Capítulo 5: Análise através de volume de controle

Transcrição

1 Capítulo 5: Análise através de volume de controle Conservação da quantidade de movimento EM-54 enômenos de Transporte

2 Estudo de um volume de controle No estudo termodinâmico de um sistema o interesse se concentrava nas mudanças das propriedades (pressão, temperatura, volume específico, entalpia, etc.). No estudo de um volume de controle, além de manter o interesse nas mudanças das propriedades, procura-se: conhecer as forças que atuam sobre o fluido passando através da superfície de controle; e também a reação exercida pelo fluido sobre a superfície de controle. EM-54 enômenos de Transporte

3 Princípios de conservação Na análise do sistema termodinâmico foi usado o princípio da conservação da energia (Primeira lei) e a Segunda lei da termodinâmica. No volume de controle, além destes, é necessário também analisar o princípio da conservação de massa e da conservação de quantidade de movimento, uma vez que existe fluxo de massa. EM-54 enômenos de Transporte

4 Revisão de quantidade de movimento Quantidade de movimento (P), ou momento linear, é definido como sendo: P M V Onde M é a massa da partícula (ou do sistema de partículas) e V é a sua velocidade (ou do centro de massa). Como M é sempre uma grandeza escalar positiva, conclui-se que o momento linear e a velocidade têm o mesmo sentido. No SI, a unidade que expressa momento linear é o kg.m/s. EM-54 enômenos de Transporte

5 Revisão de quantidade de movimento Newton expressou sua segunda lei originalmente em termos de momento linear: A taxa de variação no tempo do movimento de uma partícula é igual à força resultante que atua sobre a partícula e aponta no sentido desta força. Assim, a segunda lei de Newton para um sistema se movimentando em relação à um referencial inercial pode ser escrito como: d P dt res EM-54 enômenos de Transporte

6 Revisão de quantidade de movimento linear res Desta expressão observa-se que a força externa resultante sobre a partícula varia o seu momento linear. Inversamente, a quantidade de movimento só pode ser mudado por uma força externa resultante. Se não existir força externa resultante, o momento linear não pode mudar. d P dt EM-54 enômenos de Transporte

7 Revisão de quantidade de movimento linear res d P dt Substituindo o momento linear na segunda lei temse: res d P d(m V) d V M M. a dt dt dt EM-54 enômenos de Transporte

8 Conservação de momento linear para VC VC Superfície de controle Entrada e Saída s O princípio da conservação de momento linear para VC enuncia que: taxa de variação total da quantidade de movimento no interior do VC no instante t taxa da quantidade de movimento do fluido que deixa o VC (saída "s") no instante t taxa da quantidade de movimento do fluido que entra no VC (entrada "e") no instante t EM-54 enômenos de Transporte

9 Conservação de momento linear para VC Assim, se a taxa de variação total de quantidade de movimento no VC no instante t é igual à resultante das forças atuando no VC neste mesmo instante, o enunciado do princípio da conservação pode ser expresso desta forma: dp dt VC VC V m s V m e onde V é a velocidade relativa ao VC e e ems são as taxas do fluxo de massa instantâneas na entrada e na saída respectivamente. m EM-54 enômenos de Transporte

10 Conservação de momento linear para VC VC V m s V m e Os termos do lado direito da equação expressam a variação da quantidade de movimento do fluido à medida que ele passa através da entrada e da saída do VC. No caso do VC pode ocorrer variação do fluxo de massa com o tempo e por isto a unidade (SI) da variação de quantidade de movimento (no instante t) é expressa em kg.m/s. EM-54 enômenos de Transporte

11 Conservação de momento linear para VC VC V m s V m e A equação acima é uma equação VETORIAL, portanto possui uma componente em cada direção do sistema de coordenadas (x, y e z). O lado direito é também chamado de força de inércia do fluido, pois representa a tendência do fluido permanecer em movimento a menos que atue uma força externa, representada pelo lado esquerdo. EM-54 enômenos de Transporte

12 orças atuantes em um VC As forças que atuam sobre o VC podem ser separadas em: orças de campo: estão relacionadas com a massa de fluido no interior do VC. Gravidade; orças de superfície: são as que atuam na superfície do VC. Pressão; Tensão de cisalhamento. EM-54 enômenos de Transporte

13 orças atuantes em um VC orças de campo: são aquelas que resultam da existência de um campo gravitacional, elétrico ou magnético externo. A única força de campo que será considerada é o campo de força gravitacional da Terra. Assim, a força de campo que atua em um fluido: grav ρgv Onde ρ é a densidade do fluido e V é o volume do fluido. EM-54 enômenos de Transporte

14 orças atuantes em um VC orças de superfície: são aquelas que ocorrem devido à pressão e às forças viscosas que atuam na superfície do VC. A pressão atua em todas as direções em um ponto do espaço. A força da pressão externa ao VC sempre atua na direção normal à superfície de controle e ao longo da superfície interna do VC. SC P (x,y) EM-54 enômenos de Transporte

