FÍSICA (ELETROMAGNETISMO) LEI DE GAUSS

Transcrição

1 FÍSICA (ELETROMAGNETISMO) LEI DE GAUSS Carl Friedrich Gauss ( ) foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu significativamente em vários campos da ciência, incluindo a teoria dos números, análise matemática, geometria diferencial, geodesia, magnetismo e óptica. 1 INTRODUÇÃO Em muitos casos onde pretendemos calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas a presença de simetrias facilita nosso trabalho, simplificando o problema. Situações em que há simetria aparecem em todos os campos da física e sempre que possível faz sentido tentarmos expressar as leis da física em formas que nos permitam tirar o máximo proveito delas. A lei de Coulomb é a lei básica da eletrostática, mas ela não está expressa numa forma que possa simplificar consideravelmente o trabalho em situações que envolvem simetria. Neste capítulo, vamos tratar de uma nova formulação da lei de Coulomb, denominada lei de Gauss, que pode facilmente tirar vantagem de tais situações especiais. Na prática, usamos a lei de Coulomb para problemas que envolvem pouca ou nenhuma simetria e a lei de Gauss para problemas com um elevado grau de simetria. De acordo com a lei de Coulomb, o campo elétrico criado por uma carga puntiforme é A lei de Gauss fornece um outro modo, equivalente, de escrever esta relação através da definição de uma superfície fechada hipotética, chamada de superfície gaussiana. Essa superfície fechada pode ter a forma que desejarmos, mas será de maior utilidade se escolhermos uma superfície adequada para a simetria de um dado problema. Assim, a superfície gaussiana geralmente terá uma forma simétrica, como uma esfera ou um cilindro, e sempre deve ser fechada de modo que podemos distinguir quaisquer pontos que estejam dentro da superfície, sobre a superfície ou fora da superfície. A lei de Gauss vai então relacionar o campo elétrico sobre uma superfície gaussiana produzido por uma distribuição de cargas localizadas no interior da superfície. Mas como quantificar, ou medir, o campo elétrico sobre uma superfície gaussiana? A resposta desta questão surge com a definição de um novo conceito, o fluxo elétrico. 2 FLUXO Antes de discutirmos a lei de Gauss, devemos entender o conceito de fluxo (símbolo Φ), que é uma propriedade de qualquer campo vetorial. Suponhamos que exista uma corrente de ar de velocidade constante e módulo v fluindo em direção a uma janela aberta de área A. Podemos definir uma vazão de ar Φ, isto é, a taxa pela qual o ar escoa pelo plano da janela. Essa taxa vai depender do ângulo entre o vetor v e o plano da janela (ver Figura 1). Quando v é perpendicular ao plano, a taxa é igual a v.a; se for paralelo, a taxa é nula. Para ângulos intermediários, a taxa Φdepende da componente de v que é perpendicular ao plano, ou seja Em termos vetoriais, definimos um vetor área A como sendo um vetor cujo módulo é igual a uma área e cuja direção é normal ao plano da área. Podemos reescrever anterior como o produto escalar do vetor velocidade v da corrente de ar e o vetor área A da janela: Esta equação nos dá o fluxo do campo de velocidades através da janela. Assim, o fluxo pode ser interpretado como a quantidade de campo que uma área intercepta, podendo ser generalizado para qualquer campo vetorial. 1

2 Figura 1 - (a) Uma corrente uniforme de ar de velocidade v é perpendicular ao plano da janela da área A. (b) A componente de v perpendicular ao plano da janela é v.cosθ, onde θ é o ângulo entre v e a normal do plano. (c) O vetor de área A é perpendicular ao plano da janela e faz um ângulo θ com v. (d) O campo de velocidade interceptado pela área da janela. 3 FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO Para definirmos o fluxo do campo elétrico, consideremos a Figura 2, que mostra uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa num campo elétrico não uniforme. Dividimos a superfície em pequenos quadrados de área ΔA, pequenos o suficiente para desprezar qualquer curvatura. Cada elemento de área pode ser representado por um respectivo vetor área A. Como estes elementos de área são suficientemente pequenos podemos considerar o campo elétrico constante através deles. Os vetores A e E para cada quadrado fazem entre si um ângulo θ. O fluxo do campo elétrico total que atravessa a superfície gaussiana pode ser escrito como onde somamos as contribuições do fluxo sobre todos os elementos de área ΔA. Se tomamos o limite para ΔA 0, o vetor área se aproxima de um limite diferencial da e a soma da equação se transforma numa integral que deve ser feita sobre toda a superfície fechada: O fluxo do campo elétrico é um escalar e sua unidade SI é o N m 2 /C. 2

