Física I 2009/2010. Aula02 Movimento Unidimensional

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1 Física I 2009/2010 Aula02 Movimento Unidimensional

2 Sumário 2-1 Movimento 2-2 Posição e Deslocamento. 2-3 Velocidade Média 2-4 Velocidade Instantânea 2-5 Aceleração 2-6 Caso especial: aceleração constante 2-7 Movimento de Queda Livre Física I º S - Aula02 2

3 Cinemática Na cinemática estudamos a descrição dos movimentos, sem nos preocuparmos com o que provocou os movimentos O estudo do movimento envolve três grandezas Deslocamento Velocidade Aceleração Física I º S - Aula02 3

4 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Quando consideramos o movimento como de translação Em muitos casos podemos estudar o movimento pura, sem considerarmos rotações e vibrações de um corpo extenso, como se ele fosse um Quando o espaço envolvido é muito grande comparado ponto sem dimensões: com as dimensões do corpo Física I º S - Aula02 4

5 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Para descrevermos o movimento temos de utilizar um sistema de coordenadas espaciais e uma coordenada temporal Física I º S - Aula02 5

6 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m 10 m 11 m x 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s 6 Física I º S - Aula02

7 A posição é definida em termos do sistema de referência que adoptamos A posição e o deslocamento No caso unidimensional, utilizamos em geral o os eixos dos x ou dos y É definido um ponto de partida para o movimento a origem do eixo O deslocamento é a variação da posição, Δx = x f x i O subscrito f refere-se à posição final e i à inicial A unidade SI é o metro (m) Física I º S - Aula02 7

8 Movimento Unidimensional O Deslocamento pode ser positivo ou negativo Sistema de Referência Sentido positivo Sentido negativo tempo t (s) Origem O Intervalo de tempo é sempre positivo Física I º S - Aula02 8

9 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Δx O deslocamento, no caso geral é um vector. No movimento unidimensional, a linha de acção está fixa. Basta o sinal para definir o sentido Δx < 0 Como definimos o sentido positivo para a direita, neste último movimento, o sentido do deslocamento é negativo Física I º S - Aula02 9

10 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Este processo torna-se confuso, quando existe movimento nos dois sentidos, ao longo da mesma linha. É então preferível utilizar um gráfico da posição em função do instante de tempo. Física I º S - Aula02 10

11 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Δx 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s x 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s 11 t Física I º S - Aula02

12 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 10 s 9 s 8 s 7 s 6 s 5 s x 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s 12 t Física I º S - Aula02

13 Deslocamento e distância percorrida O deslocamento de um objecto não é a distância percorrida pelo objecto Exemplo: Se lançarmos uma bola na vertical para cima e a apanharmos no ponto em que a lançámos. - A distância percorrida é igual ao dobro da altura a que subiu - O deslocamento é nulo Física I º S - Aula02 13

14 Grandezas Escalares e Vectoriais As grandezas vectoriais caracterizam-se por módulo, direcção e sentido Representam-se, em geral por caracteres a grosso ou com uma seta sobre a letra No movimento unidimensional basta o sinal + ou para indicar o sentido, porque todos os vectores têm a mesma direcção As grandezas escalares caracterizam-se pelo seu valor apenas Física I º S - Aula02 14

15 Velocidade É necessário tempo para um objecto efectuar um deslocamento A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo em que ocorre v media Δx xf x = = Δt t t Como é geral o que interessa é o intervalo de tempo, podemos fazer t i = 0 f i i Física I º S - Aula02 15

16 Velocidade Δx Δt 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s v media Δx xf x = = Δt t t f i i Neste caso, a velocidade média do corpo é constante durante todo o movimento Física I º S - Aula02 16

17 Velocidade No movimento unidimensional, a direcção e sentido da velocidade é a mesma do deslocamento (o intervalo de tempo é sempre positivo) É suficiente o sinal + ou para indicar o sentido A unidade SI da velocidade é m/s Física I º S - Aula02 17

