemos encontrar é: de x = 1 4πε 0 dq (R 2 +x 2 ) cosα

11 Pelas relações trigonométricas: cateto ajacente cosα = hipotenusa Ou x cosα = R 2 + x 2 1/2 Então, o diferencial do campo se torna: de = 1 dq x 4πε 0 (R 2 +x 2 ) R 2 + x 2 1/2 de = 1 4πε 0 dqx R 2 + x 2 3/2

12 Assim, integramos em todo o arco e obtemos o campo resultante: de x = E x E = 1 4πε 0 x R 2 + x 2 3/2 dq E = 1 4πε 0 Qx R 2 + x 2 3/2 x

13 Poderíamos ter optado por escrever a densidade de cargas, de modo que dq = λdl. Onde λ é a densidade linear de carga e dl é o diferencial do comprimento do anel. Porém chegaríamos ao mesmo resultado. Agora, se formos tratar do campo elétrico gerado por um objeto plano, como um disco, então devemos escrever a carga elétrica em termos de sua densidade superficial de cargas, isto é, carga sobre a área (σ = dq/da). Com isso, encontraremos uma integral dupla para resolver, visto que da = rdrdθ.

14 Então temos um disco carregado positivamente de raio R que produz um campo no ponto P que está a uma distância z do centro do disco (imagine que z seja um eixo de coordenada). A análise desse problema é semelhante à do anel, mas agora ao invés de tomarmos uma única carga, tomaremos um elemento de anel em nosso disco. Qualquer carga sobre esse anel estará a uma distância d do ponto P. Logo o campo resultante estará apontando na direção z. Portanto, o campo será: de z = decosα

15 Usando a distância como a hipotenusa do triângulo retângulo e a definição de cosseno: de z = 1 σdaz 4πε 0 r 2 + z 2 3/2 Mas temos que da = rdrdθ. Quando escolhemos certa quantidade de carga a uma distância r do centro disco, está ocupa uma área infinitesimal. A medida que vamos formando um arco de cargas em volta do centro do disco, vamos aumentando a área a qual as cargas ocupam. Aumentando o arco estamos aumentando o ângulo θ. Note que a espessura do arco também irá mudar a área a qual as cargas estão inseridas. Por essa razão, a nossa área depende tanto do raio quanto do ângulo. Quando o ângulo θ for igual a 2π, o arco terá se tornado um anel em torno do centro, e quando o raio r for igual a R, todo o disco estará preenchido.

16 Portanto, nosso cálculo se torna: de z = 1 σrdrdθz 4πε 0 r 2 + z 2 3/2 Colocando o problema em duas integrais: E z = σz R 2π rdr 4πε 0 0 r 2 + z 2 3/2 dθ 0 A segunda integral é trivial e nos dará simplesmente 2π. Já a primeira integral necessita de uma regra de substituição para ser resolvida. Chamando r 2 + z² de u fazemos: u = r 2 + z 2 du = 2rdr Logo: dr = du 2r

17 Nossa equação se torna: E z = σ2πz 4πε 0 R 2 +z² rdu z² 2ru 3/2 R 2 +z² du E z = σz 4ε 0 z² u 3/2 Note que nossos limites iam de 0 a R, mas como mudamos nossa variável, é necessário mudar, também, os limites de integração. Assim, para r = 0 r 2 + z 2 = z² e para r = R r 2 + z 2 = R 2 + z². Agora, só nos resta resolver a integral para u. Usando a regra da potencia: E z = 2σz R 1 2 +z² 4ε 0 u 1/2 z² E z = σz 2ε 0 1 z 1 R 2 + z 2 1/2 = σ 2ε 0 1 z R 2 + z 2 1/2

18 Voltando para a análise de campos em cargas puntiformes, podemos esboçar a interação entre cargas. Sabemos que as linhas de campo sempre saem da carga positiva e chegam na carga negativa. Assim, para duas cargas de sinais opostos, o campo entre elas será representado como:

19 Se tivermos duas cargas iguais (duas positivas, por exemplo) as linhas de campo não vão se encontrar. Logo, o campo será representado como:

20 Num campo elétrico, as linhas de força são sempre paralelas às linhas de campo. Se o campo se curva em determinado ponto, então a linha de força será tangente à esse ponto.

21 Em um caso especial, temos duas cargas de mesma magnitude mas sinais contrários. A isso damos o nome de dipolo elétrico. Se um dipolo elétrico é inserido dentro de um campo elétrico, então o dipolo sofrerá um torque, de modo que comece a oscilar. Sendo d a distância entre as cargas, definimos como o momento do dipolo: p = q d Portanto, o torque será dado por: τ = Fdsenθ τ = qedsenθ Ou então: τ = pesenθ Em termos de vetor: τ = p E

22 Qual o campo produzido pelo dipolo elétrico em um ponto P? Para esse caso, podemos resolver pelo princípio da superposição. O campo em P será: E = E + + E q E = 2 4πε 0 r q + 4πε 0 r2 q E = 4πε 0 z 2 1 d 2 q 4πε 2z 0 z d 2 2z q 2d/z E = 4πε 0 z² 1 d 2 2 2z E = qd 2πε 0 z³ 1 1 d 2z 2 2 Note que se o ponto P estiver bem distante do dipolo (de modo que z d), então nosso resultado será: E = qd 2πε 0 z 3

23 Agora podemos refletir sobre três coisas: 1 - Para o caso do disco carregado, o que acontece se R tende para um número muito grande (tende para infinito)? 2 - Ainda para o caso do disco, o que ocorre se R é muito pequeno (tende a zero) ou se z tende ao infinito? 3 - Como deveríamos fazer para calcular o campo gerado por uma esfera carregada? Se para um plano usamos uma integral dupla, nesse caso precisaríamos de uma integral tripla (visto que a esfera ocupa um volume)?