AS LEIS DA CONSERVAÇÃO NA ABORDAGEM MACROSCÓPICA

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1 CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO MPÁ S LEIS D CONSERVÇÃO N BORDGEM MCROSCÓPIC Disciplina: Fenômenos de Transporte Professor: Dr. Jonathan Castro manajás MCPÁ - P - OUT/016 -

2 Conservação da massa Especifica que a massa de um sistema é constante com o tempo. taxa de variação da massa no volume de controle (V.C.) é igual ao balanço de massa através da superfície de controle (S.C.).

3 Quantidade de Movimento força resultante que atua num V.C. é igual à taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento do V.C., mais os saldos dos fluxos da quantidade de movimento através da S.C. Permite tratar de problemas que envolvem forças dos fluidos sobre superfícies sólidas e outros fluidos como a força sobre uma curva, empuxo de um motor a jato, sustentação e resistência em asas de avião.

4 Momento da Quantidade de Movimento Conhecida também como quantidade de movimento angular. É utilizada na teoria de turbomáquinas para obter o conjugado externo resultante sobre o volume de controle. Nestes casos o momento é mais significativo que as forças que atuam no sistema.

5 Conservação da Energia primeira lei da termodinâmica é uma lei de conservação da energia, a qual considera a energia fornecida, energia retirada e energia acumulada em um sistema ou volume de controle. Os tipos de energia que participam são energia armazenada e energia de transição. Pode ser utilizada para avaliar as diversas formas de energia, ou transferência de calor e trabalho no sistema.

6 Tabela. Resumo das leis básicas Lei Básica Equação da Continuidade Equação da Quantidade de Movimento Equação do Momento da Quantidade de Movimento Equação da Conservação da Energia E: energia total; W: trabalho; Q: calor Equação Básica d dt d dt d dt d ( m) ( mv ) dt ( mrxv ) ( E) dq dt 0 F rxf dw dt

7 Equação da conservação da massa O caso mais utilizado da equação da continuidade é o caso particular em que se considera escoamento uniforme e permanente e pode ser deduzido com ajuda da Figura 1. Figura 1. Esquema de escoamento num tubo de corrente.

8 Equação da conservação da massa Para qualquer V.C. o princípio da conservação da massa é definido como: t VC d SC Vd 0 Massa entrando por unidade de tempo no V.C. = Massa saindo por unidade de tempo no V.C. + Variação da massa dentro do V.C. por unidade de tempo

9 Equação da conservação da massa Como o escoamento é permanente a primeira expressão na equação é nula. Considerando que o V.C. selecionado é um tubo de corrente, o fluido atravessará unicamente as fronteiras nas superfícies 1 (entrada) e (saída), obtemos a equação da conservação da massa resultante: 1 1v1d1 vd 0

10 Equação da conservação da massa Como o escoamento é uniforme a massa especifica não se modifica, nem é dependente da área, ficando fora da integração. velocidade é uniforme e não varia em função da área. integral é desta forma equivalente ao produto escalar dos vetores v e. O produto escalar de dois vetores é dado pelo produto dos módulos de ambos os vetores multiplicados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Também sabemos que sempre o vetor área aponta para fora da superfície.

11 Equação da conservação da massa Considerando escoamento uniforme numa seção n. Vd n V n n n Ou em grandezas escalares, n Vd V n n n

12 Equação da conservação da massa Desta forma a resultante do produto escalar será: Positivo: (+) quando a massa escoa para fora do volume de controle V n n n Negativo: (-) quando a massa escoa para dentro do volume de controle V n n n

13 dicionando ambas as parcelas obtemos a expressão: 1 1v1d1 vd 1v1 1 v 0 Massa entrando por unidade de tempo = Massa saindo por unidade de tempo Esta expressão é denominada fluxo de massa e representa a quantidade de massa escoando por unidade de tempo. No SI o fluxo de massa é dado em kg/s. m = ρ 1 v 1 1 = ρ v = ρv Fluxo de Massa

14 Quando o escoamento é incompressível ρ 1 = ρ = cte a se obtém a vazão ou fluxo volumétrico. Q = v 1 1 = v = v Fluxo em volume ou Vazão

15 Seção convergente e Divergente Podemos aplicar a Eq. da continuidade para tubos com seções transversais que mudam ao longo seu comprimento. Considere tubos de seções convergente e divergente (Figura ). Figura. Escoamento numa seção convergente e divergente.