3 Figura 2 - (a) Uma superfície gaussiana imersa de forma arbitrária em um campo elétrico. Sua superfície está dividida em pequenos quadrados de área A. (b) Os vetores campo elétrico E e os vetores de área A para três quadrados representativos, identificados por 1, 2 e 3. No quadrado 1, E aponta para fora e o fluxo resultante é positivo. No quadrado 2, E tangencia a superfície e o fluxo é nulo. No quadrado 3, E aponta para dentro e o fluxo é negativo. 4 A LEI DE GAUSS A lei de Gauss relaciona o fluxo (total) ΦE de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) e a carga líquida qin que está envolvida por essa superfície, isto é, a carga total no interior da superfície. Ela nos diz que: onde ϵ0 é a mesma constante de permissividade elétrica que foi usada na lei de Coulomb. Usando a definição para o fluxo, podemos escrever a lei de Gauss como A carga líquida qin é a soma algébrica de todas as cargas positivas e negativas envoltas pela superfície gaussiana, de modo que ela pode ser positiva, negativa ou mesmo nula. Quando qin é positiva, o fluxo líquido está saindo da superfície (para fora); se qin é negativa, o fluxo é para dentro. Cargas fora da superfície não são consideradas. 3

4 4.1 e Lei de Coulomb A lei de Coulomb pode ser deduzida a partir da lei de Gauss considerando a simetria de um problema. Por exemplo, vamos aplicar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico de uma carga puntiforme positiva q. Apesar da lei de Gauss ser válida para qualquer superfície fechada, vamos adotar por simplicidade uma superfície que possua uma simetria que facilite a resolução do problema. Adotamos uma esfera de raio r em torno da carga q de tal forma que os vetores E e da possuam a mesma direção e o módulo de E é constante em qualquer ponto da superfície da esfera. Portanto o produto escalar E da passa a ser simplesmente EdA e a lei de Gauss fica Como E é constante e qin = q, temos E obtemos o valor de E: Portanto chegamos ao mesmo resultado dado pela lei de Coulomb para o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. 5 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS Distribuição de cargas com simetria esférica Uma esfera sólida e não-condutora de raio a possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ e está carregada com uma carga total Q (Figura 3) 4

5 Figura 3 - Esfera não-condutora de raio a, carregada com uma carga Q distribuída uniformemente em todo seu volume. (a) Cálculo do campo elétrico fora da esfera (r > a) Como temos uma distribuição de cargas com simetria esférica, escolhemos uma superfície gaussiana de raio r, concêntrica com a esfera, como mostrado na Figura 3. Esta escolha nos leva a duas simplificações para a aplicação da lei de Gauss: (1) E é paralelo a d A em qualquer ponto da superfície; (2) o módulo de E é constante, já que depende apenas de r. Portanto: Note que este é o mesmo resultado que obtemos para uma carga puntiforme. (b) Cálculo do campo elétrico no interior da esfera (r < a) Neste caso, selecionamos uma superfície gaussiana esférica com raio r < a, concêntrica com a esfera, conforme mostra a Figura 3.b. Vamos chamar o volume desta pequena esfera por V. Para aplicar a lei de Gauss nesta situação é importante reconhecer que a carga interna à superfície gaussiana de volume V, qint, é menor que a carga total da esfera Q. Para calcular qint, usamos o fato que qint = ρ.v : Por simetria, o módulo do campo elétrico é constante em qualquer ponto na superfície gaussiana e é normal à superfície em cada ponto. Portanto, usando a lei de Gauss, temos: 5

6 Campo elétrico devido a uma casca esférica Uma fina casca esférica de raio a possui uma carga total Q distribuída uniformemente sobre sua superfície externa, como mostra a Figura 4. Vamos determinar o campo elétrico dentro e fora da casca. Figura 4 - (a) O campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero. (b) Superfície gaussiana para r > a. (c) Superfície gaussiana para r < a. (a) Cálculo do campo fora da casca esférica (r > a) O cálculo do campo fora da casca é idêntico ao que obtivemos no caso da esfera. Se adotarmos uma superfície gaussiana esférica de raio r > a concêntrica com a casca, a carga no seu interior é Q. Portanto, o campo em um ponto fora da casca é equivalente àquela devido a uma carga pontual Q localizado no seu centro: (b) Cálculo do campo dentro da casca esférica (r < a) O campo elétrico no interior da casca é zero. Isto pode ser obtido pela aplicação da para uma superfície esférica com raio ar < a concêntrica com a esfera. Como a carga líquida no interior dessa superfície é zero, a lei de Gauss nos dá E = 0 para r < a. Distribuição de cargas com simetria cilíndrica Seja uma linha infinita de cargas positivas e densidade de carga linear λ constante. Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da linha A simetria dessa distribuição de cargas requer que o vetor E seja perpendicular à linha de cargas e dirigido para fora, como mostrado na Figura 5. Para refletir esta simetria, vamos usar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l, com eixo central correspondendo ao eixo da linha. Para a parte curva da superfície (envoltório), E possui módulo constante e perpendicular à superfície em cada ponto. Além disso, os fluxos através das bases superior e inferior da superfície cilíndrica são nulos, já que E é paralelo a estas superfícies. Vamos aplicar a lei de Gauss sobre toda a superfície gaussiana. Como nas bases da superfície o valor de E da é igual a zero, apenas consideramos a integral sobre a superfície curva do cilindro. A carga total dentro da superfície gaussiana é λl. Aplicando a lei de Gauss, obtemos: 6

