Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos

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1 Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos As equações na forma diferencial aplicam-se quando: 1. estamos interessados no comportamento detalhado de um campo de escoamento, ponto a ponto, e 2. desejamos determinar realmente as quantidades integrais procuradas; através da determinação detalhada das distribuições que entram nos integrandos das leis fundamentais na forma integral Para a dedução das equações diferencias das leis básicas, são utilizadas as seguintes considerações Hipótese do contínuo, segundo a qual o fluido pode ser tratado como tendo distribuição contínua de matéria, o que leva diretamente a uma representação de campo das propriedades de um fluido Conceito de Campo, quando uma variável dependente depende de mais de uma variável independente, isto é, (x,y) é um campo de velocidade e V P(x,y,z,t) é um campo de pressão

2 Conservação da Massa Os campos de velocidade e densidade são relacionados através da conservação da massa Aplica-se a conservação da massa a um volume de controle diferencial O princípio da conservação da massa diz que: O fluxo de massa através da superfície de controle Variação da massa no interior do volume de controle = 0 (quadro negro)

3 Fluxo de massa através da superfície de controle de um volume de controle diferencial paralelipipédico

4 Exemplo 1 Ar escoa em uma tubulação e a velocidade em três pontos vizinhos A, B e C, distanciados 4 in uns dos outros, mede 274, 285 e 291 ft/s, respectivamente, como mostra a Fig. A temperatura e a pressão são 50 o F e 50 psia, respectivamente, no ponto B. Faça uma aproximação de dρ/dx naquele ponto, supondo um escoamento permanente e uniforme.

5 temos a equação diferencial da conservação da massa: ou u x ρv = 0 t a qual descreve a variação da densidade num ponto fixo resultante das mudanças no vetor velocidade mássica ρv v y ρv Obs.1: a divergência do vetor velocidade mássica pode ser entendida como a taxa resultante de fluxo de massa por unidade de volume (lembrando que o divergente de um campo vetorial resulta num escalar). ρv w z = t Obs.2: notar que pode ser entendido também como o fluxo mássico, ou seja, a vazão mássica por unidade de área; por exemplo, na dir. x: (1) kg m kg 1 ρu = m dydz = 3 2 m s s m 0

6 A equação da continuidade atesta que a taxa de aumento da densidade dentro do pequeno elemento de volume fixo no espaço é igual à resultante do fluxo de massa pelo elemento dividida pelo seu volume Uma forma muitas vezes conveniente da eq. da continuidade pode ser obtida realizando a diferenciação e agrupando todas as derivadas de ρ na lado esquerdo: u t x v y w = ρ z u x v y w z Note que o termo de lado esquerdo da eq. acima é a derivada substancial da densidade Dρ = ρ Dt ( V ) (2) A eq. da continuidade neste formato descreve a taxa de mudança da densidade vista por um observador flutuando com o fluido (analogia da canoa).

7 Exemplo 2 O perfil de velocidades na esteira de um aerofólio é mostrado na figura do problema. (a) Mostre qualitativamente a variação da velocidade u ao longo da linha de centro, de imediatamente a montante do aerofólio até o infinito. (b) Para uma localização x, distante do aerofólio, esboce qualitativamente v em função de y. (c) Através de medidas experimentais é conhecido que o gradiente longitudinal ao longo da linha de centro é du/dx = 36 seg-1. Estime a magnitude da velocidade v em y = pol abaixo da linha de centro. (d) Para a partícula localizada em x 1 mostre qual deve ser sua forma quando atingir x 2.

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9 (a)