Computação Gráfica. Engenharia de Computação. CEFET/RJ campus Petrópolis. Prof. Luis Retondaro. Aula 3. Transformações Geométricas

Transcrição

1 Computação Gráfica Engenharia de Computação CEFET/RJ campus Petrópolis Prof. Luis Retondaro Aula 3 Transformações Geométricas no plano e no espaço

2 Introdução (Geometria) 2

3 Pontos, Vetores e Matrizes Dado um sistema de coordenadas, é possível definir pontos e objetos neste sistema pelas suas coordenadas. Nos espaços bidimensionais ou nos objetos planos, duas coordenadas caracterizam um ponto. Para objetos tridimensionais ou pontos no espaço, três coordenadas são necessárias para definir seu posicionamento. Assim, dado um sistema de coordenadas, cada ponto pode ser associado às suas coordenadas no sistema. 3

4 Pontos, Vetores e Matrizes Por exemplo: A convenção usada é que ao definir um ponto, usase a sua distância em relação a cada um dos eixos do sistema de coordenadas. Essas representações também podem ser chamadas de vetores linhas, ou vetores colunas, respectivamente. São ainda chamadas de arranjos (arrays) ou matrizes. 4

5 Geometria Afim Composta dos elementos básicos escalares pontos - denotam posição vetores - denotam deslocamento (direção e magnitude) Operações escalar vetor = vetor vetor + vetor ou vetor vetor = vetor ponto ponto = vetor ponto + vetor ou ponto vetor = ponto 5

6 Combinações Afim Maneira especial de combinar pontos Para 2 pontos P e Q poderíamos ter uma combinação afim 6

7 Combinações Convexas * Combinações afim onde se garante que todos os coeficientes são positivos (ou zero) * Usa-se esse nome porque qualquer ponto que é uma combinação convexa de n outros pontos pertence à envoltória convexa desses pontos 7

8 Pontos, Vetores e Matrizes Diferença entre ponto e vetor 8

9 Operações com vetores (2D) 9

10 Operações com matrizes Soma e subtração Multiplicação por escalar Inversa Transposta Multiplicação de matrizes Uma propriedade interessante é que (A B) T = B T A T Lembre-se de usá-la sempre que comparar resultados de diferentes fontes da literatura, principalmente vetores linhas ou vetores colunas nas multiplicações. 10

11 Operações com matrizes (A B) T =B T A T O uso da transposta torna sempre possível a multiplicação de dois vetores. Se for feita a multiplicação de forma que o resultado seja um número, ela é denominada de produto interno ou produto escalar de dois vetores tem muitas aplicações importantes e é simbolizada por um. Assim podemos dizer que o produto interno entre dois vetores (V1 V2) é um número (ou escalar) 11

12 Geometria Euclideana * Extensão da geometria afim pela adição do operador produto interno * Produto interno mapeia um par de vetores em um escalar. Tem as seguintes propriedades: 12

13 Geometria Euclideana Operador de produto interno O comprimento de um vetor é definido como: Vetor unitário (normalizado) 13

14 Geometria Euclideana Distância entre dois pontos P e Q P Q O ângulo entre dois vetores pode ser determinado por: 14

15 Geometria Euclideana Projeção ortogonal: dados dois vetores u e v, deseja-se decompor u na soma de dois vetores u1 e u2 tais que u1 é paralelo a v e u2 é perpendicular a v 15

16 Produto Vetorial (3D) * Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados * Útil na construção de sistemas de coordenadas * Propriedades (assume-se u, v linearmente independentes): 16

17 Transformações 17

18 Transformações Geométricas Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas para alterar algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado. Para executar uma transformação podemos usar operações algébricas (caras computacionalmente). O uso de matrizes é mais interessante para esse objetivo As matrizes podem fazer as transformações e combiná-las de forma mais eficiente. Elas também são mais eficientes na armazenagem das figuras presentes no seu cenário 18

19 Transformações Geométricas Transformação é uma função que mapeia pontos de um espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente os mesmos) pontos do mesmo espaço. Se uma transformação é linear, então Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, depois de transformados eles também estarão contidos sobre uma reta. Se um ponto P guarda uma relação de distância com dois outros pontos Q e R, então essa relação de distância é mantida pela transformação. Transformação mapeia origem na origem? Sim: Transformação Linear Não: Transformação Linear Afim: Translações são permitidas 19

20 Transformações Geométricas Uma transformação linear Uma transformação linear afim 20

21 Forma Matricial Mais conveniente para uso em computador Sejam: Então uma transformação linear afim pode ser escrita T (P) = P, onde P = A x P + D 21

22 Transformando Vetores * Um vetor não está atrelado a um ponto no espaço * Uma transformação linear afim aplicada a um vetor não inclui translação Prova: Seja V um vetor e V sua imagem sob a transformação linear afim, então: 22

23 Coordenadas Homogêneas A transformação de vetores é operacionalmente diferente da de pontos Coordenadas homogêneas permitem unificar o tratamento Problema é levado para uma dimensão superior: Coordenada extra w= 0 para vetores e =1 p/ pontos Termos independentes formam uma coluna extra na matriz de transformação 23

24 Modelando Transformações Uma t.l.a. em 2D pode ser definida se dispusermos da imagem de 3 pontos do domínio 24

25 Sistemas de Coordenadas Um sistema de coordenadas para Rn é definido por um ponto (origem) e n vetores Ex. Seja um sistema de coordenadas para R2 definido pelo ponto O e os vetores X e Y. Então, Um ponto P é dado por coordenadas xp e yp tais que Um vetor V é dado por coordenadas xv e yv tais que 25

26 Mudança de Sistemas de Coordenadas Se estabelecemos um outro sistema (ex.: Q/T/U), como computar as novas coordenadas dadas as antigas? 26

27 Mudança de Sistemas de Coordenadas 27

28 Mudança de Sistemas de Coordenadas 28

29 Orientação 29

30 Orientação Regra da mão direita: Dedo polegar posicionado no sentido do eixo x Dedo indicador apontando para o eixo y Dedo médio apondando para o terceiro eixo z, Se isto acontecer, significa que as três direções formam um sistema de eixos positivos 30

31 Orientação 31

32 Computando Orientação 32

33 Transformações em 3D 33

34 Transformações Rígidas 34

35 Translação 35

36 Rotação em torno do eixo Z 36

37 Rotação em torno do eixo Z 37

38 Rotação em torno dos eixos coordenados 38

39 Rotações em geral 39

40 Inclinação ( shear ) 40

41 Escala 41

42 Composição de transformações em 3D 42