Apresentação da Disciplina MECÂNICA APLICADA. Prof. André Luis Christoforo.

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1 Objetivos da Estática: 01 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil - DECiv Apresentação da Disciplina MECÂNICA APICADA Prof. André uis Christoforo christoforoal@yahoo.com.br - Análise do equilíbrio estático de pontos materiais, corpos extensos, sistemas de corpos e estruturas em geral. F 0 Equilíbrio estático: = (Soma das Forças) v = 0 (velocidade nula) Ponto Material: - Todas as forças concorrem a um ponto. Espaço D Condição de Equilíbrio: F = 0 Corpo Extenso: - Quando existem dois ou mais pontos distintos de aplicação das forças. 0 1) Vetores de Força: Revisão Objetivo: Para um conjunto de forças aplicadas em um ponto (em ou 3 dimensões), determinar o vetor força resultante (F R ), ou seja, sua intensidade, direção e sentido. 03 Condições de Equilíbrio: Vínculos F = 0 e M = 0 (Soma dos Momentos) DC (momento de uma força) Reações nos Vínculos? F1 F R =? versor de F OU F = o o F = 600 cos(30 ) 400 sen(45 ) = 36,77N Rx o o [cos(30 )] +[cos(60 )] 1 OU o o F1 = 600 cos(30 ) i+600 cos(60 ) j o o F1 = 600 cos(30 ) i+cos(60 ) j = F1 uf 1 u = = x o o FRy = Fx = 600 sen(30 ) cos(45 ) = 58,84N F = F + F = 69,09N R Rx Ry o o F = 400 cos(45 ) i+400 cos(45 ) j FR = F1 + F F = 36,701 i + 58,84 j R 1

2 ) Equilíbrio de Partículas ( e 3 Dimensões): 04 3) Momento e Resultante de um Sistema de Forças ( e 3 Dimensões): - Representa um sistema no qual a força e o momento resultante produzam em um determinado ponto da estrutura o mesmo efeito que o carregamento original aplicado no ponto A: D FRx = 0 = FRy = 0 ( FRx ; FRy ) ( 0 ; 0) F = 0 ( ; ; ) ( ; ; ) 3D FRx = 0 FRx FRy FRz = FRy = 0 FRz = 0 - no ponto B: FR = = 30N M R = = 150N m FR = = 30N M R = = 10N m 4) Equilíbrio de Corpos Rígidos ( Dimensões): 06 5) Análise Estrutural: 07 (Vínculo Ideal) (Vínculo Ideal) Máquinas: (Força Reativa) (Forças Reativas) Reação nos Vínculos? Estruturas (compostas):

3 Cabos Flexíveis: 08 6) Atrito: 09 cabos cabos O projeto efetivo de um sistema de freios requer capacidade eficiente para que o mecanismo resista as forças de atrito. (Ampliação da Superfície Rugosa) Fe = µ sn Fc = µ cn P 180lb N F at F e = µ e N 10 7) Centro de Gravidade e Centróide: 11 Cunhas: Coordenada y do Centróide: ya y = = = 87, 5mm A

4 8) Momentos de Inércia: 1 O projeto estrutural de uma viga ou coluna requer o cálculo do momento de inércia para o respectivo dimensionamento. (Posição B) (Posição A) Posição A mais eficiente!!! Maior I x 4

5 01 Vetores de Força: Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Revisão: Vetores de Força (Cap. 1) Prof. André uis Christoforo Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 540p. - Rodrigues,. E. M. J. Notas de Aula. Representação de uma Grandeza Vetorial: ei dos Senos e dos Cossenos: - Módulo - Direção - Sentido 0 03 Soma Vetorial Regra do Paralelogramo: - O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a aplicação da regra do paralelogramo. Exercícios: 1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F 1 e F. Determine o módulo e a direção da força resultante F R. Força Resultante? 1