7 Figura 5 - Uma linha de cargas infinita envolta por uma superfície gaussiana cilíndrica. A área da superfície curva é A = 2π.r.l. Portanto, Assim, o campo elétrico devido a uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica varia com 1/r, enquanto que para uma distribuição esfericamente simétrica ele varia com 1/r 2. Plano infinito não condutor Agora considere um plano infinito carregado com cargas positivas distribuídas uniformemente sobre sua superfície com densidade superficial de cargas σ (Figura 6). Figura 6 - Uma superfície gaussiana cilíndrica penetrando um plano infinito de cargas. Para calcular o campo elétrico a uma distância qualquer do plano, por simetria, E deve ser perpendicular a ele e deve ser constante em todos os pontos a uma mesma distância do plano. A direção do campo elétrico produzido pelo plano é para fora do plano, em ambos os lados, como mostra a Figura 6. A superfície gaussiana que reflete essa simetria é um pequeno cilindro cujo eixo é perpendicular ao plano e cujas bases possuem área A, equidistantes ao plano. Como E é paralelo à superfície curva do cilindro, o fluxo é zero em 7

8 toda a superfície. Para as bases, o fluxo através de cada área é EA; assim, o fluxo total que atravessa toda a superfície gaussiana é a soma dos fluxos de cada bases, φ E = 2EA. A carga elétrica total no interior da superfície gaussiana é q int = σa. Aplicando a lei de Gauss, temos: Como a distância até as bases da superfície gaussiana cilíndrica não aparece nessa expressão, concluímos que o campo possui o valor E = σ/2ε 0 para qualquer distância até o plano. Ou seja, o campo elétrico é uniforme em todo o espaço em torno de um plano infinito carregado com densidade superficial de cargas constantes. 6 CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO Podemos resumir as propriedades do campo elétrico no interior de um condutor carregado isolado (em equilíbrio eletrostático) nos seguintes itens:. O campo elétrico no interior de um condutor é nulo;. Um condutor possui cargas apenas em sua superfície;. O campo elétrico na direção tangencial à superfície do condutor é nulo;. E = σ / ε0. O módulo do campo elétrico pode ser obtido através da escolha de uma superfície gaussiana cilíndrica perpendicular à superfície do condutor, tal como mostra a Figura 4. O fluxo elétrico que atravessa essa superfície é dada por: já que os fluxos na base interna do cilindro e no corpo do cilindro são nulos. Se o condutor possui uma densidade superficial de carga σ = q/a, podemos derivar o campo elétrico produzido na parte externa do condutor: 8

9 Figura 7 - Vistas em perspectiva (a) e de lado (b) de uma pequena parte de um condutor extenso e isolado, com carga positiva em excesso sobre sua superfície. 9

10 PROBLEMAS 3.1 A superfície quadrada da Figura a seguir tem 3,2 mm de lado. Ela está imersa num campo elétrico uniforme com E = 1800 N/C. As linhas do campo formam um ângulo θ = 35º com a normal apontando para fora, como é mostrado na figura. Calcular o fluxo através da superfície. 3.2 Uma carga puntiforme de 1,8 µc encontra-se no centro de uma superfície gaussiana cúbica de 5,2 cm de aresta. Calcule o valor do fluxo elétrico através desta superfície. 3.3 Uma carga puntiforme q é colocada em um dos vértices de um cubo de aresta a. Qual é o valor do fluxo total que atravessa o cubo? (Sugestão: use a e argumentos de simetria) 3.4 Uma esfera condutora uniformemente carregada de 1,2 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga de 8,1 µc/m 2. Qual é o valor do fluxo elétrico total que está deixando a superfície da esfera? 3.5 Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é dado por onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R. 3.6 Uma esfera condutora de 10 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido. Sabendo-se que o campo elétrico a uma distância de 15 cm do centro da esfera tem módulo igual a 3x10 3 N/C e aponta radialmente para dentro, qual é a carga líquida sobre a esfera? 3.8 Uma esfera sólida de 40 cm de raio possui uma carga total positiva de 26 µc distribuída uniformemente através de seu volume. Calcule o campo elétrico em pontos com distância ao centro da esfera de (a) 0 cm, (b) 10 cm, (c) 40 cm e (d) 60 cm. 3.9 Uma distribuição esfericamente simétrica de carga possui uma densidade volumétrica de carga dada por ρ = a/r, onde a é uma constante. Encontre o campo elétrico como função de r. 10