que transforma A em F. T (A) = F significa que a imagem do ponto A pela translação associada ao vetor é o ponto F. Assim o vetor =.

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1 Escola Básica de Santa Marinha Matemática 2010/ º Ano Síntese de conteúdos Isometrias 1. Translação 1.1 Translação associada a um vector A translação é uma deslocação em linha reta que corresponde à ideia de deslizamento; Na translação de uma figura ou de um objeto, todos os pontos têm exatamente o mesmo movimento. Para descrever uma translação, basta referir a direção, o sentido e o comprimento do deslocamento e associa-se habitualmente um vetor. Neste caso diz-se que a figura P2 é a imagem (ou transformado) da figura P1 pela translação: associada ao vetor (vetor ); T (T ); que transforma A em F. T (A) = F significa que a imagem do ponto A pela translação associada ao vetor é o ponto F. Assim o vetor = Vetores Um vetor caracteriza-se por uma direção, um sentido e um comprimento. Por exemplo, o vetor ao abaixo direção horizontal, o sentido é da direita para a esquerda e tem de comprimento 3 u. Um vetor pode ser representado por uma letra minúscula (,, ) ou por dois pontos ( ). Quando se escreve, sabe-se que o sentido é de A (origem) para B (extremidade). Dois vetores são iguais quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Dois vetores são simétricos quando têm a mesma direção e o mesmo comprimeto, mas têm direções opostas. O vetor nulo é o vetor com comprimento nulo (0 ).

2 1.3 Propriedades das Translações A imagem de um segmento de reta é um segmento de reta paralelo e com o mesmo comprimento; A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual (com a mesma amplitude); A imagem de uma figura é uma figura congruente. 1.4 Composição de translações. Adição de vetores Se uma figura se desloca por uma translação associada a um vetor e, a seguir por outro tranlação associada a um vetor, então, as duas transformações podem ser substituídas por uma única translação composta associada ao vetor soma + ( = ). Representa-se habitualmente por T o T a translação composta das translações T e T. : 1. Considera a figura 1 e os dois vetores e 2. A figura 2 é a imagem da figura 1 pela translação associada ao vetor

3 3. A figura 3 é a imagem da figura 2 pela translação associada ao vetor 4. Assim transformou-se a figura 1 na figura 3, aplicando-se sucessivamente as translações T e T. Mas podia ter-se obtido a figura 3 directamente da figura 1através de uma translação única. O vetor ( = + ) é o vetor associado a essa translação Para adicionar dois vetores, e, procede-se do seguinte modo: 1.º Desenhar o vetor de modo que a sua origem coincida com a extremidade de. 2.º Une-se a origem de à extremidade de, onde se coloca a seta. Situações particulares: Vetores com a mesma direção e o mesmo sentido. Vetores com a mesma direção e sentidos contrários. Vetores simétricos: + = 0.

4 2 Rotação Dado o ponto O, centro da rotação, e uma amplitude, ângulo de rotação, chama-se rotação de centro o e amplitude à transformação geométrica que a um ponto P faz corresponder um ponto P, tal que a distância de O a P é igual à distância de O a P. A amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P é igual a. 3 Reflexão 3.1 Reflexão Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à transformação geométrica que transforma os pontos de r em si próprios e que a cada ponto P não pertencente r, faz 3.2 Reflexão deslizante Reflexão deslizante é uma transformação geométrica resultante da composição de uma reflexão de eixo r com uma translação cujo vetor é paralelo a r.

5 4 Simetria Qualquer isometria que transforma uma dada figura nela própria diz-se uma simetria dessa figura. Existem quatro tipos de simetria: Simetria de reflexão ou simetria axial; Simetria de rotação ou simetria rotacional; Simetria de translação; Simetria de reflexão deslizante. 5 Rosácea Apresenta 4 simetrias de rotação e 4 simetrias de rotação Rosácea é uma figura plana cujo conjunto de simetrias possui as seguintes características: O conjunto das suas simetrias é finito; Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o conjunto das simetrias da figura; As rosáceas têm simetrias de rotação, podendo também ter simetrias de reflexão; O centro das simetrias de rotação é sempre o mesmo, a amplitude é um divisor de 360º.

6 Nesta rosácea só existem simetrias de rotação: Rotação de 60º, de 120º, de 180º, de 240º, de 300º, de 360º. Assinala o centro da rotação Nesta rosácea existem simetrias de reflexão e simetria rotacional: Simetria de reflexão 2 eixos de simetria Simetria rotacional rotação de 180º e de 360º 6 Friso Friso é uma figura plana cujo conjunto de simetrias possui as seguintes características: O conjunto das suas simetrias é infinito; Em qualquer friso existe sempre uma infinidade de simetrias de translação; Para além das simetrias de translação podem existir outras simetrias; Existe sempre uma reta do plano que é fixa para todas as simetrias da figura. Neste friso existe simetria de translação, associada a dois vectores e simetria de reflexão horizontal.

7 7 Padrão Padrão é uma figura plana cujo conjunto de simetrias possui as seguintes características: O conjunto das suas simetrias é infinito; Em qualquer padrão existe sempre uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direção; Para além das simetrias de translação podem existir outras simetrias; Num padrão não há nenhum ponto nem nenhuma recta que sejam fixos por todas as suas simetrias. 8 Propriedades das isometrias As isometrias são transformações geométricas que conservam a distância entre pontos. Existem quatro tipos de isometrias no plano: a translação, a rotação, a reflexão e a reflexão deslizante. 1. Translação associada ao vetor 2. Translação associada ao vetor 3. Rotação de + 90º 4. Rotação de + 180º 5. Rotação de + 270º ou 90º

8 6. Reflexão de eixo horizontal, r. 7. Reflexão de eixo vertical, s. 8. Reflexão de eixo horizontal, t. 9. Reflexão de eixo vertical, y. 10. Reflexão deslizante de eixo r e de vetor. 11. Reflexão deslizante de eixo t e de vetor. Propriedades A imagem de: - um segmento de reta é um segmento de reta com o mesmo comprimento; - um ângulo é um ângulo com a mesma amplitude; - uma figura é uma figura congruente; A translação é a única isometria que conserva sempre as direções; As translações e as rotações são as únicas isometrias que mantêm o sentido dos ângulos; As simetrias de uma figura são as isometrias que transformam a figura nela própria. Maria José Carvalho Abril 2011