Capítulo 6: Escoamento Externo Hidrodinâmica

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1 Capítulo 6: Escoamento Externo Hidrodinâmica Conceitos fundamentais

2 Fluido É qualquer substância que se deforma continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento, ou seja, ele escoa. Fluidos existem como líquido (água, gasolina), gás (ar, hidrogênio) e como uma combinação de líquido e gás (vapor úmido).

3 Propriedades de um fluido São várias as propriedades que permitem distinguir os fluidos e que são independentes do seu movimento: Densidade; Pressão de vapor; Tensão superficial (atração molecular de um líquido próximo de uma superfície ou outro fluido); Velocidade do som (velocidade na qual a onda acústica se movimenta no fluido).

4 Fluidos incompressíveis x compressíveis Fluidos compressíveis São aqueles que apresentam variação na densidade quando escoam: usualmente os gases. Fluidos incompressíveis São aqueles que não apresentam variação da densidade quando escoam (densidade constante ao longo do escoamento): usualmente líquidos e alguns gases. Neste curso serão considerados apenas os fluidos incompressíveis.

5 Escoamento incompressível x compressível A diferença entre o escoamento incompressível e compressível pode ser verificado através do número de Mach: M = Onde V é a velocidade do fluido e c é a velocidade do som. Esta equação permite determinar qual o escoamento de um fluido. V c

6 Gases: Escoamento incompressível x compressível M = Se M < 0,3 escoamento é incompressível. Se M > 0,3 escoamento é compressível. M = 1,0 escoamento é crítico (barreira do som no vôo de aeronaves) Se M > 1,0 escoamento é supersônico V c Líquidos: o escoamento será incompressível pois a velocidade de som dos líquidos é muito grande: Velocidade do som na água é cerca de m/s.

7 Escoamento incompressível x compressível Escoamentos incompressíveis de gases: Escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de aquecimento; Escoamentos em torno de automóveis; Escoamento de ar em volta de edifícios. Escoamentos compressíveis de gases Aerodinâmica de aeronaves de alta velocidade; Escoamento de ar através de turbinas a jato; Escoamento de vapor através de uma turbina em usinas termoelétricas.

8 Movimento de um fluido Pode ser analisado segundo duas descrições: Lagrangiana: é a descrição de movimento na qual as partículas individuais são observadas em função do tempo. Torna-se uma tarefa bastante difícil quando o número de partículas é muito grande, como no escoamento de um fluido. Euleriana: é a descrição de movimento na qual as propriedades de escoamento (como a velocidade) são funções do espaço e do tempo. A região de escoamento considerada é o campo de escoamento.

9 Movimento de um fluido Exemplo: uma empresa de engenharia é contratada para fazer recomendações para melhorar o escoamento do tráfego de uma grande cidade. A empresa tem duas alternativas: Contratar estudantes universitários para dirigir automóveis pela cidade registrando as observações necessárias: abordagem lagrangiana. Ou contratar estudantes universitários para ficar em interseções e registrar as informações: abordagem euleriana. Uma interpretação correta de cada conjunto deverá levar ao mesmo conjunto de recomendações, ou seja, à mesma solução. No curso introdutório de fluidos se usa a abordagem euleriana.

10 Campo de escoamento É uma representação do movimento do fluido no espaço em diferentes instantes. A propriedade que descreve o campo de escoamento é a velocidade. A velocidade tem componentes nas três coordenadas cartesianas (x, y, z) e pode variar com o tempo. Assim, o campo de escoamento é como uma fotografia do movimento do conjunto de partículas e suas velocidades no instante t.

11 Campo de escoamento Linhas de corrente: definidas como a linha contínua que é tangente aos vetores velocidade ao longo do escoamento num dado instante t. As linhas de corrente são sempre paralelas ao escoamento.

