Transformações de Pontos. Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles

Transcrição

1 Transformações de Pontos Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles

2 Sumário Motivação Definição Translação Escala Rotação Reflexão Shearing Referências

3 Motivação Transformações Geométricas (TG) são a base de inúmeras aplicações gráficas, podendo estar desde em simples programa para representar layouts de circuitos eletrônicos; em programas de planejamento de cidades; ou mesmo em sistemas de software sofisticados que permitem a construção de cenas realistas.

4 Definição Uma transformação de coordenadas da forma: v = A.v + b, é denominada uma transformação afim. Neste caso, as coordenadas (x, y ) do vetor v, que definem um ponto no espaço, são uma função linear de (x, y) do vetor v. A e b são constantes determinadas pelo tipo de transformação. As transformações afins têm a função de modificar a posição dos pontos no espaço, ou dos objetos no espaço.

5 Translação (1) É a alteração da posição de um ponto através da soma de constantes de deslocamento as suas coordenadas.

6 Translação (2) Cada ponto P(x, y) pode ser movido por dx unidades em relação ao eixo x, e por dy unidades em relação ao eixo y. Logo, o ponto P (x, y ), pode ser escrito como: x = x + dx y = y + dy

7 Translação (3) E se definimos os vetores colunas: então as expressões podem ser expressas como: P' = P + T

8 Translação (4) Podemos transladar um objeto, fazendo-o a todos os seus pontos (o que não é muito eficiente). Para transladar uma linha podemos fazê-lo apenas para seus pontos limites e sobre estes pontos redesenhar a linha.

9 Translação (Exemplo)

10 Escala (1) A Mudança de Escala corresponde à multiplicação das coordenadas de um ponto por valores iguais ou diferentes. x = sx.x y = sy.y

11 Escala (2) Ou em forma matricial: Onde sx e sy são respectivamente os fatores de escala em relação aos eixos X e Y.

12 Escala (3) É normalmente aplicada sobre todos os pontos de uma figura com o objetivo de ampliar ou reduzir a sua dimensão ou então distorcer a sua forma geométrica. Fatores de escala: > 1: aumentam o tamanho do modelo; entre 0 e 1: diminuem o tamanho; < 0: "invertem" o modelo em relação aos eixos coordenados.

13 Escala (4) A escala ocorre sempre em torno da origem. Isto quer dizer que todo o ponto que estiver sobre a origem permanece nesta posição após a escala. Por outro lado, os pontos que não estão sobre a origem sofrem um deslocamento em relação a esta após a operação de escala.

14 Escala (Exemplo) Exemplo com valores ½ para Sx, e ¼ para Sy

15 Rotação (1) A rotação é o giro de um determinado ângulo de um ponto em torno de um ponto de referência (ponto de origem), sem alteração da distância entre eles. A rotação, como a translação, é caracterizada por reposicionar os objetos, sem deformá-los. Deste modo, cada ponto do objeto é rotacionado de um mesmo ângulo sobre um mesmo eixo.

16 Rotação (2) A rotação é definida matematicamente por: x = x. cos(α) y. sin(α) y = x. sin(α) + y. cos(α)

17 Rotação (3) Ou em forma matricial:

18 Rotação (4) Ângulos positivos a rotação é feita no sentido anti-horário; e ângulos negativos a rotação é feita no sentido horário. Observação: sin( α) = sin(α) cos( α) = cos(α).

19 Rotação (5) A rotação por α transforma P(x, y) em P (x, y ). Como a rotação é em relação a origem, as distâncias de P e P a origem são iguais.

20 Rotação (Exemplo)

21 Reflexão (1) A transformação de reflexão, ou espelhamento, aplicada a um objeto, produz um objeto que é o espelho do original. No caso de uma reflexão 2D, o espelho é gerado relativamente a um eixo de reflexão rotacionando o objeto de 180 em torno do eixo de reflexão.

22 Reflexão (2) Pode-se aplicar uma reflexão em torno da linha y = 0 (o eixo x) usando a seguinte matriz de transformação:

23 Reflexão (3) Esta transformação mantém as coordenadas x do objeto inalteradas, mas "inverte" os valores das coordenadas y, alterando a orientação espacial do objeto.

24 Reflexão (4) Analogamente, poderíamos definir uma reflexão em torno do eixo y, que "inverteria" as coordenadas x do objeto.

25 Reflexão (5) Podemos também definir uma reflexão em torno de um eixo perpendicular ao plano xy e passando (por exemplo) pela origem do sistema de coordenadas, "invertendo" nesse caso ambas as coordenadas x e y.

26 Reflexão (6) A matriz de transformação é dada por:

27 Shearing (cisalhamento) É uma transformação que distorce o formato de um objeto - em geral, é aplicado um deslocamento aos valores das coordenadas x ou das coordenadas y do objeto.

28 Shearing (2) Uma distorção na direção x é produzida com a seguinte matriz de transformação:

29 Shearing (3) As coordenadas do objeto são transformadas da seguinte maneira: x' = x + shx. y y' = y Qualquer número real pode ser usado como parâmetro. O resultado é que a coordenada (x,y) é deslocada horizontalmente segundo um valor proporcional à sua distância ao eixo x. Por exemplo, se shx é 2, um quadrado será transformado em um paralelogramo. Valores negativos deslocam as coordenadas para a esquerda.

30 Shearing (4) Analogamente, pode-se aplicar uma distorção na direção y, relativa ao eixo x, usando: que gera as seguintes transformações nas posições das coordenadas: x' = x y' = y + shy. x

31 Shearing (5) Esta transformação desloca as coordenadas de uma posição verticalmente segundo um fator proporcional à sua distância do eixo x,. Qualquer operação de distorção pode ser descrita como uma composição de transformações envolvendo uma seqüência de matrizes de rotação e escala.

32 Referências Prof. Dr. André Luiz Battaiola, Apostila do Curso de Computação Gráfica, Departamento de Computação, Universidade Federal de São Carlos UFSCar;