Alexandre Diehl Departamento de Física UFPel

Transcrição

1 Cinemática - 2 Alexandre Diehl Departamento de Física UFPel

2 Notas históricas A palavra vetor é uma extensão natural do seu uso original, agora obsoleto, em astronomia: uma linha imaginária ligando o planeta, que se move em torno de um centro ou fico de uma elipse, ao centro ou foco. A análise vetorial usada atualmente é, em grande parte, resultado do trabalho feito no final do século XIX por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside. FGA 2

3 Notas históricas A palavra vetor é uma extensão natural do seu uso original, agora obsoleto, em astronomia: uma linha imaginária ligando o planeta, que se move em torno de um centro ou fico de uma elipse, ao centro ou foco. A análise vetorial usada atualmente é, em grande parte, resultado do trabalho feito no final do século XIX por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside. FGA 3

4 Definição simples Vetor é um segmento de reta orientado, com uma magnitude, direção e sentido. Magnitude (módulo): comprimento do segmento de reta, em unidades preestabelecidas, que define o caráter escalar da grandeza associada ao vetor. Direção e sentido: associados às características direcionais da grandeza associada ao vetor. FGA 4

5 Definição simples Vetor é um segmento de reta orientado, com uma magnitude, direção e sentido. Propriedades da notação vetorial A formulação de uma lei da Física em termos de vetores é independente da escolha dos eixos coordenados. A notação vetorial é concisa (resumida, precisa). FGA 5

6 Utilizando a notação vetorial Símbolos usados para representar um vetor Magnitude (módulo) do vetor FGA 6

7 Utilizando a notação vetorial Os únicos elementos representativos do vetor são seu módulo, sua direção e o seu sentido. Todos os segmentos de reta têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido: os quatro segmentos representam o mesmo vetor FGA 7

8 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Multiplicação de um vetor por um escalar (número) real Produzimos um novo vetor, com a mesma direção do vetor original. O sentido do novo vetor é o mesmo do vetor original. O sentido do novo vetor é o oposto do vetor original (deslocado de 180 o ) FGA 8

9 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Multiplicação de um vetor por um escalar (número) real Produzimos um novo vetor, com a mesma direção do vetor original, com o módulo do vetor pelo módulo do escalar. antiparalelos (mesma direção e sentidos contrários) FGA 9

10 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Multiplicação de um vetor por um escalar (número) real Produzimos um novo vetor, com a mesma direção do vetor original, com o módulo do vetor pelo módulo do escalar. Os módulos dos vetores podem ser diferentes. paralelos (mesma direção e mesmo sentido) FGA 10

11 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Como separar as propriedades direcionais (direção e sentido) do módulo de um vetor? Usando vetores unitários O vetor é dito unitário porque tem módulo igual à um. FGA 11

12 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Adição de vetores (método geométrico) FGA 12

13 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Adição de vetores (método geométrico) A soma de vetores é comutativa FGA 13

14 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Adição de vetores (método geométrico) A soma de vetores é associativa FGA 14

15 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Adição de vetores (método geométrico) A soma de vetores é associativa FGA 15

16 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Adição de vetores (método geométrico) A soma de vetores é associativa FGA 16

17 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores A multiplicação de um vetor por um escalar é distributiva Escalar A direção do vetor resultante (soma dos três vetores) não muda.. O sentido pode mudar, se o escalar for negativo. O módulo pode mudar, se o escalar for diferente de um. FGA 17

18 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Subtração de vetores FGA 18

19 Utilizando a notação vetorial: operações com vetores Subtração de vetores Os dois vetores têm a mesma origem. O vetor subtração tem origem no vetor a direita do sinal da operação. As propriedades da subtração são as mesmas da soma. FGA 19

20 Representação analítica de vetores Usada como alternativa à representação gráfica de vetores (não muito prática, especialmente em três dimensões). Os vetores são expressos numa forma analítica, com suas componentes representadas em termos de vetores-base unitários. vetores-base unitários da representação Componentes (escalares) do vetor nas direções definidas pelos vetores-base unitários. FGA 20

21 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). Base cartesiana ortonormal Vetor na direção x Vetor na direção z Vetor na direção y FGA 21

22 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). FGA 22

23 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). FGA 23

24 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). FGA 24

25 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). FGA 25

26 Representação analítica cartesiana de vetores Os vetores-base unitários são ortogonais entre si (base ortonormal). FGA 26

27 Representação analítica cartesiana de vetores FGA 27

28 Representação analítica cartesiana de vetores FGA 28

29 Representação analítica cartesiana de vetores Multiplicação por um escalar FGA 29

30 Representação analítica cartesiana de vetores FGA 30

31 Representação analítica cartesiana de vetores? FGA 31

32 Representação analítica cartesiana de vetores FGA 32

33 Quando uma grandeza Física é um vetor Quando possui um módulo, uma direção e um sentido. Quando satisfaz as propriedades de soma (comutação e associação) e de multiplicação por um escalar. Exemplos de vetores deslocamento velocidade aceleração força Exemplos de escalares tempo massa distância percorrida FGA 33