12 Escoamento externo X interno Escoamento externo é aquele que ocorre externamente a uma superfície sólida, onde o fluido está em contato com uma única fronteira sólida;

13 Escoamento Externo

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15 Escoamento externo X interno Escoamento externo é aquele que ocorre externamente a uma superfície sólida, onde o fluido está em contato com uma única fronteira sólida; Escoamento interno é aquele que possui fronteiras limitando o campo de escoamento;

16 Escoamento Interno

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18 Escoamento externo X interno Escoamento externo é aquele que ocorre externamente a uma superfície sólida, onde o fluido está em contato com uma única fronteira sólida; Escoamento interno é aquele que possui fronteiras limitando o campo de escoamento: No escoamento interno, os efeitos viscosos causam perdas energéticas substanciais e são responsáveis por grande parte da energia necessária para transportar óleo e gás em tubulações.

19 Força externa total no VC A força externa total atuando em um VC é: F = F + F + VC grav pres F vis F = ρgv + (-n) P da + VC SC SC τ da

20 Tensão de cisalhamento Ao encontrar uma fronteira sólida, o fluido se deforma devido à aplicação de forças de cisalhamento (que agem paralelamente às superfícies do fluido). Enquanto esta força estiver atuando, o fluido continuará se deformando. Esta força é resultado de uma tensão (de cisalhamento) agindo sobre o fluido, que exerce uma oposição ao movimento do fluido. Energia deve ser fornecida para vencer esta resistência e manter o escoamento.

21 Tensão de cisalhamento Existem fluidos em que a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação é linear e pode ser expressa por: Taxa de deformação τ x = µ u y Viscosidade dinâmica

22 Tensão de cisalhamento Viscosidade dinâmica Taxa de deformação τ x = µ u y Gradiente de velocidade A taxa de deformação é proporcional à variação da velocidade do fluido na direção normal ao escoamento. A taxa de deformação é diferente para diferentes fluidos.

23 Viscosidade dinâmica É uma propriedade intensiva, também conhecida como viscosidade absoluta. Como relaciona tensão de cisalhamento e velocidade local está diretamente associada com o transporte de momento e portanto é uma propriedade de transporte. No SI : N.s/m 2 Apresenta valores tabelados variando com a temperatura e da pressão: Varia muito com a temperatura e pouco com a pressão.

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25 Fluidos newtonianos X não newtonianos Quando existe a relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação resultante, os fluidos são chamados de newtonianos: Água, óleos, etc. Neste caso a expressão para determinar a tensão de cisalhamento é válida. Nesse curso só trabalharemos com fluidos newtonianos. Quando o fluido não apresenta uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação são conhecidos como fluidos não newtonianos: Pastas de dentes, tintas, etc.

26 Gradiente de velocidade Devido o princípio da aderência (ou do não escorregamento) o fluido em contato com uma superfície sólida (por exemplo uma mesa) possui a velocidade da superfície. Na medida em que afasta da parede, a velocidade do fluido relativa à parede aumenta, variando desde a velocidade da superfície (zero) até um valor máximo finito (U). Essa variação de velocidade é chamado de perfil de velocidade ou gradiente de velocidade. A tensão de cisalhamento age no sentido de resistir ao movimento do fluido, sendo máxima na superfície onde não existe movimento relativo.

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28 Camada limite hidrodinâmica É uma camada relativamente fina onde os efeitos das tensões viscosas de cisalhamento são preponderantes (ou seja, o escoamento é viscoso). Logo, é na camada limite que existe o gradiente de velocidade. A espessura da camada limite, δ, corresponde a distância a partir da qual o valor da velocidade do fluido corresponde a uma fração da velocidade a montante U. Logo: u = 0 em y = 0 u = 0,99 U em y = δ

29 u = 0,99U em y = δ δ u = 0 em y = 0

30 Fora da camada limite Fora da camada limite o fluido escoa com velocidade U, paralela à superfície sólida, como se ela não existisse. Por isto, fora da camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis e o escoamento pode ser tratado como sem viscosidade ou invíscido (τ x = 0). Nesta extremidade da camada limite em que o escoamento é não-viscoso, a equação de Bernoulli pode ser válida.

31 Sem Viscosidade Com Viscosidade

32 Escoamento na camada limite Experimentos mostram que existem dois regimes de escoamento na camada limite: laminar e turbulento. Escoamento laminar: fortemente ordenado As partículas mantém seu padrão de comportamento; O mecanismo de difusão é somente o molecular; O escoamento se processa na forma de lâminas sobrepostas. Escoamento turbulento: fortemente desordenado As partículas não apresentam um padrão de comportamento; O mecanismo de difusão não é somente o molecular; Ocorre difusão devido ao movimento desordenado das partículas choques.