18 Interpretação Gráfica da Velocidade (caso unidimensional) A velocidade pode também ser determinada a partir de um gráfico da posição em função do tempo A velocidade média é o declive da recta que une a posições inicial e a posição final Para um objecto que se move com velocidade constante, o gráfico é uma linha recta O declive da recta fornece o valor da velocidade média Física I º S - Aula02 18

19 Movimento unidimensional com velocidade variável 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s x (m) 50 Δx = x f - x i 40 A velocidade média num determinado 30 θ Δx = x f x i intervalo de tempo Δt = t f t i é dada por v media Δx = Δ t 20 Δt = t f - t i Esta quantidade é a tangente do ângulo θ que a recta que une, no gráfico, os pontos (t i,x i ) e (t f,x f ), faz com a horizontal 10 Neste movimento, a velocidade média varia com o tempo t (s) Física I º S - Aula02 19

20 Velocidade média variável (caso unidimensional) Se a velocidade do movimento varia com o tempo H A velocidade média num intervalo de tempo é dada pelo declive da recta verde que une dois pontos Física I º S - Aula02 20

21 Velocidade Instantânea (caso unidimensional) A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo se torna infinitesimal ou seja, quando o intervalo de tempo tende para zero v lim Δt 0 Δx Δt Como o deslocamento também de torna infinitesimal, a razão permanece finita A velocidade instantânea indica o que acontece em cada instante Velocidade uniforme significa velocidade constante Os valores da velocidade instantânea são os mesmos em qualquer instante de tempo E são sempre iguais aos da velocidade média Física I º S - Aula02 21

22 Movimento unidimensional com velocidade variável Física I º S - Aula02 22

23 Movimento unidimensional com velocidade variável caso geral x/m x m Identifique intervalos de tempo em que a velocidade é: - Positiva -Nula -Negativa Física I º S - Aula02 23 (s)

24 Aceleração (caso unidimensional) Velocidade variável (não uniforme) significa que existe aceleração diferente de zero A aceleração média é variação da velocidade num intervalo de tempo a dividir por esse intervalo de tempo a med Δv vf v = = Δt t t A unidade da aceleração SI é m/s² f i i Física I º S - Aula02 24

25 Aceleração Média (caso unidimensional) A aceleração é uma quantidade vectorial, mas no caso unidimensional basta o sinal + ou (como para o deslocamento e a velocidade) Quando os sinais da velocidade e da aceleração são iguais (positivos ou negativos), o módulo da velocidade instantânea está a aumentar Quando os sinais da velocidade e da aceleração são opostos, o módulo da velocidade instantânea está a diminuir Física I º S - Aula02 25

26 Aceleração Instantânea (caso unidimensional) É o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero a a Δv dv = lim = Δ t 0 Δt dt 2 dv d dx d x = = = 2 dt dt dt dt Física I º S - Aula02 26

27 Aceleração Média e Instantânea (caso unidimensional) A aceleração média é o declive da recta que une os pontos correspondentes aos valores da velocidade inicial e final num gráfico da velocidade em função do tempo A aceleração instantânea é, em cada instante, o declive da tangente à curva que representa a velocidade em função do tempo Declive = a = inst dv dt Declive = a med Δv = Δ t Física I º S - Aula02 27

28 Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) Velocidade uniforme (representada por setas vermelhas com o mesmo comprimento) A aceleração é nula Física I º S - Aula02 28

29 Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) A velocidade e aceleração têm o mesmo sentido A aceleração é uniforme (as setas azuis têm comprimento constante) O módulo da velocidade está a aumentar (O comprimento das setas vermelhas está a aumentar) Velocidade positiva e aceleração positiva Física I º S - Aula02 29

30 Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) A velocidade e aceleração têm sentidos opostos A aceleração é uniforme (as setas azuis têm comprimento constante) O módulo da velocidade está a diminuir (O comprimento das setas vermelhas está a diminuir) Velocidade positiva e aceleração negativa Física I º S - Aula02 30

