MECÂNICA - MAC Prof a Michèle Farage. 14 de março de Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais

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1 MECÂNICA - MAC Prof a Michèle Farage 14 de março de 2011

2 Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais

3 Programa 1. Introdução: conceitos e definições básicos da Mecânica, sistemas de unidades, homogeneidade de unidades. 2. Forças e grandezas vetoriais: escalares e vetores, operações vetoriais, adição de forças vetoriais, adição de sistemas de forças coplanares, vetores cartesianos, adição e subtração de vetores cartesianos, vetores posição, vetor força orientado ao longo de uma reta, produto escalar, 3. Equiĺıbrio de um ponto material: condição de equiĺıbrio, diagrama de corpo livre, sistemas de forças coplanares, sistema de forças tridimensional;

4 Programa 4. Resultantes de sistemas de forças : momento (formulações escalar e vetorial), princípios dos momentos, momento de uma força em relação a um eixo, momento de um binário, sistemas equivalentes, resultantes de sistemas de forças e momentos, reduções de sistemas de forças e momentos, redução de sistemas de cargas distribuídas; 5. Equiĺıbrio de um corpo rígido : condições de equiĺıbrio, diagramas de corpo livre, equações de equiĺıbrio, equiĺıbrio em 3 dimensões, restrições para o corpo rígido.

5 Programa 6. Treliças : treliças planas, método dos nós, método das seções, treliças espaciais. 7. Esforços internos : definição de esforços internos, esforços cortante, normal, momento fletor e momento torsor, cálculo de esforços internos em seções de barras. 8. Centro de gravidade e centróide : centro de gravidade de um sistema de pontos materiais, centro de gravidade e centróide de um corpo, corpos compostos; 9. Momentos de inércia : definição de momento de inércia de áreas, raio de giração, cálculo por integração, teorema dos eixos paralelos, momentos de inércia de áreas compostas, produto de inércia, momentos de inércia em relação a eixos inclinados, momentos principais de inércia

6 Bibliografia Livro-texto: Estática: mecânica para engenharia, R. C. Hibbeler, Ed. Pearson, 10 a edição. Estática, A. P. Boresi e R.. Schimidt, Ed. Thomson. Mecânica vetorial para engenheiros - estática, F. Beer e E. R. Johnston, Ed. McGraw-Hill. Estática, J. L. Meriam e L. G. Kraige, Ed. LTC.

7 Avaliações As avaliações consistem em provas. Datas das provas: Prova 01 dia 14/04/2011 até o item 4 Prova 02 dia 24/05/2011 até o item 7 Prova 03 dia 30/06/2011 até o item 9 Nota final = média das 3 notas.

8 Atendimento extra-classe sala: Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional (MAC), Faculdade de Engenharia Telefone: Horários de atendimento: terça e quinta-feira, de 14h00 às 16h00 Local: MAC

9 Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais

10 Definição de Mecânica Mecânica é o ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças, sendo subdividida em: Mecânica dos corpos rígidos; Mecânica dos corpos deformáveis e Mecânica dos fluidos.

11 Definição de Mecânica Mecânica é o ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças, sendo subdividida em: Mecânica dos corpos rígidos Estática e Dinâmica Mecânica dos corpos deformáveis e Mecânica dos fluidos.

12 Definição de Estática A Estática trata do equiĺıbrio dos corpos.

13 Definição de Estática A Estática trata do equiĺıbrio dos corpos. Um corpo em equiĺıbrio encontra-se em repouso ou em movimento retiĺınio uniforme.

14 Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princípios da Estática começou há milhares de anos. Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.c, sendo atribuídos a Aristóteles;

15 Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princípios da Estática começou há milhares de anos. Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.c, sendo atribuídos a Aristóteles; Arquimedes ( a.c) postulou o Princípio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros;

16 Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princípios da Estática começou há milhares de anos. Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.c, sendo atribuídos a Aristóteles; Arquimedes ( a.c) postulou o Princípio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Galileu Galilei ( ) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados à dinâmica (pêndulos e objetos em queda livre);

17 Desenvolvimento histórico da Mecânica O desenvolvimento dos princípios da Estática começou há milhares de anos. Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.c, sendo atribuídos a Aristóteles; Arquimedes ( a.c) postulou o Princípio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Galileu Galilei ( ) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados à dinâmica (pêndulos e objetos em queda livre); Isaac Newton ( ) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitação Universal.