6 04 05 ) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante F R é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções CA e CB. - Determinação de F R : FR = 98,5N 300N 00N = = o sen(70 ) sen( α) sen( γ ) - Det. de α: - γ é dado por: 300N o sen( α ) = sen(70 ) = 0,945 α = arcsen(0,945) = 70,91 o 98,5N 00N o sen( γ ) = sen(70 ) = 0,630 γ = arcsen(0,630) = 39,09 o 98,5N Sistemas de Forças Coplanares Vetores cartesianos: - Obtenção das componentes de R em relação aos eixos de interesse: - Adição de forças vetoriais: - Decomposição de forças:

7 Redução a uma única força resultante: 08 Módulo e direção da força resultante: 09 (sistema de forças) (decomposição de cada força nas direções de x e y) (força resultante) - Módulo da força resultante: - Vetores Cartesianos: - Força resultante: - Direção da força resultante: (soma vetorial) Exercícios: 3) O elo da figura abaixo está submetido as forças F 1 e F. Determine a intensidade e a orientação da força resultante F R (Resolução) (Módulo de F R ) (Direção de F R ) 3

8 4) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante F R (Resolução) Adição e subtração de vetores cartesianos: Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z. - Vetor Unitário ( ): (Módulo de u = 1) - A quantidade de componentes depende de como o vetor está orientado em relação a esses eixos. - Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão direita. - Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários ( i ; j; k ) é usado para designar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente. Versor de A Para um Vetor A ( u A ) : F Para um Vetor F ( u ) : Vetor de A A = A u A A Módulo de F = F uf (Notação muito útil) 4

9 Obtenção dos ângulos diretores coordenados: - Representação de um vetor cartesiano: - Ângulos diretores coordenados: - Sistema de forças concorrentes: 18 Exercícios: 5) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura 19 5

10 0 6) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F, de modo que a força resultante F R atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. 1 (versor da resultante ) - Determinação de F : (Módulo de F ) - Ângulos diretores de F : Vetores posição, vetor força orientado ao longo de uma reta e aplicação do produto escalar : - Vetor posição: - O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro. 3 - O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana. 6

11 - Vetor posição entre dois pontos A e B e fora da origem: 4 - Aplicação do vetor posição: 5 - O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em análise. - O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois pontos no espaço. - Vetor força orientado ao longo de uma reta: (Notação muito útil) Exercícios: 7) A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B. Determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B

12 8) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a força no cabo em A é igual a 500N. Expresse essa força como um vetor cartesiano. 8 - Produto Escalar: Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular de uma força em relação a um eixo. (resultados) 9 (ângulo) - Componentes Paralela e Perpendicular de um vetor: Exercício: 9) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular ao elemento AB.? (origem)? 8

13 01 Equilíbrio de ponto material em dimensões: Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil (Estrutura) Cap. EQUIÍBRIO DE PARTÍCUAS Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 540p. - Rodrigues,. E. M. J. Notas de Aula. Prof. André uis Christoforo christoforoal@yahoo.com.br (diagrama de corpo livre) (condição de equilíbrio) - Exemplo de diagrama de corpo livre: y 0 - Cabos e molas: 03 x y x (ei de Hooke) S - deformação da mola k - coeficiente de rigidez da mola - Cabos trabalham apenas na tração (T)! 1

14 Exercícios: 1) Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 50kg mostrado na figura. 04 ) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminária de 8kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da mola é l AB = 0,4m e a mola tem rigidez k AB = 300N/m Equilíbrio de ponto material em 3 dimensões:

15 Exercícios: 3) Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários para o equilíbrio do ponto ? 10 4) A caixa de 100kg mostrada na figura é suportada por três cordas, 11 uma delas é acoplada na mola mostrada. Determine a força nas cordas AC e AD e a deformação da mola. 3

16 1 13 5) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine as forças de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F. - Deformação da mola

