Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática Densidade de Corrente e Eq. da Continuidade (Capítulo 4 Páginas 109 a 113) Densidade de corrente Elétrica Equação da Continuidade Forma Integral Equação da Continuidade Forma Diferencial 2

3 - Eletrostática Densidade de Corrente abemos que a corrente elétrica é um escalar definido como a taxa da quantidade de carga por unidade de tempo que atravessa a seção de um meio condutor: I = dq dt Em eletromagnetismo é mais conveniente trabalhar com a densidade de corrente J. [A] J está relacionada com a corrente total I que passar por um condutor de área por: I = J d 3 x z Qual é o valor de J no condutor cilíndrico? y I

4 - Eletrostática Densidade de Corrente A densidade de corrente pode ser de três tipos: de condução, de convecção e de deslocamento. A corrente de convecção não envolve condutores e não obedece a lei de Ohm. Ela resulta do fluxo de cargas através de um meio não condutor (feixe de elétrons em TRC). e um densidade de carga ρ v estiver se movendo com velocidade v, a densidade de corrente de convecção é: J = ρ v v ρ v v 4

5 - Eletrostática Equação da Continuidade (de Cargas) Considere uma superfície fechada numa região do espaço. e em um instante de tempo uma densidade de corrente J atravessa superfície, a corrente que atravessa é: I = J d " Pergunta: Quando a corrente vai ser positiva ou negativa? Q i e Q i for a carga contida dentro de, a equação da continuidade na forma integral nos diz que a corrente saindo (entrando) de é igual a taxa de diminuição (aumento) temporal de Q i, " J d = Q i t 5

6 - Eletrostática Equação da Continuidade (de Cargas) Cargas não são criadas nem destruídas. Cargas são conservadas: se há uma diminuição da quantidade de carga em algum lugar do espaço, há um aumento da quantidade de carga em outro. Q i Considere o seguinte gráfico de Q i ao longo do tempo: Q i α t " J d = Q i t Pergunta: A corrente I está saindo ou entrando da superfície fechada? Pergunta: Qual o valor da corrente? I = tan(α) 6

7 - Eletrostática Equação da Continuidade (Forma Diferencial) E se no lugar de Q i houver uma densidade de cargas ρ v dentro de? vol. A carga dentro do volume vol. envolvido por é: ρ v Q i = vol. ρ v dv Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor Densidade de corrente (J) ao longo de uma superfície fechada é igual a integral volumétrica do divergente de J no volume vol. envolvido pela superfície. " J d = J dv vol. 7

8 - Eletrostática Equação da Continuidade (Forma Diferencial) ubstituindo as duas últimas equações na equação da continuidade na forma integral: Chegamos à equação: vol. " J d = Q i t J dv = t vol. ρ v dv ρ v vol. Note que vol. pode ser qualquer volume. Assim, chega-se à forma diferencial (ou pontual) da equação da continuidade: J = ρ v t 8 Relaçao com 1 a Lei de Kirschhoff (correntes)?

9 - Eletrostática Equação da Continuidade na Forma Diferencial Lembrando que o divergente do vetor J é igual ao fluxo de densidade de corrente saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume. J = lim Δv 0 J d " Δv A interpretação física da Eq. da Continuidade é que um fluxo de corrente saindo de um ponto infinitesimal gera a diminuição da densidade de carga neste ponto. Um fluxo de corrente entrando num ponto infinitesimal gera o aumento da densidade de carga neste ponto. 9

10 - Eletrostática Analogia com a Equação de continuidade de massa Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída. volume fixo Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai. e o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar. e o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), 10 indicando compressão do ar.

11 - Eletrostática Exemplo Dado J =10ρ 2 zâ ρ 4ρ cos 2 φ â φ [ma / m 2 ] (a) Calcule a densidade de corrente em (ρ = 3, φ = 30º, z = 2). (b) Determine a corrente total que flui para fora da faixa circular ρ = 3; 0 < φ <2π; 2 < z <2,8. 11

12 - Eletrostática Exemplo Dado J = 10 6 z 1,5 â z [A / m 2 ] 0 ρ 20µm 0 ρ > 20µm (a) Calcule a corrente total que atravessa a superfície z = 0,1m na direção a z. (b) e v z = 2x10 6 m/s é a velocidade dos portadores de carga em z = 0,1 m, calcule ρ v. (c) e a densidade volumétrica de carga em z = 0,15m é C/m 3, calcule a velocidade da carga. 12

13 - Eletrostática Exemplo 3 Considere uma densidade de corrente que decresce exponencialmente com o tempo: J = 1 r e t â r [A / m 2 ] (a) Em t = 1s calcule a corrente total que flui para fora em r = 5m. (b) No mesmo instante, calcule a corrente total para r = 6m. (c) Calcule a densidade volumétrica de carga. (d) Calcule a velocidade dos portadores de carga. 13