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1 Duração do exame: :3h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema Licenciatura em Engenharia e Arquitetura Naval Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Eletromagnetismo e Ótica º Semestre - 5/6 º Exame - 8//6 8:3h Duas esferas idênticas, de dimensões desprezáveis, massa e carga, encontramse suspensas, na proximidade da superfície da Terra, por dois fios de massa desprezável de comprimento, afastados, cada um, de um mesmo ângulo, relativamente à direção vertical, como indicado na figura. Os dois fios encontram-se no mesmo plano da reta que define a direção vertical e passa no ponto de suspensão dos mesmos. a) Determine a expressão do potencial elétrico resultante das cargas, num ponto à mesma distância das duas, sobre uma reta horizontal, como indicado na figura, em função do ângulo e dos parâmetros dados. Escreva a expressão da força elétrica entre as duas cargas em função dos parâmetros do problema. b) Mostre que o ângulo correspondente à condição de equilíbrio das duas esferas carregadas (tendo em conta o respetivo peso e a força elétrica entre ambas) pode ser dado por uma equação do tipo, e determine as expressões do coeficiente em função dos parâmetros do problema. Problema Uma bateria com uma tensão encontra-se ligada a uma resistência através de um cabo coaxial constituído por condutores ideais como indicado na figura. O condutor interior tem um raio e o condutor exterior tem um raio interno, e um raio externo como indicado na figura. Os dois condutores encontram-se separados por um dielétrico de permitividade elétrica e permeabilidade magnética. a) De acordo com a figura, tratando-se de condutores ideais, verifica-se que se estabelece uma distribuição superficial de carga correspondente a uma densidade de carga por unidade de comprimento no condutor interior e no condutor exterior. Determine i) a densidade linear de carga em função dos parâmetros geométricos do problema e da diferença de potencial ; ii) O campo eléctrico em função de, da distância ao eixo do cabo coaxial e dos parâmetros geométricos do problema; iii) as densidades superficiais de carga e na superfície externa do condutor interior e na superfície interna do condutor exterior. (sugestão: comece por calcular o campo elétrico em função de ). b) i) Determine o campo magnético no espaço entre os condutores ( ), em função de de, da resistência, da distância ao eixo do cabo coaxial e dos parâmetros geométricos do problema; ii) determine o vetor de Poynting no espaço entre os condutores e o respetivo fluxo através da secção transversal do dielétrico definida pelos valores de tais que ( ) e relacione o resultado obtido com a potência dissipada por efeito de Joule na resistência Problema 3 O circuito representado na figura á constituído por uma resistência plano de placas circulares de raio colocadas a uma distância e um condensador. Num instante inicial,, a tensão aos terminais do condensador é.

2 a) i) Qual o valor da carga do condensador no instante ; ii) Mostre que a função que descreve a diferença de potencial entre as placas do condensador pode ser determinada por uma equação diferencial do tipo: e determine o valor da constante. b) Sabendo que a equação diferencial referida na alínea anterior tem como solução, determine a expressão do campo magnético no espaço situado entre as placas do condensador, em função da distância ao eixo que passa pelo centro das mesmas. Sugestão: tenha em atenção a simetria do sistema. Problema 4 Considere o circuito representado na figura, constituído por dois condutores paralelos de resistência desprezável ligados por uma resistência. O circuito fecha-se através de uma barra metálica de comprimento de contacto e de massa que desliza, idealmente sem atrito mecânico, ligada a um ponto fixo por uma mola com uma constante elástica. O circuito encontra-se na presença de um campo magnético num ponto, uniforme perpendicular ao plano do mesmo, como indicado na figura. Num instante inicial a barra é libertada, ficando sujeita à força elástica da mola e simultaneamente, também sujeita à força magnética resultante da corrente induzida devida ao movimento da mesma na presença do campo magnético. representa a distância entre o ponto de equilíbrio da mola e a posição instantânea da barra. O ponto de equilíbrio da mola encontra-se a uma distância do fim do circuito (onde se encontra a resistência ). a) i) Escreva a expressão do fluxo do campo magnético em função da posição instantânea da barra (segundo o eixo dos ); ii) Determine a expressão da corrente induzida no circuito em função da velocidade instantânea da barra. b) i) Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da barra em termos da variável (posição instantânea da barra relativa ao ponto de equilíbrio da mola), desprezando o atrito mecânico, é do tipo e escreva a expressão dos coeficientes e em função dos parâmetros do problema. Problema 5 O sistema representado na figura destina-se ao estudo de propriedades óticas e eletromagnéticas de um material constituinte de uma barra transparente de comprimento. O sistema permite medir a diferença de tempo entre a chegada de dois sinais luminosos (aos pontos C e D) tendo partido simultaneamente dos pontos A e B representados na figura. O sinal que parte do ponto B realiza todo o percurso no ar (propriedades eletromagnéticas aproximadamente iguais às do vácuo) (até C) enquanto o sinal que parte do ponto A percorre uma parte da distância que o separa do detetor (ponto D) no material em estudo. a) Sabendo que o material constituinte da barra tem uma permeabilidade magnética semelhante à do vácuo, e que a diferença de tempos entre os dois percursos é, determine a permitividade elétrica deste material para frequências óticas. b) Considerando que, nas condições referidas na alínea a), se utiliza um feixe laser de He-Ne (luz monocromática de comprimento de onda no ar) com polarização vertical (perpendicular ao plano da figura), e que se propaga segundo o eixo dos como indicado na figura: i) determine a frequência e o comprimento de onda da luz que se propaga na barra transparente; ii) escreva as expressões do campo elétrico e do campo magnético associados à onda eletromagnética no interior da barra, considerando uma amplitude para o campo elétrico (se não resolveu a alínea anterior considere, a velocidade da luz no material da barra).