16 Seção convergente e Divergente Figura. Escoamento numa seção convergente e divergente. Fig. (a) mostra um fluido escoando da esquerda para direita e o tubo está estreitando na mesma direção. Pela conservação da massa o fluxo de massa entrando no tubo é igual ao da massa saindo do tubo. ssim podemos escrever: ρ 1 v 1 1 = ρ v

17 Seção convergente e Divergente Como se trata de um líquido pode considerar escoamento incompressível, isto é, com massa específica constante (ρ 1 = ρ = ρ). Isto significa que a vazão é a mesma Q 1 = Q v 1 1 = v

18 Junção de tubulações: Trata-se de determinar as velocidades em tubos vindo de uma junção (Figura 3). Considerando o fluxo de massa: ρ 1 Q 1 = ρ Q + ρ 3 Q 3 Considerando fluido incompressível ρ 1 = ρ = ρ Q 1 = Q + Q 3 Figura 3. Escoamento numa junção. 1 v 1 = v + 3 v 3

19 Vazão e Velocidade Média Em um escoamento não-uniforme com fluido viscoso a velocidade no tubo não é uniforme (constante) através da seção transversal. velocidade nas paredes é zero, aumentando simetricamente para um máximo no centro. Esta variação através da seção é conhecida como o perfil de velocidade.

20 Vazão e Velocidade Média Para determinar a vazão deveríamos considerar cada vetor velocidade v i que forma parte do perfil de velocidade e que atravessa a superfície de controle. Considerando a seção transversal subdividida em n elementos de área Δ, a vazão será dada como: Q v v v n n

21 Vazão e Velocidade Média Podemos também definir a vazão em função da velocidade média como igualando os termos se obtém Q v total n n total v v v v )... ( n n total v v v v

22 Vazão e Velocidade Média Desta forma a velocidade média é dada como: ou, na forma integral v v 1 total i1 E no caso de escoamento uniforme (v 1 =v =v 3 =v) fica v 1 n total v i i vd n v total i1 i v

23 Exemplo: Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. velocidade v é dada pela equação: 1 r v vmax R Em que r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação.

24 Solução: equação básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: Hipóteses: Escoamento permanente e incompressível Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. t VC d SC vd 0

25 Q m v d v d vd Considerando o elemento de área da seção do tubo: d=πrdr R r Q m vmax 1 (r ) dr R 0 Q m v R max 1 0 r R rdr

26 Resolvendo a integral: rdr R r R 0 1 R R r r R R R 4 R R 4 R 4 max R v Q m max R v v max

27 Equação da Quantidade de Movimento Tal equação representa a força exercida por um líquido em escoamento permanente. formulação vetorial da segunda lei de Newton para um V.C. não acelerado fornece a expressão da equação da quantidade de movimento na sua forma integral. em que F s representa as forças de superfície e F B as forças de corpo. F R F s F B t Vd VC SC VVd

28 Equação da Quantidade de Movimento Da expressão se observa que as forças (de superfície e de campo) atuando sobre o V.C. são iguais à soma da taxa de variação da quantidade de movimento dentro do V.C. e a taxa de fluxo da quantidade de movimento resultante através da S.C.

29 Equação da Quantidade de Movimento Em relação ao sistema de coordenadas x, y, z as componentes escalares da equação vetorial definida anteriormente são dadas como: F F F x y z F F F sx sy sz F F F o sinal do produto escalar ud t VC vd t VC wd t VC Vd vetor velocidade em relação ao vetor-área d. Bx By Bz SC SC SC uvd vvd wvd depende da direção (sentido) do

30 Equação da Quantidade de Movimento Sugerem-se duas etapas para solucionar as equações: 1ª. Determinar o sinal de. Vd Vd Vd cos Vd cos ª. Considerar o sinal de cada componente de velocidade (u x,v y,w z ) multiplicando este pelo resultante anterior. Por exemplo, se a componente da velocidade for positiva então: uvd u Vd cos

31 Equação da Quantidade de Movimento Se denominarmos então a força de corpo é dada por: B as forças de corpo por unidade de massa, F B Bdm VC Bd Considerando um tubo de corrente, a expressão da quantidade de movimento será: F s F B t Vd VC SC VVd

32 Equação da Quantidade de Movimento força de superfície, agindo nas superfícies de controle, corresponde às pressões exercidas na entrada e saída do fluido. F s p 11 p E a força de campo, definida como: W F B Bd VC VC gd g corresponde ao peso do fluido. Força vertical atuando de cima para baixo aplicada no centro de gravidade.