15 orças de superfície: Pressão em um VC Se da for um elemento de área da superfície do VC, então a força de superfície devido à pressão é obtida pela integração do produto PdA, normal à superfície de controle (SC) ao longo de toda a superfície. pres SC ( n)pda n SC P (x,y) Onde n é o vetor unitário normal à SC e definido como sendo positivo na direção que aponta para fora da SC. EM-54 enômenos de Transporte

16 orças de superfície: Pressão em um VC Se a SC é cercada por uma pressão constante, como a devida à pressão atmosférica (Patm), não haverá contribuição da pressão para a força resultante da SC. SC Patm pres SC ( n)p atm da 0 EM-54 enômenos de Transporte

17 orças de superfície: Pressão em um VC Se houver um escoamento que entra através da face ad e sai por bc, uma pressão adicional (P M ) atuará no VC. Esta pressão P M irá variar de intensidade ao longo do VC pois a velocidade do escoamento varia. Logo, a força de pressão total devido ao escoamento e à pressão atmosférica será: ( n) [ P P ] EM-54 enômenos de Transporte pres P M M + SC d a Patm atm b da c

18 orças de superfície: Pressão em um VC pres Como a força resultante da pressão atmosférica é zero, temse: pres SC [ P P ] ( n) M + SC ( n)p atm M da da P M a Patm b c A soma da pressão P M (pressão manométrica) e a Patm (pressão atmosférica) é a P (pressão absoluta): P P M + Patm d EM-54 enômenos de Transporte

19 orças de superfície: orça viscosa no VC Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento (τ). Esta deformação se deve ao fato de que o fluido não suporta a ação de uma força tangente à sua superfície. Logo a τ corresponde à força tangente à superfície dividida pela área da superfície. A taxa de deformação decorrente desta tensão é diferente para diferentes fluidos. A propriedade que relaciona τ com a taxa de deformação de um fluido é a viscosidade (µ). EM-54 enômenos de Transporte

20 orças de superfície: orça viscosa no VC O fluido adjacente a uma superfície sólida (parede) sofre o que é chamado de tensão de cisalhamento na parede (τ p ). Na superfície sólida a velocidade relativa entre o fluido e a superfície é nula (princípio da aderência ou do não escorregamento). Na medida que se afasta da parede, a velocidade do fluido relativa à parede vai aumentar de zero até um valor finito. EM-54 enômenos de Transporte

21 orças de superfície: orça viscosa no VC A tensão de cisalhamento (τ) atua no sentido de resistir ao movimento do fluido e será máximo junto à superfície sólida (onde não existe movimento). Assim, a força viscosa na SC será: vis SC τ da EM-54 enômenos de Transporte

22 orça externa total no VC A força externa total atuando em um VC é: + + VC grav pres vis ρgv + (-n) P da + VC SC SC τ da A força viscosa será analisada nos Capítulos 6 e 7. EM-54 enômenos de Transporte

23 Exemplo: Um anteparo curvo é montado sobre rodas e movese na direção x com uma velocidade constante U 8 m/s como resultado de um jato de água (ρ 998 kg/m 3 ) que sai de um bocal estacionário como mostra a figura abaixo. A velocidade que água deixa o bocal é Vj 5 m/s. Quando a água atinge o anteparo, ela está se movendo apenas na direção x, porém quando ela deixa o anteparo, ela foi desviada para uma direção 50º acima da direção x. Desprezando as forças de campo, qual é a força exercida pela água no anteparo móvel? Escoamento z Vj A j 0,005 m x EM-54 enômenos de Transporte V saída θ x U VC será o fluido (fixado no anteparo), o que significa que o VC se move no sentido de x com velocidade de 8m/s. Vj - U z V saída x 50º

24 V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m z 50º x U 8 m/s ρ 998 kg/m 3 Pela lei da conservação de massa e considerando RP: dm VC dt 0 m m m ( ρav ) ( ρav ) m Considerando que ρ e A sejam constantes no anteparo: V V Vj Isto quer dizer que a intensidade de V é igual a V porém na direção de 50º acima da direção x. U EM-54 enômenos de Transporte

25 V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m z 50º x U 8 m/s ρ 998 kg/m 3 Não há nenhuma contribuição das forças de pressão pois todo o VC encontra-se à pressão atmosférica. E as forças de campo são desprezadas. Logo a força no anteparo é a reação à força no fluido, dada pelos componentes x e z: X m (VX - V X ) Z m (VZ - V Z ) EM-54 enômenos de Transporte

26 V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m z 50º x U 8 m/s ρ 998 kg/m 3. O fluxo de massa (m) no VC está associado à velocidade relativa no VC: V X (V j - U) m ρ(v j - U)A j A velocidade no ponto e no ponto na direção x será: V X (V j - U)cosθ A velocidade no ponto e no ponto na direção z será: VZ 0 V Z (V j - U)senθ EM-54 enômenos de Transporte