17 ) Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 1000 N, determine a maior massa que o cilindro pode ter na condição de equilíbrio. A = (0 ;0 ;0) B = ( 1 ; 1,5 ;3) C = ( 1 ; - ;) D = (3 ; -4 ;0) rab = B A = ( 1 ; -1,5 ;3) r AB = rab = ( 1) + (-1,5) + ( 3) = 3,50 m r u AB AB = = ( 0,86 ; 0,49 ; 0,857) rab TAB = TAB uab = ( 0,86 TAB ; 0,49 TAB ; 0,857 TAB) T AB TAB = TAB uab = ( 0,86 TAB ; 0,49 TAB ; 0,857 TAB) T AB TAC = TAC uac = ( 0,333 TAC ; 0,667 TAC ; 0,667 TAC ) T AC TAD = TAD uad = ( 0,600 TAD ; 0,800 TAD ; 0 TAD ) T AD P = (0 ; 0 ; 9,807 m) F = 0 ; Fx ; Fy ; Fz = 0 ; 0 ; 0 ( ) ( ) 0, 86 TAB 0,333 TAC + 0,600 TAD + 0 = 0 0, 49 TAB 0,667 TAC 0,800 TAD + 0 = 0 0,857 TAB 0,667 TAC + 0 9,807 m = 0 0,86 0,333 0,600 TAB 0 0, 49 0,667 0,800 TAC = 0 0,857 0,667 0 T AD 9,807 m [A] {T} {C} 18 0,86 0,333 0,600 TAB 0 0, 49 0,667 0,800 TAC = 0 0,857 0,667 0 T AD 9,807 m [A] {T} {C} TAB 11,074 m 1 {T} = [A] {C} TAC = 0,475 m T AD 5,54 m 11,074 m = 1000 m = 90,30 kg 19 5

18 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 3 MOMENTOS E RESUTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS Material didático adaptado/modificado das obras de: - Rodrigues,. E. M. J. Notas de Aula. Prof. André uis Christoforo christoforoal@yahoo.com.br - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 540p. Momento de uma força: - O momento de uma força fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação no corpo em torno do eixo em análise. (Momento em torno do eixo Z) (Momento em torno do eixo X) (Não gera momento - concorre ao polo) - Para problemas em duas dimensões é mais conveniente utilizar uma abordagem escalar e para problemas em três dimensões a abordagem vetorial é mais conveniente Formulação escalar para o momento: - Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido. - Convenção de sinais: segue a regra da mão direita, horário é positivo e anti-horário é negativo. Momento resultante de um sistema de forças coplanares: (sentido do giro) 1

19 Exercícios: ) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras mostradas. ) Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D. 3) Determine os momentos das forças em relação ao ponto O. (a) 06 (d) 07 (b) (c) (e) Mro = Mo = 353,553 5, ,553,11 = = 1060,659 N m = 1060,659N m

20 (f) Sol. 1: Momento de uma força análise vetorial: - O momento de uma força em relação a um ponto pode ser determinado através da aplicação das regras de produto vetorial. Sol. : Sol. 3: - A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é aplicada para sistemas em três dimensões Princípio dos momentos: Regras do Produto Vetorial: - Teorema de Varignon: Estabelece que o momento de uma força em relação a um ponto é igual a soma dos momentos das componentes das forças em relação ao mesmo ponto. - O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C e matematicamente a operação é escrita do seguinte modo: 3

21 Formulação vetorial cartesiana: 1 Exercícios: 13 4) Para a cantoneira da figura a seguir, determine o momento da força F em relação ao ponto O segundo a análise escalar e a análise vetorial. - Análise Escalar: - Análise Vetorial: 5) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 14 6) O poste abaixo está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado por essa força em relação ao suporte no ponto A. 15 4

22 16 Momento em relação a um eixo: formulação vetorial: 17 Aplicação do produto misto: Projeção de um vetor momento sobre um eixo de interesse. M 0 (calcular determinante) C C Exercício: 18 Momento de um binário: 19 7) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine a intensidade do momento dessa força em relação ao eixo x. C - Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d. O cálculo do momento de um binário independe do ponto (polo) de referência. - Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. 5

