CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR Prof. Bruno Farias

2 Introdução Neste módulo vamos discutir de que forma o movimento complicado de um sistema de objetos, como um carro ou uma bailarina, pode ser simplificado se determinarmos um ponto especial do sistema: o centro de massa.

3 O Centro de Massa (CM) O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Veremos: Localizar o CM em sistema com poucas partículas; Sistemas com o grande número de partículas; Como o CM se move quando forças externas atuam sobre o mesmo.

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5 Sistema de Partículas Centro de Massa Consideremos duas partículas de massas m 1 e m 2 separadas por uma distância d. Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m 1 definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como:

6 Centro de Massa Se m 2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar na posição desta partícula; x CM = 0. Se m 1 = 0, de novo teremos só uma partícula e x CM = d. Se m 1 = m 2, o CM deve está a meia distância entre as duas partículas; x CM = ½ d. Se m 1 e m 2 0, então o CM estará entre 0 e d, ou seja, o CM estará em algum lugar entre as duas partículas Situação mais geral. onde M = m 1 + m 2. Se x 1 = 0, então x 2 = d.

7 Sistemas de n-partículas Centro de Massa Se considerarmos n partículas localizadas ao longo do eixo x. Nesse caso a massa total é M = m 1 + m m= e a posição do centro de massa é

8 Sistemas de n-partículas Centro de Massa Consideremos n partículas cujas massas são m 1, m 2, m 3,...m n. Suponha que as coordenadas de m 1 sejam (x 1, y 1, z 1 ), as de m 2 sejam (x 2,y 2, z 2 ) e assim por diante, com m n em (x n, y n, z n ),. Definimos o CM como: O vetor posição pode ser escrito como:

9 Exemplo

10 Exercício

11 Corpos Maciços Centro de Massa Em um bastão de beisebol, contém tantas partículas que nos permite tratá-lo melhor como uma distribuição contínua de massa. As partículas são representadas por elementos de massa dm, e portanto a soma se transforma em integral: onde M agora é a massa do objeto. Por simplificação vamos considerar apenas objetos uniformes., ou seja, a massa específica ρ é a mesma para todas as partes do objeto. Com dm dv M V.

12 onde dv é o volume ocupado por um elemento de massa dm e V é o volume total do objeto. Substituindo dm = (M/V)dV nas integrais anteriores, concluímos que também podemos calcular as componentes do centro de massa de um objeto comum, através de:

13 Quando o corpo homogêneo possui um centro geométrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geométrico. Assim não é necessário calcular as integrais anteriores. O centro de massa não existe somente na parte maciça do corpo, o CM da rosca está situado exatamente no centro do buraco.

14 Exemplo

15 Derivando o vetor posição r CM obtemos a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas: dr dt CM v m v CM m v m 2 M N v N De forma análoga, o vetor velocidade V CM obtemos a aceleração do centro de massa de um sistema de partículas: dv dt CM a m a CM m a m 2 M N a N

16 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas O centro de massa de um conjunto de n partículas se move como uma única partícula cuja massa é igual à massa total do sistema. A equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é a segunda lei de Newton: F M res a CM onde M é a massa total do sistema de partículas.

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18 F res é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema. Forças de uma parte do sistema que agem sobre outra parte (forças internas) não devem ser incluídas na equação anterior. A equação anterior é equivalente a três equações envolvendo as componentes de F res e a CM em relação aos três eixos de coordenadas, a saber: F Ma res, x CM, x F Ma F Ma res, y CM, y res, z CM, z

19 Exemplo

20 Momento Linear O momento linear de uma partícula é uma grandeza de vetorial definida como o produto de sua massa pela sua velocidade: p mv A unidade de momento no SI é o quilograma-metro por segundo (kg x m/s).

21 Originalmente Newton expressou a sua segunda lei em termos do momento linear: F res dp dt.

22 O Momento Linear de um Sistema de Partículas O momento linear total P de um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos das partículas individuais: P m v m v m v m v n n, Que também pode ser expresso na forma: P Mv CM Onde M é a massa total do sistema e v CM a velocidade do centro de massa do sistema.

23 Derivando a equação anterior temos: dp dt dvcm M Ma CM. dt Então, vemos que é possível escrever a segunda lei de Newton para um sistema de partícula na forma: F res dp. dt

24 Exemplo

25 Conservação do Momento Linear Quando a soma das forças externas que atuam sobre um sistema de partículas permanece zero, a taxa de variação do momento linear total permanece zero, e o momento linear total do sistema permanece constante. Isto é, se F res = 0 dp dt 0 P cons tan te. Este resultado, conhecido como lei de conservação do momento linear, também pode ser escrito na forma: P i P f.

26 Exemplo

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28 Exercício

29 O QUE É UMA COLISÃO? Colisão em Física, significa uma interação entre duas partículas (ou dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. Antes m 1 v 1a Durante m 1 Depois v 1d m 2 v 2a m 2 v 2d

30 Colisão e Impulso O momento p de qualquer corpo que se comporta como uma partícula não pode variar, a menos que uma força externa atue sobre o corpo. A variação de momento linear p durante uma colisão está relacionada à força através da segunda lei de Newton F = dp/dt. Assim, no intervalo de tempo dt, a variação do momento da bola é dada por dp F t dt.

31 A variação total do momento linear provocada durante uma colisão é determinada integrando ambos os membros da equação anterior de um instante t i imediatamente antes da colisão até um instante t f imediatamente após a colisão: p f t f dp t i p i t t p f i F t dt. t f F t i t dt. O lado direito da equação acima, que é uma medida tanto da intensidade quanto da duração da força da colisão, é chamado de impulso da colisão e representado pelo símbolo J: t f J F t i t dt. (Definição de impulso)

32 Assim a variação do momento de um objeto é igual ao impulso exercido sobre o objeto. p f p i p J (teorema do momento linear e impulso) Se temos um gráfico de F em função do tempo t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t, como na Figura abaixo.

33 Em muitas situações não sabemos como a força varia com o tempo, mas conhecemos o módulo médio F med da força e a duração Δt da colisão. Nesse caso podemos escrever: J F med t.

34 Exemplo

35 Exemplo

36 Exercício

37 Exercício

38 Colisões Unidimensionais Elásticas e Inelásticas Vamos estudar colisões unidimensionais em sistemas de duas partículas onde a ação de uma força externa pode ser desprezada. Assim nesses sistemas o momento linear é conservado. Classificamos o tipo de colisão do sistema de acordo com o que acontece com sua energia cinética total depois da colisão. Se numa colisão, parte da energia cinética inicial é transferida para outras formas de energia, como a energia térmica, e a energia sonora, a colisão é chamada de colisão inelástica: Kantes K depois Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica: Kantes K depois

39 COLISÕES UNIDIMENSIONAIS PERFEITAMENTE INELÁSTICAS v 1a antes v 2a depois v d m 1 m 2 m m1+ 2 Neste tipo de colisão, a partícula incidente SE AGARRA na partícula alvo. representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica duma dimensão. m m v 1 1a 2 2a 1 d d CM m1m2 m v1 a m2v2a 1 2 v m v m v v O centro de massa está na massa formada pelas duas partículas juntas. Por isso elas se movem com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.

40 Colisões Unidimensional Inelástica A partir da lei de conservação do momento linear para um sistema fechado de duas partículas podemos escrever

41 VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA Em um sistema fechado e isolado a velocidade do centro VCM do centro de massa do sistema não pode variar em uma colisão porque, com o sistema isolado não existe uma força externa para causar essa variação.

42 Exemplo

43 COLISÕES ELÁSTICAS NUMA DIMENSÃO antes: v 1a v 2a depois: m 1 v 1d v 2d m 2 m 1 m 2 1 2m 2 Energia cinética: K mv mv p 2m As equações básicas para uma colisão elástica são: p1a p2a p1d p2d p p p p 1a 2a 1d 2d 2m 2m 2m 2m conservação de momento linear conservação de energia cinética

44 Exemplo