Segunda Lista - Lei de Gauss

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1 Segunda Lista - Lei de Gauss FGE211 - Física III 1 Sumário O fluxo elétrico que atravessa uma superfície infinitesimal caracterizada por um vetor de área A = Aˆn é onde θ é o ângulo entre E e ˆn. Φ e = E A = EA cos θ, Em geral, o fluxo elétrico através de uma superfície é Φ e = E da. A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, qualquer, é proporcional apenas a carga interna a essa superfície: Φ e = E da = Q int. ɛ 0 S S Apesar de valer para qualquer superfície fechada, a lei de Gauss é útil apenas em problemas que contenham simetria planar, cilíndrica ou esférica. A componente normal do campo elétrico possui uma descontinuidade E = σ /ɛ 0 quando passa por uma superfície com densidade superficial de carga σ. As propriedades básicas dos condutores são: 1. O campo elétrico dentro de um condutor é zero. 2. Qualquer carga em excesso dentro de um condutor deve permanecer na superfície. 3. Na superfície de um condutor o campo elétrico tangencial é nulo. 4. Nas proximidades do condutor, o campo elétrico é normal a sua superfície. 1

2 2 Estratégia para resolução de problemas: utilização da lei de Gauss A lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para calcular o campo elétrico em situações que possuem um certo grau de simetria, ou seja, sistemas com simetria planar, cilíndrica ou esférica. Na tabela 1 está descrito que superfície de Gauss deve se usar para resolver cada problema. Simetria Sistema Superfície de Gauss Cilíndrica Fio infinito Cilindro coaxial Planar Plano infinito Paralelepípedo Esférica Esfera, casca esférica Esfera concêntrica Tabela 1: Superficies de Gauss necessárias em diferentes problemas. Os passos seguintes podem ser úteis ao aplicar a lei de Gauss: 1. Identifique a simetria associada a distribuição de carga. 2. Determine a direção do campo elétrico e a superfície de Gauss na qual a magnitude do campo elétrico é constante nas suas diferentes regiões. 3. Divida o espaço em diferentes regiões associadas a diferentes distribuições de carga. Para cada região calcule a carga interna a superfície de Gauss, Q int. 4. Calcule o fluxo elétrico Φ e através da superfície de Gauss de cada região. 5. Iguale Φ e com Q int/ɛ 0 e deduza a expressão para o campo elétrico. 3 Questões conceituais 1. Se o campo elétrico em uma região do espaço é nulo, isso implica que não há carga elétrica nessa região? 2. Considere o campo elétrico devido a um plano infinito não-condutor com densidade uniforme de carga. Porque o campo elétrico não depende da distância ao plano? 3. Se colocarmos uma carga pontual dentro de um cano condutor, como é o campo elétrico fora do cano? 2

3 4 Problemas 4.1 Cálculo de fluxos Nesta seção, os problemas tem como objetivo avaliar a integral E d A em situações onde não há simetria. Ou seja, onde a integral de fato tem que ser calculada. Caso precise, refira a tabela 1 da primeira lista para saber como escrever os elementos de área em diferentes sistemas de coordenada Fluxo sobre uma superfície lisa Considere uma superfície circular de raio R paralela ao plano xz e submetida a uma região do espaço onde há um campo elétrico constante E = E 0 ĵ. (a) Calcule o fluxo elétrico através dessa superfície. (b) Suponha agora que a superfície comece a girar sobre o seu eixo com velocidade angular ω. Calcule o fluxo elétrico em função do tempo. (c) Grafique o seu resultado Fluxo elétrico através de uma superfície quadrada (a) Calcule o fluxo elétrico de uma carga pontual Q através de uma superfície quadrada de lado 2l localizada no plano x-z a uma distância l da origem como mostra a figura 1. Caso necessário, use que dx (x 2 + a 2 ) x 2 + b = 1 2 a (b 2 a 2 )x b 2 a 2 tan 1 a 2 x 2 + b 2 Figura 1: Fluxo através de uma superfície quadrada. (b) Usando o resultado do item anterior, calcule o fluxo elétrico devido a carga Q através de um cubo como o da figura 2. 3

4 Figura 2: Fluxo através de um cubo. 4.2 Princípios gerais da lei de Gauss Esta seção tem como objetivo investigar propriedades gerais da lei de Gauss Informações sobre o sistema (a) Quais informações, além da referente à carga no interior de uma superfície fechada, são necessárias para calcular o campo elétrico usando a lei de Gauss? (b) O campo elétrico da expressão da lei de Gauss é o campo elétrico apenas das cargas que estão dentro da superfície de Gauss ou é o campo elétrico de todas as cargas presentes numa distribuição? Fluxo elétrico Considere uma região do espaço imersa em um campo elétrico que vale E = 300N/Cî para x > 0 e E = 300N/Cî para x < 0. Um cilindro com 20cm de comprimento e 4cm de raio é posto com seu eixo sobre o eixo dos x centrado na origem do sistema de coordenadas. Ou seja, disposto entre x = 10cm e x = 10cm. (a) Qual o fluxo do campo através das bases do cilindro? (b) Qual o fluxo do campo através da superfície lateral do cilindro? (c) Qual o fluxo líquido, para fora, através do cilindro? (d) Qual a carga no interior do cilindro? Lei de Gauss para a gravitação (a) Como a lei de Newton para a gravitação tem a mesma dependência com o inverso do quadrado da distância que a lei de Coulomb, deve haver uma expressão análoga a lei de Gauss para a força gravitacional. Usando apenas argumentos de simetria entre as expressões das 4

