Leitura obrigatória Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr.

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1 PUC - Goiás Curso Arquitetura Disciplina Esforço nas Estruturas Corpo Docente Geisa Pires Turma Plano de Aula Data / / Leitura obrigatória Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. Editora Pearson CAPÍTULO 5 Forças Distribuídas Centróides P P... P P n (Força em z). Introdução Até aqui sempre supusemos que a atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido poderia ser representada por uma única força P. Essa força, chamada peso do corpo, é aplicada no centróide (ou centro de massa) do corpo. A Terra realmente exerce uma força sobre cada um dos pontos materiais que formam o corpo. A ação da Terra sobre um corpo rígido deve ser representada por um grande número de pequenas forças distribuídas por todo o corpo. Contudo, veremos neste capítulo que todas essas pequenas forças podem ser substituídas por uma única força equivalente P. Aqui aprenderemos também a determinar o centro de massa, ou seja, o ponto de aplicação da resultante P, para corpos de diferentes formas.. Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional Para obter as coordenadas x e y do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada, escrevemos que os momentos P em relação aos eixos y e x são iguais à soma dos momentos correspondentes dos pesos elementares Consideremos, inicialmente, uma placa horizontal (figura abaixo). Podemos dividir essa placa em n pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x e y, as do segundo elemento, x e y etc. As forças exercidas pela Terra sobre os elementos da placa são denominadas P, P,..., P n, respectivamente. Essas forças ou pesos estão orientados em direção ao centro da Terra. Porém, para todas as finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, por conseguinte, uma única força na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido obviamente pela adição dos módulos dos pesos elementares y M xp x P x P x n Pn x M yp y P y P y n Pn No caso de uma placa homogênea de espessura uniforme, o módulo. P t A peso específico (peso por unidade de volume) do material t espessura da placa A área do elemento

2 Analogamente, podemos exprimir o módulo P do peso da placa inteira na forma P ta Onde A é a área total da placa. Assim, substituindo P e P na equação de momentos e dividindo por t, escrevemos y M xa x A x A x n An x M ya y A y A y n An Em resumo, se temos uma placa na qual podemos identificar formas de áreas diferentes, podemos calcular o centróide da placa como um todo identificando o centróide de cada elemento de área. A tabela abaixo mostra centróides de formas comuns de superfícies. 3. Cargas Distribuídas Sobre Vigas O conceito de centróide de uma superfície pode ser utilizado para resolver outros problemas, além dos referentes ao peso de placas planas. As situações com vigas suportando uma carga distribuída são exemplos disso. Primeiramente, consideraremos que a carga total a que uma viga está submetida é exatamente igual à área abaixo da curva de distribuição de carga. Considere o exemplo abaixo Exemplo Determine a carga total, a posição da resultante e as reações no apoio da viga para a condição de carregamento dada. 4. Forças Sobre Superfícies Submersas Outro exemplo do uso de momentos estáticos e centróides de áreas é obtido pela consideração das forças exercidas sobre uma superfície retangular submersa em um líquido. Utilizando o fato de que uma parede submersa está submetida à pressão da água, esta dependendo da

3 altura como já visto em Fluidos, nos dá uma carga distribuída em N/ m. O procedimento dos cálculos das reações é similar ao caso de uma viga submetida a carga distribuída. Exemplo A figura mostra a seção transversal de um dique de concreto. Considerar a seção do dique com,00 m de espessura e determinar a) A resultante das forças reativas exercidas pelo solo sobre a base AB do dique. b) A resultante das forças de pressão exercidas pela água sobre a face BC do dique. Dados Peso específico do concreto 3 3 3,5 0 N / m C Peso específico da água A 3 3 9,8 0 N / m 3

4 Exercícios Determine a posição do centróide da superfície plana da figura 4 R X 7mm Y 7mm R X 8mm Y 70mm Determine as reações nos apoios das vigas para as condições abaixo 5 R A = 3,5 kn(para cima) e M A = 585 N.m (anti horário) R X 70mm Y 60mm 6 R A =,04 kn(para cima), B = 8,6 kn(para cima) 3 R X 6mm Y 3mm 7 R A = 6,86 kn(para cima), B =,76 kn(para cima) 4

5 8 A figura abaixo mostra a seção de uma represa de concreto. Considere uma seção de m de espessura e determine a) A resultante das forças de reação do solo sobre a base AB da represa b) A resultante das forças devidas à pressão da água na face BC da represa. R H=99,3 KN V = 34 KN R=05 KN (8,4 ) 9 - A figura abaixo mostra a seção de uma represa de concreto. Considere uma seção de m de espessura e determine a) A resultante das forças de reação do solo sobre a base AB da represa b) A resultante das forças devidas à pressão da água na face BC da represa. 5