Departamento de Engenharia Mecânica. ENG 1011: Fenômenos de Transporte I

Transcrição

1 Departamento de Engenharia Mecânica ENG 1011: Fenômenos de Transporte I Aula 9: Formulação diferencial Exercícios 3 sobre instalações hidráulicas; Classificação dos escoamentos (Formulação integral e diferencial, escoamento laminar e turbulento, interno e externo); Escoamento desenvolvido; Escoamento entre placas paralelas (Fluxo de Couette); Escoamento entre placas paralelas com gradiente de pressão (Fluxo de Poiseuille); Prof. Rafael Menezes de Oliveira

2 EXERCÍCIO 3

3 EXERCÍCIO 3 - solução (1) (2) Precisamos de f para encontrar v, e precisamos de v para encontrar f solução iterativa

4 Chute inicial: EXERCÍCIO 3 - solução

5 POSSÍVEL CLASSIFICAÇÃO DA MECÂNICA DE FLUIDOS

6 ESCOAMENTO VISCOSO VS. ESCOAMENTO NÃO-VISCOSO Até o século XIX, haviam duas mecânicas de fluidos A téorica, que desprezava as forças viscosas (Bernoulli). A hidráulica, baseada em resultados empíricos. A teoria não conseguia prever as observações experimentais. Exemplo: paradoxo de D alambert, que previa força de arrasto nula usando teoria invíscida. Em 1905, L. Prandtl percebeu que as forças viscosas são importantes na vizinhança das paredes sólidas, e dividiu os escoamentos em duas regiões: A camada-limite, onde γ ሶ = u y Fora da camada-limite, onde ሶ século XIX é válida é grande, e portanto τ = μγሶ é grande. γ é pequeno, e portanto τ 0 a teoria do Após esta descoberta a mecânica de fluidos se unificou.

7 ESCOAMENTO LAMINAR VS. ESCOAMENTO TURBULENTO Escoamento laminar: as partículas de fluido movem-se suavemente em camadas lisas, ou lâminas. Escoamento turbulento: existem flutuações aleatórias no campo de velocidade, e as partículas se misturam rapidamente. Exemplo em escoamento retilíneo:

8 ESCOAMENTO LAMINAR VS. ESCOAMENTO TURBULENTO Como vimos, o número de Reynolds (Re) determina se o escoamento é laminar ou turbulento. Este parâmetro mede a razão entre forças de inércia e forças viscosas, e é definido como: Onde ρ é a massa específica, μ é a viscosidade absoluta, L c e v c correspondem a velocidade e a dimensão característica do escoamento. Para escoamento permanente em tubos:

9 ESCOAMENTO EXTERNO A região considerada em geral contém um corpo sólido submerso. Em geral, desejamos determinar as forças que atuam no corpo, i.e., a força de arraste e a força de sustentação. Velocidade característica Dimensão característica (distância à borda de ataque) x < L Re x < Re c (laminar)

10 ESCOAMENTO INTERNO LAMINAR No escoamento interno, a região considerada é delimitada por paredes sólidas ou superfícies de entrada ou saída; Na entrada do tubo forma-se uma camada limite que cresce na direção axial; Nesta região de entrada, a velocidade muda com z; Quando a camada limite atinge o centro do tubo, não há mais variação com z; A partir desta posição diz-se que o escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido; A relação entre vazão e queda de pressão na região desenvolvida é linear.

11 ESCOAMENTO DESENVOLVIDO TURBULENTO Na entrada do tubo, camada limite é laminar; Antes do desenvolvimento, a camada limite torna-se turbulenta; A espessura da camada limite turbulenta cresce mais rápido; Logo, o comprimento de desenvolvimento é menor; O perfil de velocidade é mais chato.

12 ESCOAMENTO EM TUBO Turbulento Transição Laminar

13 ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA PLACA TRANSVERSAL

14 ESCOAMENTO EM TORNO DE AEROFÓLIO

15 ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CARRO

16 CAMADA LIMITE EM ESCOAMENTO LAMINAR

17 FORMULAÇÃO DIFERENCIAL & INTEGRAL Formulação integral Sistema ou volume de controle finito; Equações algébricas envolvendo integrais; Informação global. Formulação diferencial Sistema ou volume de controle infinitesimal; Equações diferenciais; Fornece detalhes do escoamento como o campo de velocidade em cada ponto.

18 FORMULAÇÃO DIFERENCIAL - CONSERVAÇÃO DE MASSA Teorema do Transporte de Reynolds: Usando o teorema da divergência: Forma diferencial da conservação da massa: Fluido incompressível:

19 FORMULAÇÃO DIFERENCIAL - CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO Usando o teorema da divergência: Simplificando o lado esquerdo: Forças por unidade de volume (forças de cisalhamento, de pressão, de corpo) (Conservação de massa)

20 FORMULAÇÃO DIFERENCIAL - CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO Equação de Cauchy Para fluidos com viscosidade e densidade constantes, temos a Equação de Navier-Stokes: Segunda lei de Newton por unidade de volume; Conservação da quantidade de movimento linear em forma diferencial; Solução fornece campo de velocidade detalhado.

21 APLICAÇÃO ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Fluxo de Couette: um fluido viscoso incompressível escoa no espaço confinado entre duas placas paralelas. A placa superior move-se com velocidade U e não há gradiente de pressão. Determine o campo de velocidade do fluido em regime estacionário, desenvolvido. Equação de Navier-Stokes desprezando termo de gravidade e fazendo Componente x: Componente y:

22 APLICAÇÃO ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Neste escoamento: Então:... Equação de Navier-Stokes simplifica para: Sem gradiente de pressão Integrando (separação de variáveis): Condições de contorno:

23 EXEMPLO 1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Usando balanço de força em um elemento de fluido:

24 EXEMPLO 1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Balanço de força em um elemento de fluido: Navier-Stokes:

25 EXEMPLO 1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Expansão em série de Taylor: Não há gradientes de pressão; Mesmo resultado encontrado simplificando as equações de Navier-Stokes.

26 EXEMPLO 1 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS Integrando: Cálculo da força:

27 RESUMO ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS SEM GRADIENTE DE PRESSÃO Fluxo de Couette: Usando balanço de força em um elemento de fluido:

28 EXEMPLO 2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM GRADIENTE DE PRESSÃO Fluxo de Poiseuille: p 1 p 2 < p 1 Estratégia de solução: u u m Q p h L

29 EXEMPLO 2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM GRADIENTE DE PRESSÃO Como vimos, do balanço de forças: Integrando: Condição de simetria Condições de contorno: Condição de não deslizamento

30 EXEMPLO 2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM GRADIENTE DE PRESSÃO Vazão volumétrica:

31 EXEMPLO 2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM GRADIENTE DE PRESSÃO PERDA DE CARGA: