SOLUÇÃO DA QUESTÃO: A equação da continuidade produz velocidade constante ao longo da tubulação: v 2 = v 1 = v.

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1 EAMB7 Mecânica dos Fluidos Intermediária Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P, 8 Abr 8 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: [ Água, com massa específica constante ρ, escoa em regime permanente através da curva mostrada na figura num plano vertical. A velocidadev é constante na seção circular, de diâmetro D. Através da curva, a pressão absoluta interna da tubulação cai de p = p para p =,8p (p é a pressão atmosférica). Desprezando o peso do fluido na curva, calcule as componentes F x (horizontal) e F z (vertical) da força que o suporte prismático de seção triangular (em cinza escuro) tem que fazer sobre a curva para mantê-la no lugar. v p D z p 5 x A equação da continuidade produz velocidade constante ao longo da tubulação: v = v = v. Desprezando-se o peso, a equação de balanço de quantidade de movimento é F s = vρ dv + vρ(v n) da t C = vρ(v n) da, pois o escoamento é permanente. Na direção x, Na direção z, F x = πd πd F x + p p πd πd F x + p 9 5 p πd 9 p + ρv. = ρv πd = ρv πd πd πd F z p = ρv ; F z = 9 5 p πd πd + ρv = πd 9 5 p + ρv + ρv πd + ρv πd ; ;

2 [ A figura ao lado mostra um fluido de massa específica constante ρ escoando sobre uma placa e formando uma camada-limite. O perfil de velocidade na seção de saída do volume de controle tracejado pode ser bem aproximado por y v(y) = δ v. v y F L ṁ δ v x A largura da placa (em z) é B. Calcule: a) O valor do fluxo de massa ṁ através da superfície superior do volume de controle. b) O valor da força horizontal F da placa sobre o fluido dentro do volume de controle. Para regime permanente, o balanço de massa para o volume de controle tracejado é = = δ y= η= ρv B dy + ṁ + ρv B dη + ṁ + δ = ρv Bδ + ṁ ρv Bδ; ṁ = 3 8 ρv Bδ. O balanço de quantidade de movimento na direção x é y= y δ y= η η3 v B dy; v B dη; L F = ρv B y dy + ρv (v n)b dx + ρ x= δ = ρv Bδ + v ṁ + ρv Bδ η η3 dη = ρv Bδ + v ṁ ρv Bδ; F = 8 35 ρv Bδ v ṁ [ 8 = 35 3 ρv 8 Bδ = 39 8 ρv Bδ v B dy

3 3 [ Um gás (com equação de estado p = ρrt, onde R é a constante do gás; calor específico a volume constante c v ; e calor específico a pressão constante c p ) escoa em um duto circular e horizontal. O escoamento sofre um súbito alargamento de diâmetro, que passa de D para D. Imediatamente antes do alargamento, a pressão é p, a temperatura absoluta é T, e a velocidade (aproximadamente uniforme na sessão) é v. upondo que a expansão do gás através do alargamento seja adiabática (p/ρ γ = const.; γ = c p /c v ), Obtenha um sistema de equações nas incógnitas p, T, v e ρ (pressão, temperatura, velocidade e massa específica imediatamente após a expansão) em função de p, T, v e ρ. Como você calcula ρ? A conservação de massa é πd πd ρ v = ρ v ; ρ v = ρ v. ( ) A equação de estado é p = ρ RT, p = ρ RT. ( ) Obtemos, portanto, ρ = p RT. A equação para uma transformação adiabática é p ρ γ = p ρ γ. ( ) Finalmente, a equação de conservação de energia levando em conta apenas o trabalho associado à pressão, e fluxo de calor nulo, é = (u + v + дz + p )ρ(v n) da. ( ) ρ Observe que conhecemos tudo na seção : pressão (p ), temperatura (T ), massa específica (ρ, em função de p, R e T ), e velocidade (v ). Temos incógnitas na seção : p, v, T e ρ, e equações: ( ), ( ), ( ), e ( ). As vazões mássicas de entrada e saída são iguais; portanto, a equação de energia fica Em resumo, as equações são = ( u + p ) ρ = (h h ) + = c p (T T ) + ρ v = ρ v, p = ρ RT, p ρ γ = p ρ γ, + v + v v v v. = c p (T T ) + ( u + p ) ρ v v. + v

4 [ Em um canal retangular de grande largura (direção y) e profundidade h (direção z), o perfil vertical de velocidade é parabólico, [ z v x (z) = v h ( z ), h e o escoamento é laminar. A única componente não-nula de velocidade é v x. e a viscosidade dinâmica é µ, obtenha o perfil de tensões cisalhantes T xz (z) ( vx T xz = µ z + v ) z x = µ { [ z v z h ( z ) } h ( = µv h z ) h

5 5 [ Partindo do balanço integral para um soluto, cρ dv + t e usando a lei de Fick C cρ(v n) da = (j n) da, j = ρd c (onde D é a difusividade do soluto no fluido, e ρ é a massa específica da mistura), deduza a equação diferencial de transporte para a concentração mássica c.