33 Equação da Quantidade de Movimento Considerando o escoamento permanente: t VC vd 0 SC vvd 1 v 11v1d1 vvd 0 1v1 1 v Qm v11 v1d1 v1 1 1 v v Qm vvd v

34 Equação da Quantidade de Movimento Substituindo as equações acima na equação da quantidade de movimento se obtém: força resultante que equilibrará o sistema acima é dada por: v v Q W p p m v v Q W p p F m r

35 Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 90 em regime permanente. Na seção (1), entrada, o diâmetro é 10 mm, a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 10 kpa. Na seção (), saída, o diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força resultante R x e R y.

36 Momento da Quantidade de Movimento (MQM) Sistemas referenciais em repouso ou movendo-se com velocidade constante são inerciais. equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada por: r (1) F s r Bd T VC eixo () (3) t VC r Vd (4) SC r VVd (5)

37 Momento da Quantidade de Movimento (MQM) O lado esquerdo da equação representa todos os torques que agem sobre o volume de controle (1) representa o momento em relação à origem da força de superfície df s agindo na S.C. () representa o momento em relação à origem devido à força de campo que age num elemento infinitesimal de volume dv. (3) representa o torque no eixo da turbomáquina.

38 Momento da Quantidade de Movimento (MQM) O lado direito contém termos que representam a taxa de variação da quantidade de movimento angular do volume de controle. (4) representa a quantidade de movimento angular do elemento infinitesimal de massa d. integração nos fornece o momento da quantidade de movimento angular da massa no interior do V.C. (5) representa a taxa de fluxo da quantidade de movimento angular através da S.C.

39 Momento da Quantidade de Movimento (MQM) Todas as velocidades são velocidades absolutas, medidas em relação ao volume de controle fixo. No caso de máquinas rotativas como as turbomáquinas a Eq. acima é expressa em forma escalar, considerando somente a componente da equação dirigida ao longo do eixo de rotação.

40 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica primeira lei da termodinâmica é uma lei de conservação da energia, a qual considera a energia fornecida, a energia retirada e a energia acumulada em um sistema ou volume de controle. Os tipos de energia que participam são: energia armazenada e energia de transição.

41 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica s formas de energia armazenada são: E c : Energia cinética E p : Energia potencial gravitacional Energia associada com o movimento do corpo. Energia associada com a capacidade do corpo entrar em movimento. U: Energia interna Energia molecular associada com os campos internos do corpo. energia total armazenada num sistema é dada por: E E c E p U

42 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica energia cinética é dada por: 1 Ec mv energia potencial gravitacional é dada por: E p mgz energia total armazenada é dada por: E 1 mv mgz U

43 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica s formas de energia de transição são: Q: Calor Energia em transição de um corpo para outro. W: Trabalho Energia em transição (para ou de um sistema) que ocorrem quando forças externas atuantes sobre o sistema movem-se através de uma distância.

44 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica Num sistema (fechado) a massa não pode atravessar as fronteiras. Para um intervalo de tempo de t 1 a t a conservação da energia é dada por: Q W E que na forma diferencial é dada por: de dq dw

45 Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica Considerando as variações com o tempo da energia armazenada e energia em transição num sistema, de dq dw dt dt dt Para indicar que estamos seguindo o sistema utilizamos a derivada substancial. DE Dt dq dt dw dt

46 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Utilizando a Equação Geral obtemos: Em que: Q W t ed Q: representa a taxa de transferência de calor sendo positiva (+) quando adicionada ao sistema, W: é a taxa de transferência de trabalho sendo positiva quando o trabalho é realizado pelo sistema. VC SC evd

47 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Para avaliar tal equação devemos analisar o comportamento da energia total armazenada e das diversas contribuições das taxas de transferência de trabalho por trabalho de eixo, por trabalho devido a tensões normais, tangenciais e por outros tipos de trabalho.

