FLUIDOS - RESUMO. A densidade de uma substância em um ponto P é definida como,

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1 FLUIDOS - RESUMO Estática dos fluidos Densidade A densidade de uma substância em um ponto P é definida como, ρ = m V, () em que m é a quantidade de massa que ocupa o volume V, contendo o ponto P. Se a densidade varia no espaço temos, m ρ = lim V 0 V. () A densidade também pode variar com o tempo, assim no caso geral temos ρ = ρ(x,y,z,t). Contudo, veremos como caso mais comum uma substância uniforme e constante, ou como no caso da atmosfera, a aproximação em que ρ = ρ(y), isto é, a densidade depende da altitude. A maioria dos líquidos pode ser considerada como sendo incompressível, com ρ =constante. Notemos que a densidade é uma quantidade escalar. Pressão A pressão em um ponto no interior de um fluido é definida por, p = F A, (3) em que F é o módulo da força atuando sobre a área A. A figura ilustra a situação. Experimentalmente verifica-se que a pressão é a mesma para qualquer orientação do dispositivo, na mesma profundidade. Em seguida obteremos esse resultado. A pressão é uma grandeza escalar. A F

2 Fig.. A pressão é uma grandeza escalar. A deformação na mola é a mesma em qualquer direção, à mesma profundidade. As unidades de pressão são N/m, ou Pascal (Pa). A pressão atmosférica ao nível do mar é por definição atm, em que, atm =, Pa = 760mmHg, (4) em que mmhg (ou Torr) é outra unidade de pressão. Em seguida obteremos esse resultado. Consideremos um líquido em repouso, como na figura, com densidade ρ uniforme. Vamos descobrir como a pressão varia com a profundidade. Uma porção de líquido de massa m é mostrada à direita, com as forças que atuam sobre ela. As forças F e F são devido à pressão em y e y, respectivamente. As forças laterais se cancelam, pois o líquido está em repouso. Na direção vertical a segunda lei de Newton nos dá, F F P = 0. y y y=0 A A p p F P Fig.. Um líquido em repouso. À direita temos uma porção do líquido de massa m = ρv. Substituindo F = p A, F = p A, P = mg, m = ρv, V = A(y y ), vem, F + ou, F = F +P, p A = p A+ρVg, p A = p A+ρA(y y )g, p = p +ρg(y y ). (5) A expressão acima nos dá a pressão em um ponto no interior do líquido, em função da diferença de profundidade para um ponto arbitrário. Escolhendo o

3 ponto na superfície (y = 0), a pressão em uma profundidade h é então (fig. 3), p = p 0 +ρgh, (6) em que p 0 é a pressão na superfície, a pressão atmosférica. p h 0 y=0 p Fig. 3. A profundidade em uma profundidade h de um líquido com densidade ρ uniforme é p = p 0 +ρgh. Para um líquido com densidade variável a expressão (5) deve ser escrita como, p = ρg y, (7) ou, no limite de variações infinitesimais, dp dy = ρg. (8) O barômetro de mercúrio A figura 4 mostra um arranjo experimental conhecido como barômetro de mercúrio. Consiste de um tubo contendo mercúrio que foi virado sobre um recipiente. O líquido desce até que a coluna tenha uma altura h no equilíbrio. Experimentalmente o valor de h é de 76 cm no nível do mar. A pressão no nível do líquido do recipiente é p 0. No mesmo nível, na coluna dentro do tubo, a pressão é ρgh, desprezando a pressão devido ao vapor de mercúrio no alto da coluna. Essas duas pressões devem ser iguais, logo, p 0 = ρgh, que é uma forma de medir a pressão atmosférica. O valor correspondente é por definição atm. Substituindo ρ = 3,595 g/cm 3, g = 980 cm/s, h = 76 cm, obtemos, p 0 =, N/m. (9) 3

4 p=0 p h=76cm p 0 Fig. 4. O barômetro de mercúrio é uma forma de medir a pressão atmosférica. A medida de h em cm corresponde a uma unidade de pressão, o cmhg. Em milímetros temos mmhg ou Torr, atm =, N/m = 76cmHg = 760mmHg = 760torr. (0) Essa relação permite mudar as unidades de pressão conforme o caso. O princípio de Arquimedes O princípio de Arquimedes pode ser enunciado como, Um corpo, completa ou parcialmente imerso em um fluido, sofre uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado. Podemos entender isso analisando a figura. A porção de líquido mostrado está em repouso. Logo há uma força para cima igual ao seu peso, devido ao líquido ao seu redor. Essa força é o empuxo, E = F F. Substituindo essa porção de líquido por qualquer objeto com o mesmo volume essa força não muda, pois é determinada pelo líquido ao redor. Seu valor numérico continua sendo o peso do líquido deslocado, e continua dirigida para cima. Podemos sempre escrever então, E = m l g, () em que m l = ρv d denota a massa correspondente ao líquido deslocado, sendo V d o volume deslocado. Exemplo. Consideremos um iceberg, uma montanha de gelo flutuante(figura 5). A densidade da água é ρ a e do gelo ρ g. O volume imerso é V i e o volume 4

5 emerso é V e, de modo que V = V i +V e. A massa total é m. V e ρ a ρ g m,v Fig. 5. Um iceberg de massa total m e volume total V flutua no mar. No equilíbrio o peso do gelo é equilibrado pelo empuxo, logo podemos escrever, V i E P = 0, m l g mg = 0, ρ a V i g ρ g Vg = 0, em que m l ρ a V i é a massa de líquido deslocado, que ocuparia o volume V i. Portanto, ρ a V i ρ g V = 0, ou, V i V = ρ g ρ a. Essa é a fração de volume submerso. A fração de volume emerso é então, V e V = V V i V = V i V = ρ g ρ a = ρ a ρ g ρ a. Usando os valores aproximados ρ a =,04 g/cm 3, ρ g = 0,97 g/cm 3, temos V e /V = 0,045, logo aproximadamente 0% do iceberg é visível, acima da linha d agua. 5

6 Dinâmica dos fluidos Um conceito importante em um fluido em movimento é o de linha de corrente. É a trajetória de um elemento do fluido. A velocidade é tangente em qualquer ponto da trajetória. Um conjunto de linhas de corrente é um tubo de escoamento, ou um tubo de corrente (figura 6). A equação da continuidade Consideremos a figura 6, que mostra uma porção de um tubo de escoamento em um fluido em movimento. A massa de fluido que passa por em um intervalo de tempo t é a mesma que passa por no mesmo intervalo. Temos, m = ρ V = ρ A v t, em que A é a área transversal em, atravessada pelo fluido. O volume que atravessa A em t é V = A v t. Temos expressões análogas para a região. Assim, o fluxo de massa em é, m t = ρ A v, em que consideramos v constante ao longo do volume V. Também podemos tomar um valor médio. No limite t 0, dm dt = ρ A v. Devemos ter m = m, se não há fontes ou sorvedouros presentes, logo, ρ A v = ρ A v, ou, ρav = constante. () Esse resultado expressa a conservação da massa em dinâmica de fluidos. Para um fluido incompressível temos ρ = ρ, e, Av = constante, ρ uniforme. (3) 6

7 Fig. 6. Um tubo de corrente em um fluido em movimento. A quantidade de linhas de corrente que atravessa a área A é a mesma que passa por A. A equação de Bernoulli Consideremos um fluido incompressível, escoando em um tubo como na figura 7. A massa m passa dea região para a região. Pelo teorema do trabalhoenergia, o trabalho realizado pela força resultante é igual á variação da energia cinética do sistema. Assim, para a quantidade de fluido m mostrada na figura 7, temos, W = p A l p A l mg(y y ). p A m v l y m l y p A v Fig. 7. Uma massa m de fluido passa de uma região em que a pressão é p para uma região em que a pressão é p. Como A l = V = m/ρ = A l, W = (p p ) m ρ mg(y y ). A variação da energia cinética é, K = mv mv, 7

8 portanto, (p p ) m ρ mg(y y ) = mv mv, ou, p +ρgy + ρv = p +ρgy + ρv. (4) Essa é a equação de Bernoulli, que também pode ser escrita na forma, p+ρgy + ρv = constante. (5) 8