18 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente?

19 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente?

20 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento de ponte no Mississipi (2007): 9 mortos e mais de 30 feridos

21 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento de túnel em São Paulo (2007): 7 mortos, 212 desabrigados

22 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Desmoronamento da cobertura da Igreja Renascer em São Paulo (2009): 9 mortos e mais de 100 feridos

23 O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Acidente ambiental

24 Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais

25 Conceitos fundamentais Grandezas básicas Idealizações Leis de Newton

26 Grandezas básicas As quatro grandezas físicas fundamentais são: comprimento - descreve posição e dimensões de um corpo no espaço; massa - caracteriza um corpo e o compara com outro corpo; tempo - sucessão de eventos; força - ação de um corpo sobre outro.

27 Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes físicos.

28 Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes físicos. Idealizações comumente empregadas na Mecânica partícula ou ponto material; corpo rígido; força concentrada.

29 Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes físicos. Idealizações comumente empregadas na Mecânica partícula ou ponto material; corpo rígido; força concentrada. Exemplo: Para simular a trajetória de uma bola de tênis, que simplificações podem ser adotadas sem prejuízo da representação física?

30 Idealizações Idealizações são formas simplificadas de representar fenômenos e entes físicos. Exemplo: Como representar o processo de contaminação do solo provocada por um derramamento de óleo?

31 Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força.

32 Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ação de uma força F sofre uma aceleração a de mesma direção e sentido de F, que é descrita pela relação: F=ma

33 Leis do Movimento de Newton Primeira Lei: Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em linha reta e velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força. Segunda Lei: Um corpo de massa m sob a ação de uma força F sofre uma aceleração a de mesma direção e sentido de F, que é descrita pela relação: F=ma Terceira Lei: A toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e direção e de sentido contrário.

34 Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m 1 e m 2 : F=G m 1m 2 r 2

35 Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m 1 e m 2 : F=G m 1m 2 r 2 Peso: força de atração exercida pela Terra W=G mm r 2 W=mg

36 Leis de Newton Lei da Gravitação: governa a atração entre dois corpos de massa m 1 e m 2 : F=G m 1m 2 r 2 Peso: força de atração exercida pela Terra W=G mm r 2 W=mg Questão: A aceleração da gravidade é um valor constante?

37 Unidades de Medida As grandezas básicas da física são relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): comprimento -m tempo - s massa - kg força - N = kg.m s 2

38 Unidades de Medida As grandezas básicas da física são relacionadas pela Segunda Lei de Newton: F = ma Sistema Internacional de Unidades (SI): comprimento -m tempo - s massa - kg força - N = kg.m s 2 Nos EUA, o sistema inglês ainda é o mais empregado: comprimento -pé 1 pé = 0,3048m tempo - s força - lb 1 lb = 4,4482N massa - slug 1 slug = 14,5938kg

39 Operações numéricas Homogeneidade dimensional: As relações físicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representação das grandezas envolvidas. s = s o + v o t + at2 2 [L] = [L] + [LT 1 ][T ] + [LT 2 ][T 2 ]

40 Operações numéricas Homogeneidade dimensional: As relações físicas observadas na Natureza independem das unidades adotadas para representação das grandezas envolvidas. s = s o + v o t + at2 2 [L] = [L] + [LT 1 ][T ] + [LT 2 ][T 2 ] Representação numérica: quantidade de algarismos significativos Arredondamentos

41 Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partícula a sua velocidade v pela fórmula m = m o (1 v 2 /c 2 ) 1/2, onde c = m/s é a velocidade da luz e m o é a massa da partícula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partícula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) m/s, (ii) m/s, (i) m/s?

42 Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partícula a sua velocidade v pela fórmula m = m o (1 v 2 /c 2 ) 1/2, onde c = m/s é a velocidade da luz e m o é a massa da partícula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partícula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) m/s, (ii) m/s, (i) m/s? 2. O que você acha da validade de se usar a Mecânica Newtoniana para corpos de dimensões comuns que viajam a velocidades comuns?