23 Exercícios: 8) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor cartesiano. A = (0 ;0 ;0,30) m B = (0,40 ; 0 ;0,30) m roa = A O = (0 ; 0 ; 0,30) m rob = B O = (0,40 ; 0 ; 0,30) m r AB = r OB r OA = (0,40 ; 0 ; 0) m 4 3 FA = F ; ; A ua = = ( 0 ; -360 ; 70 ) N 5 5 F A i j k M = rab FA = 0, = { 144 k 108 j} N m M = ( 108) + ( 144) = 180N m 0 9) Determine a distância d entre A e B tal que o momento de binário resultante tenha uma intensidade de 0N m. roa = A O = (350 ; 0 ; 0) m A = (350 ;0 ;0) m o o B = 350 ; -d cos(30 ) ;d sen(30 ) m 0,866 0,50 1 rob = B O = ( 350 ; -0,866 d ; 0,50 d) ) m r AB = r OB r OA = (0 ; -0,866 d ; 0,50 d) m F1 = F 1 u1 = 50 ( 1 ; 0 ; 0) = ( 50 ; 0 ; 0 ) N F1 F = F u = 35 ( 0 ; 0 ; 1) = ( 0 ; 0 ; 35 ) N F i j k M1 = rab F1 = 0 0,866 d 0,50 d i j k M = rab F = 0 0,866 d 0,50 d Sistemas equivalentes de cargas concentradas: - Representa um sistema no qual a força e o momento resultante produzam em um determinado ponto da estrutura o mesmo efeito que o carregamento original aplicado. 3 M R = M1 + M = ( 30,31 d ; 5 d ; 43,30 d) N m M R = 0 N m ( ) ( ) ( ) 30,31 d + 5 d + 43,30 d = 0 d = 0,34m = 34mm - no ponto A: - no ponto B: FR = = 30N M R = = 150N m FR = = 30N M R = = 10N m 6

24 4 5 Exercícios: 10) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e um momento atuante no ponto A. F Ry F Rx θ FR 6 Sistemas equivalentes de cargas distribuídas: 7 (sistema equivalente) - A intensidade da força resultante de um carregamento distribuído é equivalente a soma de todas as forças atuantes na superfície de contato, devendo ser localizada nas coordenadas do centro geométrico da sua área de atuação. força [ F] p( x) = (dimensão) [ ] comprimento Fy Feq = p( x)d x 0 (F eq é igual a área sob a função de carregamento distribuído) 7

25 = Feq p( x)d x 0 8 Exercícios: 1) Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura. 8 MO Feq x = p( x) xd x 0 (Momento da força equivalente) (Momento da força distribuída - real) p( x) xd x p( x) xd x x = 0 x = 0 Feq p( x)d x 0 (centro geométrico) ) Um carregamento distribuído com p(x) = 800.x (Pa) atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente. 8

26 ) A placa da figura abaixo está sujeita a quatro forças paralelas. Determine a intensidade e a direção de uma força resultante equivalente ao sistema de forças dado e situe seu ponto de aplicação na placa. Uma força resultante F R = 1400N situada no ponto P(3,0 m;,50m) é equivalente ao sistema de forças paralelas que é aplicado na placa. 9

27 01 Equilíbrio de um corpo extenso em dimensões Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 4 EQUIÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS Material didático adaptado/modificado das obras de: - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, p. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 005, 540p. - Rodrigues,. E. M. J. Notas de Aula. Prof. André uis Christoforo christoforoal@yahoo.com.br Graus de liberdade: - Um corpo extenso no plano possui três possibilidades de movimento, sendo duas translações e uma rotação, assim como ilustra a figura: Vínculos em estruturas planas: Vínculos são elementos estruturais que têm por finalidade conectar a estrutura a um referencial indeslocável ou também, de interligar os elementos estruturais que a compõe. - Apoio Móvel: Retira um grau de liberdade do corpo extenso no plano, sendo este uma translação. - Apoio Fixo: Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas translações. - Engastamento Fixo: Retira três graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas translações e uma rotação. 1