5 duas forças, deduza que o fluxo gravitacional através de uma superfície fechada é Φ g = 4πGm int, onde m int é a massa interna a superfície. (b) A partir deste resultado, mostre que o campo gravitacional devido a uma massa puntiforme m pode ser escrito como g = Gm r 2 ˆr (c) Refaça os itens (a) e (b) de trás para frente. Ou seja, assuma que o campo gravitacional devido a uma massa pontual é g = Gm ˆr e r 2 calcule o fluxo gravitacional através de uma casca esférica de raio r Campo elétrico constante Considere uma região do espaço com campo elétrico uniforme E. Mostre que não há carga elétrica nessa região. 4.3 Distribuições esféricas de carga O objetivo das próximas três seções é calcular o campo elétrico de diferentes distribuições de carga utilizando a lei de Gauss. Refira a seção 2 para dicas de como proceder com os cálculos Campo elétrico de uma casca esférica Considere uma casca esférica de raio a carregada uniformemente com uma carga Q. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Grafique o seu resultado Campo elétrico de uma esfera maciça (a) Considere uma esfera condutora de raio a e carregada com uma densidade de carga Q. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Grafique o seu resultado. (b) Considere agora o caso em que a esfera é isolante e a carga Q está distribuída uniformemente. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Grafique o seu resultado. (c) Explique porque o campo elétrico dentro da esfera isolante (item (b)) cresce com a distância ao invés de cair com o inverso do seu quadrado. 5

6 4.3.3 Campo elétrico de uma esfera com densidade não constante. Considere uma esfera maciça e isolante de raio a. Para as densidades volumétricas ρ abaixo, calcule a carga total da esfera e o campo elétrico em todo o espaço. Lembre-se que o campo fora de uma esfera tem a mesma forma da lei de Coulomb para uma carga pontual. (a) ρ = αr (b) ρ = β /r (c) ρ = γ /r Cascas esféricas Considere uma casca esférica de raio interno a e raio externo b. (a) Suponha que a casca está uniformemente carregada com densidade constante ρ. Avalie o campo elétrico para r < a, a < r < b e r > b. (b) Verifique o limite e a 0 e compare com os problemas e 4.3.2(b). (c) Considere agora o caso onde ρ(r) = β /r. Avalie o campo elétrico em todo o espaço. (d) Finalmente, para a mesma distribuição do item (c), considere que no centro da casca esférico é posta uma carga pontual q. Usando o princípio da superposição, calcule o campo em todo o espaço Esfera com cavidade Considere uma esfera isolante de raio 2R carregada com uma densidade volumétrica de carga ρ. Uma cavidade esférica de raio R é feita na esfera como mostra a figura 3. Calcule o campo elétrico em um ponto sobre o eixo Oy, dentro da cavidade. Sugestão: use o princípio da superposição. 4.4 Distribuições planas de carga Plano infinito (a) Considere um plano infinito carregado com densidade superficial de carga σ constante. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. (b) Vimos em sala de aula que um disco circular de raio R produz, a uma distância z do seu eixo de simetria, um campo elétrico E = σ 2ɛ 0 ( 1 6 z z 2 + R 2 ) ˆk

7 Figura 3: Esfera carregada com uma cavidade esférica. Estime o valor de z/r para que a razão entre o campo do disco e o campo de um plano infinito seja de 1% Dois planos infinitos paralelos Considere dois planos infinitos, não-condutores, paralelos e localizados no plano x-y separados por uma distância d. Cada plano está carregado com uma densidade de carga σ igual mas de sinais opostos como mostra a figura 4. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Figura 4: Dois planos não-condutores infinitos Dentro de um plano infinito Considere um pedaço de plástico, plano e infinito, que tem uma espessura d e é simetricamente colocado sobre o plano yz com d/2 de espessura em x > 0 e d/2 de espessura em x < 0. O plano é carregado com densidade constante de carga ρ. 7

8 (a) Calcule o campo elétrico a uma distância x do plano quando x < d/2. (b) Calcule o campo elétrico a uma distância x do plano quando x > d/2. Sugestão: coloque uma parte da sua superfície de Gauss onde o campo elétrico é nulo. 4.5 Distribuições cilíndricas de carga Fio infinito Considere um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga λ constante. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Compare com os resultados obtidos utilizando a lei de Coulomb (obtidos em sala de aula). Grafique o resultado Casca cilíndrica Considere uma casca cilíndrica infinitamente longa carregada com uma densidade superficial de carga σ. Avalie a o campo elétrico em todo o espaço e grafique o seu resultado Cilindro maciço (a) Considere um cilindro maciço, infinito, isolante, de raio b e carregado com uma densidade volumétrica de carga ρ. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. (b) Considere agora que, ao invés de maciço, o cilindro tenha raio interno a e raio externo b mas com a mesma densidade, ρ. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. (c) Analise o limite a 0. (d) Considere agora que um fio infinito de densidade linear de carga λ é posto concentricamente a a casca cilíndrica. Estime o campo elétrico em todo o espaço Cilindro com cavidade não simetrica Um cilindro maciço, infinito e de raio 2R é carregado com uma densidade volumétrica de carga ρ constante. Uma cavidade cilíndrica de raio R é feita nele de tal forma que a vista lateral se assemelha a figura 3 1. Calcule o campo elétrico dentro da cavidade cilíndrica sobre o eixo Oy. 1 Cuidado! Esta figura pode ser usada tanto para a esfera com cavidade quanto para o cilindro. 8