43 Problemas 1. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade, relacionou a massa m de uma partícula a sua velocidade v pela fórmula m = m o (1 v 2 /c 2 ) 1/2, onde c = m/s é a velocidade da luz e m o é a massa da partícula em repouso. 1. Qual é a porcentagem de variação da massa de uma partícula em relação a sua massa em repouso se a velocidade for: (i) m/s, (ii) m/s, (i) m/s? 2. O que você acha da validade de se usar a Mecânica Newtoniana para corpos de dimensões comuns que viajam a velocidades comuns? 3. O que a teoria de Einstein diria da massa de uma partícula que pudesse viajar à velocidade da luz?

44 Problemas 2. Em um experimento para determinar a aceleração de uma partícula, um estudante registra as componentes (x, y, z) da força F que atua sobre a partícula e as componentes (x, y, z) da aceleração a. As medidas são: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s 2 ). a) Qual é a sua opinião sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta.

45 Problemas 2. Em um experimento para determinar a aceleração de uma partícula, um estudante registra as componentes (x, y, z) da força F que atua sobre a partícula e as componentes (x, y, z) da aceleração a. As medidas são: (8, 10, 30) para F (em N) e (2, 5, 3, 125, 10) para a (em m/s 2 ). a) Qual é a sua opinião sobre a qualidade destes dados? Justificar a resposta. b) O estudante verificou que o acelerômetro é preciso e que a componente z da força F está correta. Quais são os valores corretos das demais componentes de F?

46 Problemas 3. Uma viga engastada de comprimento L é submetida a uma força F na sua extremidade livre. A deflexão d do eixo da viga a uma distância x da extremidade livre é dada por: d = F 6EI (2L3 3L 2 x + x 3 ) Quais são as dimensões do produto EI se esta equação for dimensionalmente homogênea?

47 Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais

48 Como são representadas as grandezas físicas? Na Mecânica, as grandezas físicas são representadas como: ESCALARES VETORES

49 Como são representadas as grandezas físicas? Na Mecânica, as grandezas físicas são representadas como: ESCALARES VETORES Escalar: possui magnitude: massa, volume, comprimento... Regra da adição: aritmética simples Vetor: possui intensidade, direção e sentido: força, momento, posição Regra da adição: lei do paralelogramo.

50 Aplicação prática da soma de vetores Cálculo da força resultante no apoio onde concorrem 4 cabos:

51 Representação gráfica de vetores Graficamente, um vetor é representado por uma flecha: a intensidade é o comprimento da flecha; a direção é definida pelo ângulo entre o eixo de referência e a reta de ação da flecha; o sentido é representado pela ponta da flecha.

52 Operações vetoriais Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar O produto de um vetor A por um escalar a é um vetor de intensidade aa.

53 Adição vetorial A adição de dois vetores A e B é feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construção do Triângulo.

54 Adição vetorial A adição de dois vetores A e B é feita usando-se a Lei do Paralelogramo ou a Construção do Triângulo.

55 Operações vetoriais QUESTÕES Como se faz a subtração vetorial?

56 Operações vetoriais QUESTÕES Como se faz a subtração vetorial? Como se obtém as componentes de um vetor em duas direções determinadas?

57 Operações vetoriais QUESTÕES Como se faz a subtração vetorial? Como se obtém as componentes de um vetor em duas direções determinadas? Graficamente, como se faz a soma de mais de dois vetores concorrentes?

58 Notação vetorial cartesiana A decomposição de vetores equivale ao inverso da lei do paralelogramo: i e j são os vetores unitários nas direções x e y. F=Fxi+Fy j Dado um vetor F, pode-se calcular as suas componentes em quaisquer direções x e y.

59 Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y

60 Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direção;

61 Adição de vários vetores 1. Decomposição de cada vetor nas direções x e y 2. Soma de todas as componentes em cada direção; 3. Cálculo da magnitude e da direção do vetor resultante. F= Fx+ Fy

62 Exercícios 1. Calcular a magnitude e a direção da força resultante no apoio abaixo.

63 Exercício 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y;

64 Exercício 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y; 2. Somar as componentes em cada direção;

65 Exercício 1 Etapas da resolução: 1. Decompor as 3 forças nas direções x e y; 2. Somar as componentes em cada direção; 3. Calcular a magnitude e a direção da resultante.

66 Exercício 2 2. Calcular a intensidade e a direção da força resultante no apoio abaixo.

67 Exercício 3 3. Determinar a magnitude da força F=F 1 +F 2 sendo: F 1 ={10i+20j}N e F 2 ={20i+20j}N.

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