31 Equações da Cinemática (aceleração constante -caso unidimensional) São utilizadas quando a aceleração é constante (uniforme) v 0 é o valor de v para t = 0 v v0 a = amedia = t 0 v = v + at Verificação 0 v = v para t = 0 0 dv a dt = 31 Física I º S - Aula02 31

32 Equações da Cinemática (aceleração constante - caso unidimensional) Utilizando a expressão da velocidade média x 0 é o valor de x para t = 0 x x0 vmedia = t 0 x = x + v t 0 media Física I º S - Aula02 32

33 Podemos agora utilizar para obter Equações da Cinemática (aceleração constante - caso unidimensional) 1 v media = v 0 + v 2 1 v media = v 0 + at 2 ( ) 1 x = x0 + v 0t + at 2 2 Verificação x = x para t = 0 0 dx v v0 at dt = = + Física I º S - Aula02 33

34 Equações da Cinemática (aceleração constante - caso unidimensional) São utilizadas quando a aceleração é constante (movimento uniformemente acelerado) Posição Declive variável v x x v 2 = = = v = v x 0 med 0 v t at v = 0 t a ( v + v) at 2 ( x x ) 0 t Velocidade Aceleração Física I º S - Aula02 34 Declive = a Declive = 0

35 Interpretação Gráfica da Equação (caso unidimensional) v = v 0 + at Declive Física I º S - Aula02 35

36 Sugestões para a resolução de problemas unidimensionais 1. Ler atentamente o problema 2. Desenhar um diagrama Escolher um sistema de coordenadas assinalar os pontos inicial e final, escolher o sentido positivo para a velocidade e a aceleração 3. Identificar todas a grandezas, assegurando-se que as unidades estão no mesmo sistema 4. Escolher a equação cinemática apropriada 5. Resolver o problema para obter as incógnitas 6. Verificar os resultados Fazer estimativas e comparar com o resultado Verificar as unidades Física I º S - Aula02 36

37 Aplicação - Queda livre Quando um corpo está a mover-se apenas sujeito à gravidade, diz-se que está em queda livre A queda livre não depende do movimento original do corpo Todos os corpos que caem perto da superfície da Terra possuem a mesma aceleração A essa aceleração, denominada aceleração da gravidade, ou devido à gravidade, atribui-se o símbolo g Física I º S - Aula02 37

38 Aceleração da gravidade É indicada pelo símbolo g g = 9.80 m/s² Em muitos casos pode utilizar-se g 10 m/s 2 A aceleração da gravidade é uma grandeza vectorial que, junto à superfície da Terra aponta sempre para baixo, na direcção e sentido do centro da Terra Desprezando a resistência do ar e supondo que g não varia com a altitude para pequenos deslocamentos verticais, a queda livre é um movimento unidimensional com aceleração constante Física I º S - Aula02 38

39 Queda livre um objecto abandonado em repouso A velocidade inicial é nula Escolhemos (arbitrariamente) como positivo o sentido para cima y Utilizamos as equações da cinemática Em geral, utiliza-se y em vez de x porque o movimento é na vertical Como escolhemos como positivo a sentido para cima, o valor da aceleração é g = m/s 2 v 0 = 0 a = g Física I º S - Aula02 39

40 Queda livre um objecto lançado para baixo a = g = m/s 2 y Agora a velocidade inicial 0 Se o sentido para cima é positivo, a velocidade inicial é negativa v 0 0 a = g Física I º S - Aula02 40

41 Queda livre um objecto lançado para cima A velocidade inicial é para cima, portanto é positiva A velocidade instantânea quando o corpo atinge a altura máxima é nula y v = 0 a = g = m/s 2 durante todo o movimento Física I º S - Aula02 41

42 Queda livre um objecto lançado para cima Se movimento é simétrico (posição de partida coincide com a de chegada) Então t para cima = t para baixo e v f = -v o Se o movimento não for simétrico, temos de dividir o estudo do movimento em duas partes Em geral, o movimento ascendente e o movimento descendente Física I º S - Aula02 42

43 Queda livre um objecto lançado para cima Física I º S - Aula02 43