Disciplina : Mecânica dos fluidos I. Aula 5: Estática dos Fluidos

Transcrição

1 Curso: Engenharia Mecânica Disciplina : Mecânica dos fluidos I ula 5: Estática dos Fluidos Prof. Evandro Rodrigo Dário, Dr. Eng.

2 Estática dos Fluidos Sistemas Hidráulicos Os sistemas hidráulicos são caracterizados por pressões muito elevadas, de modo que as variações de pressão hidrostática podem ser frequentemente desprezadas. Os freios hidráulicos automotivos desenvolvem pressões de até 10 Mpa. Sistemas de atuação hidráulica de aviões e máquinas são frequentemente projetados para pressões de até 40 MPa e os macacos hidráulicos usam pressões de até 70 MPa. Embora os líquidos são geralmente considerados incompressíveis sob pressões ordinárias, variações em suas massas específicas podem ser apreciáveis sob pressões elevadas.

3 Estática dos Fluidos Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas Para determinar completamente a resultante de força atuando sobre uma superfície submersa, devemos especificar: 1. O módulo da força. ( Intensidade ) 2. O sentido da força. 3. linha de ação da força. Consideraremos tanto superfícies submersas planas quanto curvas.

4 lém do módulo da força resultante, F R, também desejamos localizar o ponto de aplicação dessa força (de coordenadas x, y ) sobre a superfície.

5 força hidrostática sobre qualquer elemento da superfície age normalmente à superfície. força de pressão atuando sobre um elemento d = dxdy da face superior é dada por: força resultante agindo sobre a superfície é encontrada somando as contribuições das forças infinitesimais sobre a área inteira.

6 Determinação da Força Resultante : Para avaliar a integral, tanto a pressão p quanto o elemento de área d devem ser expressos em termos das mesmas variáveis. Podemos expressar a pressão p em uma profundidade h do líquido como:

7 Temos ainda, da geometria do sistema, que h = y senθ. Substituindo na equação anterior da pressão, obtemos: F R = න pd = න p o + ρgh d = න p o + ρgy sin θ d F R = p o න d + ρg sin θ න yd = p o + ρg sin θ න yd integral é o primeiro momento de área da superfície em torno do eixo x, que pode ser escrita como: Onde y c é o centroide da área න yd = y c

8 Substituindo na equação anterior temos: F R = p o + ρg sin θ y c ou F R = p c Onde p c é a pressão absoluta no líquido na posição do centroide de área. equação exprime a força resultante devido ao líquido incluindo o efeito da pressão ambiente p o sobre um lado de uma superfície plana submersa.

9 É importante notar que, embora a força resultante possa ser calculada a partir da pressão no centro da placa (centroide da área), esse não é o seu ponto de aplicação! Nossa próxima tarefa é determinar (x, y ) a localização do ponto de aplicação da força resultante.

10 Vamos obter y, reconhecendo que o momento da força resultante em torno do eixo x deve ser igual ao momento devido à força distribuída da pressão. Tomando a soma (isto é, integral) dos momentos das forças infinitesimais df em torno do eixo x, nós obtemos: y F R = න ypd

11 Como feito anteriormente, podemos fazer a integração expressando p como uma função de y: y F R = න ypd = න y p o + ρgy sin θ d = න yp o + ρgy 2 sin θ d y F R = p o න yd + ρg sin θ න y 2 d න yd = y c න y 2 d = (I x x + y c 2 )

12 Usando essas relações obtemos: F R = p o + ρg sin θ y c y F R = p o y c + ρg sin θ I x x + y c 2 = y c p o + ρg sin θ y c + ρg sin θ I x x y F R = y c F R + ρg sin θ I x x y = y c + ρg sin θ I x x F R

13 equação é válida para o cálculo da coordenada y do ponto de aplicação da força sobre o lado submerso da superfície, quando se deseja incluir a pressão ambiente p o. Se esta mesma pressão atua sobre o outro lado da superfície devemos desprezar p o no cálculo da força líquida. E a equação torna-se: F R = p c,manométrica = ρg sin θ y c y = y c + ρg sin θ I x x F R y = y c + I x x y c

14 Para problemas em que a pressão sobre o outro lado da superfície não é p o, podemos analisar cada um dos lados da superfície separadamente ou reduzir as duas distribuições de pressão a uma distribuição líquida de pressão. Note que em qualquer situação, y > y c a localização do ponto de aplicação da força é sempre abaixo do centroide.

15 Uma análise similar pode ser feita para calcular x, a coordenada x do ponto de aplicação da força resultante sobre a superfície. x F R = න xpd Podemos expressar p como uma função de y como antes: x F R = න xpd = න x p o + ρgh d = න xp o + ρgxy sin θ d x F R = p o න xd + ρg sin θ න xy d න xd = x c න xyd = (I x y + x c y c )

16 Usando essas relações obtemos: F R = p o + ρg sin θ y c x F R = p o x c + ρg sin θ (I x y + x c y c ) x F R = x c p o + ρg y c sin θ + ρg sin θ I x y Finalmente, obtemos para x : x F R = x c F R + ρg sin θ I x y x = x c + ρg sin θ I xy F R equação acima é conveniente para calcular x quando se deseja incluir a pressão ambiente p o.

17 Quando a pressão ambiente age sobre o outro lado da superfície, podemos novamente desprezar p o no cálculo da força líquida. F R = p c,manométrica = ρg sin θ y c x = x c + ρg sin θ I xy F R x = x c + I xy y c direção da força será sempre perpendicular ao plano da superfície.

18 Exemplo 1: Força resultante sobre uma superfície plana Inclinada Submersa

19 Exemplo 1: Força resultante sobre uma superfície plana Inclinada Submersa Distribuição de pressão hidrostática líquida sobre a comporta

20 Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

21 Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

22 Exemplo 2: Força resultante sobre uma superfície plana vertical

23 Exercícios Sugeridos: FOX, Robert W., PRITCHRD, Philip J. McDONLD, lan T. Introdução à mecânica dos fluidos. 8a Ed. Rio de Janeiro: LTC, Capítulo 3: 50, 52, 63, 66.