33 Laminar x Turbulento

34 Escoamento na camada limite Os regimes de escoamento laminar e turbulento podem ser caracterizados considerando-se a relação entre a força de inércia numa partícula fluida e a força viscosa agindo nessa partícula fluida. Essa relação é adimensional e é conhecida como Número de Reynolds (Re). 3 2 ρl U força inercial M.a L ρul UL Re = = = = = força viscosa τ.a U 2 µ L µ ν L

35 Escoamento na camada limite O regime de escoamento depende de três parâmetros físicos: Escala de comprimento do campo de escoamento: Como por exemplo o comprimento da placa, o diâmetro de um duto, etc.. Se essa escala de comprimento é suficientemente grande, o distúrbio de escoamento pode aumentar, tornando-o turbulento. Escala de velocidade: Para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento pode ser turbulento.

36 Escoamento na camada limite O regime de escoamento depende de três parâmetros físicos: Viscosidade cinemática: razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade A viscosidade alta tende a amortecer as perturbações, dissipando sua energia, evitando o movimento desordenado. Para uma viscosidade cinemática relativamente pequena, o escoamento pode ser turbulento. ν = µ ρ

37 Escoamento na camada limite A combinação dos parâmetros comprimento, velocidade e densidade referem-se à força inercial numa partícula fluida. A combinação dos parâmetros comprimento, velocidade e viscosidade referem-se à força viscosa agindo nesta partícula fluida. Estes parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro, conhecido como Número de Reynolds: ρul Re = = µ UL ν

38 Número de Reynolds ρul Re = = µ UL ν Efeito inercial Efeito viscoso Re << 1, efeitos viscosos preponderantes Re >> 1, efeitos inerciais preponderantes Existe um valor crítico de Re acima do qual o escoamento será turbulento e abaixo do qual será laminar. Este valor é conhecido como número de Reynolds de transição ou crítico.

39 Escoamento na camada limite

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41 Escoamento na camada limite Na camada limite a pressão é constante ao longo da sua espessura: P y=0 = P y=δ Na extremidade da camada limite o escoamento é não-viscoso e Equação de Bernoulli pode ser válida. Assim, a pressão P y=δ pode ser encontrada caso a velocidade U na região não-viscosa seja conhecida: ρu P y = δ = (constante) - 2 2

42 Escoamento na camada limite A variação da pressão na direção do escoamento é conhecida caso a variação da velocidade U na direção x também seja conhecida. 1 dp ρ dx = U du dx O termo dp/dx é chamado de gradiente de pressão do escoamento. Para o caso do escoamento próximo à superfície sólida, du/dx = 0 e o gradiente de pressão é zero.

43 Camada limite térmica Caso a superfície sólida esteja a uma temperatura diferente da corrente livre de escoamento (fora da camada limite), uma camada limite térmica também será formada. Sua taxa de desenvolvimento e espessura são semelhantes aos da camada limite hidrodinâmica. A relação entre as camadas limite térmica e hidrodinâmica é indicada pelo número de Prandtl: Pr = ν α Pr de vários fluidos está tabelado (Tabela A-8 e outras).

44 Camada limite térmica N. Prandtl, Pr ν Pr = = α δ δ T Onde ν é a viscosidade cinemática e α é a difusividade térmica. O Pr pode ser interpretado como a razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica.

45 Escoamento em regime permanente X transiente No escoamento em regime permanente não há alteração das propriedades da partícula ao longo do tempo. Logo, as quantidades de interesse no escoamento de um fluido (como por exemplo velocidade, pressão e densidade) são independentes do tempo. No escoamento em regime transiente as propriedades da partícula se alteram ao longo do tempo.

46 Escoamento natural X forçado Natural: quando forças naturais (gravidade) movimentam o fluido e normalmente não há velocidade de movimento. Forçado: quando há uma fonte de energia externa que promove o movimento do fluido, havendo uma velocidade do fluido.

47 FIM!