Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática Aplicação da Lei de Gauss e Lei de Gauss na Forma Diferencial (Páginas 56 a 70 no livro texto) Aplicação da Lei de Gauss: Linha Infinita de Cargas Condutores Coaxiais Lei de Gauss na forma Diferencial (ou Pontual) 1

3 - Eletrostática Lei de Gauss e Simetrias Espaciais A solução de alguns dos problemas de eletrostática que são resolvidos com a Lei de Coulomb, se dá de maneira muito mais simples com a Lei de Gauss na forma Integral. Isto acontece somente em problemas que possuem certas geometrias espaciais. Nestes problemas, é possível escolher uma Superfície Gaussiana que simplifica a integral do lado esquerdo da L.G. 2

4 - Eletrostática Lei de Gauss e Simetrias Espaciais Para encontrar a carga total em um dado volume, para uma distribuição de D conhecida, usamos a Lei de Gauss: Q = D d S ", S escolhemos uma superfície fechada tal que: 1. Nas regiões onde D for normal à superfície: D d S = D S ds 2. Nas regiões onde D for paralelo à superfície: 3 S S D d S = 0 S magnitude de D na superf. S elem. de área (escalar)

5 - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas Problema: Calcular o campo em um ponto P devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ρ L. Podemos usar a Lei de Gauss ( ψ = Q ), mas qual a superfície gaussiana usar? z Se usarmos um cilindro de altura L, a carga dentro do cilindro é: Q = ρ L dz A densidade linear de cargas não depende de z. L 0 Q = ρ L L x ρ L φ ρ P L y 4

6 - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro? z x ρ L φ ρ P L y 5

7 - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro? z O fluxo na lateral fica: D d S L 2π = ( D ρ â ρ ) ρ dφ dz â ρ S z=0 φ=0 A densidade de fluxo não é função de φ ou z. ρ L φ ρ P L y ψ = D ρ 2πρL x 6

8 - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas Agora podemos escrever a Lei de Gauss ( ψ = Q ). D ρ 2πρL = ρ L L z Isolando D: D = ρ L 2πρ âρ Como podemos calcular E? E = ρ L 2πρε 0 â ρ x ρ L φ ρ P L y 7

9 - Eletrostática E entre dois condutores coaxiais Problema: Calcular o campo em um ponto P situado entre dois condutores carregados com ρ s C/m 2, com raios a e b tal que b > a. Pergunta: qual superfície gaussiana usar? Se usarmos um cilindro de altura L e raio ρ (a < ρ < b) : Q = L 2π φ=0 ρ S ρ dφ dz z=0 z P ρ = a A carga concentrada na superfície é: φ ρ y Q = 2πaLρ S x 8

10 - Eletrostática E entre dois condutores coaxiais O fluxo que atravessa o topo e a base da superfície gaussiana é nulo Como calculamos o fluxo na superfície lateral? z O fluxo na superf. lateral do cilindro é: D d S L 2π = ( D ρ â ρ ) ρ dφ dz â ρ S z=0 φ=0 Aqui novamente D não é função de φ ou z. ψ = D ρ 2πρL x φ ρ P y 9

11 - Eletrostática E entre dois condutores coaxiais Utilizando a Lei de Gauss e isolando D: D = aρ S ρ âρ (a < ρ < b) z Como podemos calcular E? P E = aρ S â ρ (a < ρ < b) ρ φ ρε 0 x y 10

12 - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada S é igual a integral volumétrica do divergente de D no volume V envolvido pela superfície S. " D d S = Ddv S V Sabemos da Lei de Gauss na forma integral que: D d S = " ρ dv S V v 11

13 - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial O Divergente da Densidade de Fluxo Elétrico D é igual à densidade volumétrica de cargas. D = ρ v Note que D é um campo vetorial definido em uma região do espaço e ρ v é um campo escalar definido nesta mesma região. Esta é a forma diferencial (ou Pontual) da Lei de Gauss, em contraste com a forma integral. 12

14 - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial Lembrando que o divergente do vetor D é igual ao fluxo elétrico saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume. D = lim Δv 0 D d S " S Δv A interpretação física da lei de Gauss é que uma densidade de carga positiva num ponto é fonte de fluxo elétrico. O fluxo elétrico sai do volume infinitesimal. Uma densidade negativa é sumidouro de fluxo elétrico. O fluxo entra no volume. Carga positiva é fonte de campo elétrico e carga negativa é sumidouro de campo. 13

15 - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída. volume fixo Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai. Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar. Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), 14 indicando compressão do ar.

16 - Eletrostática Operador Divergente Lembrando que o operador divergente é um operador que transforma um campo vetorial em um campo escalar. Coordenadas cartesianas: Coordenadas Cilíndricas: Coordenadas Esféricas: D = D x x + D y y + D z z D = 1 ρ ( ) D = 1 r 2 D r r 2 r + ( ) ρ ρd ρ + 1 D φ ρ φ + D z z 1 ( senθ D θ ) r.senθ θ + 1 r.senθ D φ φ 15

17 - Eletrostática Exemplo D = 5r 2 â r [mc / m 2 ], Seja: para r 0,08m D = 0, 205 r 2 â r [mc / m 2 ], para r > 0,08m a) Calcule ρ v para r = 0,06m. b) Calcule ρ v para r = 0,1m. c) Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0,08m para fazer com que D = 0 para r > 0,08m? 16

18 - Eletrostática Exemplo 2 Uma densidade volumétrica de cargas ρ v = 60µC/m 3 está presente em uma região definida por r a em coordenadas esféricas. Determine D para r a e para r a, onde a = 1mm. 17