48 nálise da Taxa de Transferência de Trabalho taxa de transferência de trabalho é formada pelas seguintes contribuições: W W W eixo W τ W σ W W eixo W outros Taxa de transferência de trabalho através da S.C. por trabalho de eixo. Taxa de transferência de trabalho por tensões tangenciais na S.C. Taxa de transferência de trabalho por tensões normais na S.C. W outros Taxa de transferência de trabalho elétrico, eletromagnético.

49 nálise da Taxa de Transferência de Trabalho taxa de transferência de trabalho por tensões normais na S.C. é dada como: W SC Para a maioria dos escoamentos de interesse de engenharia é válido que σ nn =-p onde p é a pressão termodinâmica. Desta forma: W SC nn Vd pvd

50 nálise da Taxa de Transferência de Trabalho taxa de transferência de trabalho por tensões tangenciais na S.C. é dada por: Escolhendo uma S.C. que intercepta cada passagem perpendicularmente ao escoamento então d é paralela a V. Como a tensão está no plano de d temos que τ é perpendicular a V. Desta forma: V W Vd SC 0 assim W 0

51 nálise da Taxa de Transferência de Trabalho Na maioria dos casos também se considera nula a taxa de transferência de outros trabalhos de origem elétrica e eletromagnética, desta forma, W outros 0 adicionado os trabalhos temos que: W W W W eixo W outros W W eixo 0 pvd 0 SC

52 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Com os equacionamentos anteriores podemos determinar a 1ª Lei da Termodinâmica. Sabemos que a taxa de transferência de trabalho é dada por: W W eixo Que substituída na equação geral, Q W eixo SC pvd t SC VC pvd ed SC evd

53 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Q W eixo t VC ed SC evd SC pvd para adicionar as duas integrais de área da equação acima, podemos multiplicar a pressão p pelo volume específico (v) que é inverso da massa específica, Q W eixo t VC ed e pv SC Vd

54 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Finalmente com a definição da energia total armazenada por unidade de massa: 1 e V gz u Obtemos a expressão final da 1ª Lei da Termodinâmica aplicada a um volume de controle. Q W eixo t VC 1 V gz ud SC 1 V gz u pvvd

55 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Um caso muito utilizado é o escoamento entre duas seções onde existem máquinas adicionando ou retirando energia e também existe dissipação de energia no sistema: g p y g V g u u mg Q mg W g p y g V eixo (

56 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Utilizando a definição de potência de bombas e turbinas: W mg eixo W mg turbina W mg bomba H Em que H R : energia retirada e H : Energia adicionada. R H

57 nálise da 1ª Lei da Termodinâmica num V.C. Considerando escoamento sem taxa de transferência de calor (Q=0) e a energia dissipação de energia representada por perdas em metros de coluna de fluido: h L g u u ) ( 1 g p y g V h H H g p y g V L R 1 1 1

58 REFERÊNCIS BÁSICS BIRD, R. B.; LIGHTFOOT, E. N.; STEWRT, W. E. Fenômenos de transporte. ed. São Paulo: LTC, 004. FOX, R. W.; McDONLD,. T.; PRITCHRD, P. J. Introdução à mecânica dos fluídos. São Paulo: LTC, 006. INCROPER, F. et al. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 008. REFERÊNCIS COMPLEMENTRES SSY, T. M. Mecânica dos fluídos fundamentos e aplicações. ed. São Paulo: LTC, 004. BISTF, S. R. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Edgard Blucher, 010. BRUNETTI, F. Mecânica dos fluídos. ed. Revisada. São Paulo: Prentice Hall Brasil, 008. LIVIS, C. P. Fundamentos de fenômenos de transportes um texto para cursos básicos. ed. Editora LTC. São Paulo, 01. ROM, W. N. L. Fenômenos de transporte para engenharia. ed. São Carlos: Rima, 006. REFERÊNCIS RECOMENDDS WHITE, F. Mecánica de Fluidos, 6ª edición, McGraw-Hill, 008.