3 Expressões E q n i rˆ i 4 i r i V A V B E dr AB J N. q. v J E c I S J n ds c R ; c A c Q C V I dq dt V RI P VI LI di V L L dt Z L i.. L V C I. dt C Z C i.. C CV LI U C U L Idx F q. E v B F m I. d B v B e I e r a 4 r N r D B B D E H J t t S D n ds D E P P E e D E E Q int S H B n ds B M H B M d E d dt B H d I c c m int d dt D 8 3. ms m m C N m 7-4 NA 9 q e.69 C m 3 e 9. kg R L LC I I e t cos t F F x QCte x V Cte U x U x f T vt T k c c n m n sin n sin m sin n c tan n B n n d sin m d sin m asin m

4 Soluções: Problema a) Para a carga da direita (eixo dos horizontal, sentido da esquerda para a direita): (força com o mesmo módulo e direção mas sentido contrário para a carga da esquerda) b) No ponto de equilíbrio os módulos das componentes tangenciais da força elétrica e do peso são iguais: Comparando com a equação dada no enunciado ( ), obtemos:

5 Problema a) i) Usando coordenadas cilíndricas e atendendo à geometria do problema (aproximação condutor infinito): (estas coordenadas e aproximação são igualmente utilizadas na alínea b)) ii) iii) b) O fluxo do vetor de Poynting através da superfície transversal do dielétrico é exatamente igual à potência dissipada por efeito de Joule na resistência.

6 Problema 3 a) Aproximação: condensador plano infinito (condição: com neste caso) i) com densidade de carga uniforme. Logo é independente de. Com ii) Comparando com a equação do enunciado obtemos:

7 b) No interior do condensador não há corrente de condução, logo: Atendendo à simetria do sistema as linhas do campo logo: no interior do condensador serão circunferências, Com: Verificação: No exterior do condensador o campo magnético resultante da corrente de deslocamento tem que ser equivalente ao produzido pela corrente de condução, ou seja (aplicando a lei de Ampère): No limite das placas ( ) temos então: Esta expressão é idêntica à expressão (), obtida através do cálculo da corrente de deslocamento, para

8 Problema 4 a) i) ii) b) é um vetor de módulo, direção horizontal e sentido de circulação da corrente (dado pela aplicação da lei de Faraday). Note-se que é perpendicular a. O módulo da força magnética exercida sobre a barra é dado por: e o sentido é contrário à velocidade (atendendo ao sentido da corrente definido pela lei de Faraday). Na ausência de atrito mecânico a equação do movimento da barra é dada por: Ou, tendo em conta que o que o movimento é unidimensional (descrito pela variável ), Comparando com a equação apresentada no enunciado, Obtemos:

9 Problema 5 a) b) i)

10 ii) No casp geral, para uma onda plana eletromagnética plana sinusoidal temos: Neste caso a onda propaga-se segudo logo. A velocidade da luz no meio é

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