28 - Engastamento Móvel: 04 - Viga: Estrutura constituída por elemento de barra e sujeita a um conjunto de forças não-colineares ao seu eixo, gerando esforços de flexão e(ou) cisalhamento. 05 Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes uma translação e uma rotação. Classificação das vigas: - Quanto a vinculação, as vigas são classificadas como: - Vigas isostáticas: - Isostáticas - Ipostáticas - Hiperestáticas - Possuem a quantidade necessária e suficiente de vínculos para manter a estrutura em equilíbrio. - Do ponto de vista algébrico: -3 Equações de -equilíbrio: F = 0 X F = 0 y M A = 0-3 Incógnitas: 06 - Vigas ipostáticas: - Possuem quantidade de vínculos inferior à quantidade necessária para manter a estrutura em equilíbrio. - Do ponto de vista algébrico: -3 Equações de -equilíbrio: - Vigas Hiperestáticas: F = 0 X F = 0 y M A = 0 - Incógnitas: - Possuem quantidade de vínculos superior à quantidade necessária para manter a estrutura em equilíbrio. - Do ponto de vista algébrico: -3 Equações de -equilíbrio: F = 0 X F = 0 y M A = 0-4 Incógnitas: 07

29 08 09 A viga da figura abaixo é dita uma vez hiperestática, apresentando um vínculo a mais além da quantidade necessária ao equilíbrio. Este vínculo em excesso é denominado de redundante ao equilíbrio. Diagrama de Corpo ivre Analogia Prática/Teórica As vigas hiperestáticas são foco de estudo da Resistência dos Materiais, e a quarta equação surge da consideração de deformabilidade do material, o que não se considera no presente curso Outros tipos de vínculos 3

30 1 13 Exercícios: 1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e C. 14 ) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e B. 15 4

31 ) Para a viga da figura abaixo determine as reações nos apoios A e B. - Substituindo (III) em (II), tem-se que: R + 10 = 0 R = 10kN VA VA ( ) ( ) F = 0 R + 10 = 0 R = 10kN Ι X HA HA F = 0 R + R = 0 ΙΙ Y VA VB ( ) M = 0 R + 0 = 0 R = 10kN ΙΙΙ A VB VB Portanto, a solução é: ( ) RHA = 10kN RVA = 10kN RVB = 10kN ( ) ( ) 4) Para a viga da figura abaixo determine as reações no engaste fixo. 18 5) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios. 19 F = 0 R 5 = 0 R = 5kN X HA HA F = 0 R 10 = 0 R = 10kN Y VA VA M = 0 M = 0 M = 0 kn. m A A A Portanto, a solução é: R R M HA VA A ( ) = 5kN ( ) = 10kN = 0 kn. m Feq x = p x dx p( x ) = 5 (kn/m) ( ) eq 0 0 Sx = x ( ) F eq F = 5dx F = 10kN 5 S = p x xdx = 5 xdx = 5 xdx = [ x ] 0 = 10 F = 0 R = 0 x F = 0 R + R = 10 M = R = 0 R = 5kN R = 5kN VA H A y VA VB A VB VB eq 10 x = = 1m 10 5

32 6) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios. ( ) ( ) ( ) ( ) x = 0 p x = 0 = 0 Ι p( x) = ax + b x = p x = = q ΙΙ De (I) se tem: b = 0 Da equação (II) tem-se: a 0 q a q + = = p( x) 0 q = x 1 Feq = 0 ( ) p x dx ( ) q q Feq = xdx = xdx 0 0 p x xdx 0 Sx x = = Feq p( x) dx 0 q 3 x = = x = q 3 3 q q Sx = x xdx = x dx 0 0 q q q Feq = x F 0 eq = = 3 3 q x q q Sx = 3 = = q Fx = 0 RHA = 0( Ι) Fy = 0 RVA + RVB = ( ΙΙ) q M A = 0 RVB = 0 3 q q 3 3 RVB = 0 RVB = ( ΙΙΙ) R VA q q + = 3 R VA q q q = R VA = 3 6 7) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios. ( ) ( ) F1 = 1 k N / M 3, 0 M = 3, 0 k N 3, 0 (parte 1 da carga) x 1 = = 1, 5 m 1 F = ( 4 k N / M ) ( 3, 0 M ) = 6, 0 k N x = ( 3, 0 ) =, 0 m (parte da carga) 3 R R R HA VA VB = 0kN = 3,5 kn ( ) = 5,5 kn( ) 6