Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2. Nome: Data: 13/08/2012

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1 Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Programa de Pós-Graduação em Física Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2 Nome: Data: 13/08/2012 1

2 Seção A: Mecânica Clássica Uma nave espacial cilíndrica, de massa M e comprimento L, está flutuando no espaço sideral. Seu centro de massa, que podemos tomar como o seu ponto médio, é escolhido como origem O das coordenadas, com Ox ao longo do eixo do cilindro. (a) No instante t = 0, um astronauta dispara uma bala de revólver de massa m e velocidade υ ao longo do eixo, da parede esquerda até a parede direita, onde fica encravada. Calcule a velocidade V de recuo da nave espacial. Suponha que m M, de modo que M ±m M. (b) Calcule o recuo total X da nave, depois que a bala atingiu a parede direita. Exprima-o em função do momento p transportado pela bala, eliminando da expressão a massa m. (c) Calcule o deslocamento x do centro de massa do sistema, devido à transferência da massa m da extremidade esquerda para a direita da nave. (d) Mostre que X+ x = 0, e explique por que este resultado tinha necessariamente de ser válido. (e) Suponha agora que o astronauta, em lugar de um revólver, dispara uma canhão de luz laser. O pulso de radiação laser, de energia E, é absorvido na parede direita, convertendo-se em outras formas de energia (térmica, por exemplo). Sabe-se que a radiação eletromagnética, além de transportar energia E, também transporta momento p, relacionado com E por: p = E/c, onde c é a velocidade da luz. Exprima a resposta do item (b) em termos de E e c, em lugar de p. (f) Utilizando os itens (c), (d) e (e), conclua que a qualquer forma de energia E deve estar associada uma massa inercial m, relacionada com E por E = mc 2. Um argumento essencialmente idêntico a este, para ilustrar a inércia da energia, foi formulado por Einstein. 2

3 Questão 2 Uma partícula de massa m move-se num plano sob a influência de uma força f = Ar α 1 direcionada para a origem; A e α são constantes positivas. Utilize coordenadas generalizadas apropriadas, e escolha o zero da energia potencial na origem. Encontre as equações lagrangianas de movimento. O momento angular em relação à origem é conservado? A energia total é conservada? Justifique suas respostas. 3

4 Seção B: Termodinâmica (a) Faça um diagrama P-V, a partir de um estado inicial P 0 V 0, de uma expansão adiabática, de uma expansão isotérmica e de uma expansão isobárica, todas até o volume final 2V 0 de um gás ideal. Use este gráfico para determinar em qual dos processos é realizado o menor trabalho pelo sistema. (b) Calcule o trabalho relativo a cada processo. (c) Faça agora um outro diagrama P-V para a substância agora comprimida até V 0 /2 pelos mesmos processos. Em qual deles seria realizado o menor trabalho? (d) Calcule o trabalho de cada processo neste caso. (e) Construa, agora, dois diagramas P-T, um com as expansões e outro com as compressões, todos partindo de um estado P 0 T 0. Considere que γ = c P /c v = 5/3. Questão 2 A pressão sobre um bloco de cobre a uma temperatura de 0 C é aumentada isotérmica e reversivelmente de 1 atm a atm. Suponha que o coeficiente de expansão volumétrico ou expansibilidade β = K 1, o coeficiente de compressão isotérmico ou compressibilidade κ = m 2 N 1 e a densidade ρ = 8, kg m 3 sejam constantes. Calcule (a) a variação de volume ou de densidade do cobre neste processo, (b) o trabalho por quilograma feito sobre o cobre e (c) o calor desprendido também por unidade de massa. β = (1/V)( V/ T) P ; κ = (1/V)( V/ P) T. 4

5 Seção C: Eletromagnetismo Clássico Duas esferas condutoras isoladas, de raios r 1 = a e r 2 = a/2, estão carregadas com uma mesma quantidade de carga q. (a) Obtenha o valor do campo elétrico na superfície de cada esfera. (b) Obtenha explicitamente a razão entre os campos elétricos superficiais. Expresse, também, o resultado desta razão em função das densidades superficiais de carga, σ 1 e σ 2. (c) Estas esferas isoladas são conectadas por um fio condutor. Qual a carga q 1 e q 2 em ambas ao final deste processo? Questão 2 A Lei de Ampère, antes de Maxwell, era dada pela seguinte equação: H = J Responda: (a) Qual foi a contribuição de Maxwell para esta equação e porque ela foi modificada. (b) Qual o significado físico do termo incluído por Maxwell. (c) Como se altera, então, a lei de circulação de Ampère? 5

6 Seção D: Física Quântica Considere uma partícula num poço de potencial unidimensional infinito, onde V = 0 para x < L. A fun ão de onda é dada por ψ = Asenkx+Bcoskx. (a) Aplique as condições de contorno na função de onda para deduzir que k = nπ/(2l), n = 1,2,3,..., com A = 0 para n ímpar e B = 0 para n par. (b) A densidade de probabilidade de encontrar a partícula numa dada posição x é proporcional a ψ 2. Use este fato para normalizar a função de onda, isto é, encontre a constante de proporcionalidade A. (c)usandooresultadodoitemanterior, calculeovalormédio eodesvio padrãodex(dadopor x2 x 2 ). Mostre que, no limite de n grande, os resultados tendem aos valores clássicos para uma partícula oscilando no poço com velocidade uniforme: x = 0, x 2 1/2 = L/ 3. (d) A equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como (p 2 /2m+V)ψ = Eψ, onde p = i h / x em 1 dimensão. Mostre que uma partícula num estado n tem energia E n = h 2 π 2 n 2 /(8mL 2 ). 6

7 Questão 2 Considere a matriz hermitiana: Ω = (a) Mostre que os autovalores têm os valores ω 1 = ω 2 = 1 e ω 3 = 2. (b) Mostre que ω = 2 é qualquer vetor da forma 1 (2a 2 ) 1/2 0 a a (c) Mostre que o autoespaço ω = 1 contém todos os vetores da forma b 1 (b 2 +2c 2 ) 1/2 c c tanto substituindo ω = 1 nas equações ou forçando que o autoespaço ω = 1 seja ortogonal a ω = 2. 7