27 V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m z Assim: X 50º x Simplificando tem-se: Substituindo os valores: U 8 m/s ρ 998 kg/m 3 [( V U )cos ( V U )] m (V - V ) ρ(v U ) A θ X X X 998(5 j X ρ(vj U ) Aj (cosθ ) 8) 0,005(cos50 j j o ) 57,6 N Isto que dizer que x está atuando sobre o fluido na direção x negativa. j EM-54 enômenos de Transporte

28 V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m z 50º x Da mesma forma: Z m (V Z V Simplificando tem-se: Substituindo os valores: - Z Z U 8 m/s ) ρ(v j ρ 998 kg/m 3 [( V U ] ρ(v U ) A senθ j U ) A j j j ) ( senθ ) o Z 998(5 8) 0,005(sen50 ) 55, 4 Isto que dizer que z está atuando sobre o fluido na direção z positiva. N EM-54 enômenos de Transporte

29 z V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m 50º x U 8 m/s ρ 998 kg/m 3 A força no anteparo é a reação à força no fluido (VC), dada pelos componentes x e z: R R anteparo - X X anteparo - VC VC 57,6 N -55, Z Z 4 N z x R x R anteparo (R X ) + (R Z ) R z R Ranteparo (57,6) + (-55,4) 609,5 N EM-54 enômenos de Transporte

30 z V Vj - U V saída V Vj 5 m/s A sb 0,005 m 50º x U 8 m/s ρ 998 kg/m 3 Pode-se encontrar o ângulo da força do anteparo: θ R R Z 55,4 tan tan 65 R X 57,6 o x z R x θ R R z R EM-54 enômenos de Transporte

31 Exemplo: A água escoa em regime permanente através de um cotovelo circular de 90º com redução, que descarrega para a atmosfera, como mostra a figura abaixo. O cotovelo é parte de um sistema de tubulação horizontal (plano x, y) e está conectado ao resto da tubulação por um flange. Determinar a força no flange do cotovelo nas direções x e y se a vazão mássica que passa através do cotovelo é de 88,0 lbm/s (ρ água 63,3 lbm/ft 3 a 70º ). escoamento y x EM-54 enômenos de Transporte P M P M 7,4 lbf/in d 4,5 in d d d,5 in P M V P M y?? d d V x??

32 P M y?? P M 7,4 lbf/in V P M d d V x?? d 4,5 in d,5 in As forças atuando no VC no plano x, y incluem a pressão manométrica em e e a reação à força no cotovelo e flange (ou a força do fluido no VC: x e y). Assim, a equação da quantidade de momento para a direção x será: X X P M Xpres. + π(d 4 ) x + m x V m X m VX V X m VX EM-54 enômenos de Transporte

33 V P M P M d d y?? V x?? P M 7,4 lbf/in d 4,5 in d,5 in Por analogia, a equação na direção y será: Y X P M π(d ). 4 π(d). 4 + x VX m m VX Levando em consideração a conservação de massa e que: P M P M + y (-VY m ) m VY 0 (P abs Patm) VY 0 VX 0 EM-54 enômenos de Transporte

34 V P M P M d d y?? V EM-54 enômenos de Transporte x?? Substituindo, tem-se: V X P M. m ρa π(d 4 ) 4 m ρπd + x P M 7,4 lbf/in d 4,5 in d,5 in m(vx As velocidades são obtidas através da conservação de massa: y (-VY m V Y ) m ρa ) 4 m ρπd

35 V P M P M d Logo, tem-se: d y?? V EM-54 enômenos de Transporte x?? 63,3 π P M 7,4 lbf/in d 4,5 in d,5 in 4m 4 88 VX ρπd 4,5,6 ft/s 4m 4 88 VY 50, 4 ft/s ρπd,5 63,3 π

36 V Assim: x P M d P M m(vx d ) P y?? P M 7,4 lbf/in x?? d 4,5 in d,5 in V M π(d. 4 ) ( 88,6) 3,7 7,4 π(4,5) 4 3, lbf O sinal negativo indica que x está atuando sobre o fluido na direção de x negativo. 88 ( 50,4) y m (-VY ) 37,9 lbf 3,7 O sinal negativo indica que y está atuando sobre o fluido na direção de y negativo. EM-54 enômenos de Transporte

37 V P M d P M d y?? P M 7,4 lbf/in x?? d 4,5 in d,5 in V A força no cotovelo é a reação à força atuando no fluido (VC): R Xcot X 3, lbf R Ycot Y 37,9 lbf Logo, a força resultante será: Rcot (R X ) + (R Y ) (3,) + (37,9) 340,4 lbf Ry θ R R Rx E o ângulo da força será: EM-54 enômenos de Transporte θ R Y 37, 8 tan tan 3, 9 R X 3, R o

38 IM! EM-54 enômenos de Transporte