Capítulo 22 Lei de Gauss

Transcrição

1 Capítulo Lei de Gauss 1

2 Propriedades das linhas de campo elétrico A uantidade de linhas de campo associada a uma distribuição de carga elétrica é proporcional à carga da distribuição Quanto maior a carga, maior a uantidade de linhas de campo. Linhas de campo não se cruzam! Divergem de cargas positivas; Convergem para cargas negativas; O vetor campo elétrico é um ponto do espaço é tangente à linha de campo nauele ponto

3 Fluxo létrico, Φ O cálculo do fluxo de campo consiste em contar a uantidade de linhas de campo ue atravessam determinada área. O fluxo de campo pode ser relacionado com a o intensidade da componente do campo ue atravessa a área de perpendicularmente a ela. 3

4 Fluxo de linhas de campo elétrico 4

5 Fluxo létrico, Φ 5

6 Fluxo létrico, Φ Proporcional ao número de linhas de campo elétrico ue passam através da superfície. Assume ue a superfície é perpendicular às linhas se não for? Considera-se a componente do vetor campo perpendicular à area. Matematicamente: Φ Acosθ A 6

7 Cálculo do Fluxo A A A θ Φ ΦA cosθ ΦAcosθ 7

8 Caso Geral Número de linhas ue passam através de uma superfície A A Φ Acosθ A 8

9 fetuando a soma ( ou de Σ a ) Σ representa uma soma sobre um grande número de objetos Integral também é uma soma sobre um grande número de peuenos objetos infinitesimalmente peuenos, em nosso caso, peuenas areas, Assim Φ 9

10 A lei de Gauss A uantidade de linhas emitidas por uma carga é proporcional à uantidade de cargas. A intensidade do campo depende da densidade de linhas. O campo elétrico deve ser proporcional à uantidade de cargas. Para contar as linhas do campo, englobamos as cargas em uma superfície fechada Superfície Gaussiana, arbitrariamente escolhida. 1

11 Matematicamente Φ Φ s Φ englobada Φ S englobada 11

12 3 Formas Cargas isoladas sfera Cilindros Chapas e planos 1

13 Carga pontual Quando usar: uando os objetos são esféricos e cargas pontuais. O vetor normal à superfície apontada para for a dela. Integral sobre a superfície fechada: + S (4π r ) r r é o raio da superfície introduzida. 13

14 14 Carga Pontual 4 ) (4 r então r Como S englobada englobada π π Φ Φ Pela lei de Gauss

15 Cilindro Quando usar: Com objetos de forma cilindrica e linhas de carga. Integral sobre a superfície: S ( π rl) r é o raio da superfície cilindrica +λ r 15

16 Cilindro Consideramos uma linha de cargas infinita com densidade de carga uniforme, λ d λ dl e S Φ englobada (π rl) englobada (π rl) λ π r λ π r λ L λ L ou rˆ 16

17 Plano Quando usar: planos carregados e chapas planas Integral sobre a superfície fechada S A A é a área da tampa da caixa. 17

18 Condutor Isolado em euilíbrio Considere um condutor com uma carga Q. uilíbrio letrostático força sobre elétrons livres (interiores) deve ser nula O campo elétrico no interior condutor deve ser nulo. Superfície Gaussiana A Carga distribui-se na superficie externa do condutor O Campo não depende do material condutor, mas somente da carga 18

19 Campo de uma película infinita de cargas ntão eng A σ σ σ A nˆ Densidade superficial de cargas constante A σ A A + ( )( A) A ( Forma escalar) ou ( Forma vetorial) σ A Fluxo devido à película de cargas : Faces paralelas ao plano Fluxo sobre as laterais é nulo 19

20 Campo létrico de uma chapa condutora A Densidade superficial de cargas constante A eng ntão σ σ A σ A A + ou A σ nˆ Let σ A Uma chapa condutora possui um campo X maior ue o de uma película de mesma densidade superficial de cargas.

21 xemplo: Um campo elétrico dado por 4ˆ i 3( y ) ˆj atravessa as faces do cubo como mostrado abaixo. ( em newtons/coulomb e y em metros). Qual é a carga total englobada por esta superfície? y x z X1. m X3. m 1

22 Aplicando a Lei de Gauss Φ Φ s s s s s s eng S englobada S englobada Como

23 Planos 1. y-z: Normal a +x. x-z: Normal a y 3. y-z: Normal a x y x-z: Normal a +y 5. x-y: Normal a +z 6. x-y: Normal a -z 3 iˆ 1 vetores 1. y-z:. x-z: d 3. y-z: 4. x-z: 5. x-y: 6. x-y: d + iˆ A ˆj A + ˆj kˆ z X1. m 5 X3. m x 3

24 Integrando cada face do cubo: (Começando da surperfície 1) 1 como 4ˆ i 3 (4ˆ 4 s s 1 iˆ 1 ( y + ) ˆj 3( i y + ) s s 1 4A 1 ˆ) j 4 iˆ Para a região 3, o vetor normal aponta no sentido oposto e temos o valor s

25 Faces e 4: ( j ) ( j ) 3( y + S ˆ 3( y + S 4 ˆ S 4 S ) ) dx dz ( ) ˆj dxdz dz 3( y y + ) dx 6()() ( y y ( ) ˆj dxdz dz 1 + ) dx 6(4 + )() 7 5

26 Faces 5 e 6: dx dy dx dy + dx dy kˆ dx dy kˆ ( Face ( Face 5) 6) 5 6 ( + kˆ ) dxdy ( kˆ ) dxdy S 16 + englobada ( ) N m 48 C C 6