CIR CIR CIR m CIR 12 CIR 1. Problema

Transcrição

1 roblema C B 4 A 3 4 m Calcule todas as reacções externas. As forças aplicadas actuam no meio das barras. Resolução (verificação da estatia: Estática) H A : libertação e a introdução da reacção incógnita C B H A A. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas 2 H A ara clarificar melhor, as rectas que apenas indicam uma posição do CR algures nessa recta, serão designadas com o respectivo CR entre parenteses. 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs CR CR 2 H A

2 3. Escolha do movimento. No caso das estruturas reticuladas torna-se mais vantajoso arbitrar um ângulo de rotação de um dos corpos, por exemplo, e graficamente representar a relação que define os outros ângulos de rotação. Apenas depois relacionar os vários ângulos de rotação. Mais correcto seria usar para realçar que é virtual, ou até d para sublinhar que a rotação é virtual infinitesimal, mas desde que estar claro da resolução que os ângulos introduzidos são virtuais infinitesimais, pode se simplificar para. Não é muito vantajoso simplificar para infinitesimal, porque não será fácil deduzir directamente os valores dos outros ângulos. Recorda-se que o campo do deslocamento virtual apenas tem que verificar as condições impostas pelos apoios e que não está provocado pelas forças aplicadas. 2 2 H A ara obter a posição deformada dos corpos rectos, basta encontrar a nova posição das extremidades e liga-las com uma recta. A posição das extremidades encontra-se usando as regras de marcação dos deslocamentos virtuais. Sublinha-se que cada corpo pode ter apenas um ângulo de rotação e este tem que se manter na representação de todos os pontos que pertencem a este corpo. Se for preciso representar outros pontos além das extremidades, aplica-se novamente a regra de marcação dos deslocamentos virtuais, como mostra a figura abaixo, no entanto sabe-se que a parte do corpo que era recta vai se manter recta na posição deformada. 2 2 H A 4. Relação entre os ângulos de rotação O mecanismo tem GDL e por isso tem que existir apenas um parâmetro que define o movimento, por isso os ângulos introduzidos são dependentes: como se verifica usando o deslocamento do ponto comum dos 2 corpos (do ponto que separa os movimentos, CR 2 ).

3 5. Trabalho virtual Aplicando as regras de expressão do trabalho virtual, verifica-se que a posição deformada serviu apenas para a determinação das relações entre os ângulos de rotação, mas para o cálculo do trabalho virtual era completamente desnecessária. CR 2 H A É suficiente saber a posição dos CRs absolutos, os sentidos das rotações e a ligação dentre os ângulos. O trabalho exprime-se na estrutura não deformada.,5 4H 2 0 A 2 Na relação acima somam-se os trabalhos de cada força na forma dos trabalhos dos momentos. Os momentos das forças calculam se relativamente ao CR do corpo onde a força actua. O sinal do trabalho define-se comparando os sentidos de rotação dos momentos e dos ângulos de rotação dos corpos: sentidos iguais indicam sinal positivo, sentidos opostos indicam o sinal negativo. Realça-se mais uma vez, que este trabalho dos momentos nos ângulos de rotação equivale ao trabalho das forças nos deslocamentos. Na figura da deformada verifica-se que o deslocamento no local da reacção equivale a 4 (sentido da reacção), o deslocamento no local da força do corpo equivale a 2 2 (sentido oposto à força), e para a força do corpo basta imaginar a força na sua linha de acção em cima, e o deslocamento virá,5 (sentido oposto à força). Recorda-se mais uma vez que esta passagem das força na linha de acção é permitida e que desta maneira evitam-se as projecções devido a aplicação do produto interno que define o trabalho. H A Substituindo a ligação entre os ângulos 3 3,5 4H A 2 0 H A 4 4 V A : libertação e a introdução da reacção incógnita C B A V A

4 . Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas 2 V A 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs 2 CR, V A 3. Escolha do movimento. u 2 2 V A Neste caso é mais fácil começar pela rotação do corpo. Corpo faz apenas translação porque o seu CR está no infinito. A direcção da translação é perpendicular à direcção da recta que indica a posição do CR no infinito. 4. Relação entre os ângulos de rotação Neste caso basta apenas relacionar o deslocamento do corpo com a rotação do corpo : u Trabalho virtual u 2 V A

5 u V u 2 0 A 2 Substituindo 3 u VAu 2u 0 VA 4 2 H B : libertação e a introdução da reacção incógnita C B H B A. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas 2 H B 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs 2 H B

6 3. Escolha do movimento H B 4. Relação entre os ângulos de rotação Como já explicado anteriormente, seria mais vantajoso determinar esta relação numa das projecções. Os dados necessários existem para a projecção na horizontal: H B 2 ara a projecção na vertical é preciso determinar o dado em falta usando a semelhas dos triângulos 4 x, depois , que naturalmente representa a mesma relação como a anterior 3

7 5. Trabalho virtual H B 6,5 H B Substituindo H B H B V B : libertação e a introdução da reacção incógnita C B A V B. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas 2 V B 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs CR CR 2 2 V B

8 3. Escolha do movimento. Deduziu-se no ponto anterior que o corpo tem 2 pontos que correspondem aos CRs absolutos, o que impede qualquer movimento, e por isso o corpo está fixo. 2 fixo V B 4. Relação entre os ângulos de rotação Neste caso há apenas parâmetro 5. Trabalho virtual (não é necessário introduzir a carga aos corpos sem movimento) 2 fixo V B 4V B VB 2 ara terminar o problema é possível verificar o equilibro global tal como na Estática roblema ara a viga em baixo calcule a reacção do momento na ligação externa e interna 2kNm 5kN/m A C B 3 m

9 Recorda-se que uma viga semelhante foi resolvida na parte das vigas de Gerber. A diferença era na inclinação do encastramento deslizante. Ver-se-á em seguida que esta viga não tem os CRs no seu eixo e por isso está inserida na parte de estruturas reticuladas. Resolução M A : libertação e a introdução da reacção incógnita M A. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas M A CR, 2 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs M A CR, 2 Na determinação acima usou-se o primeiro teorema. Realça-se que para unir um ponto (neste caso CR ) com outro que está posicionado no infinito numa certa direcção, é necessário traçar uma recta paralela com a recta que define esta direcção pelo este ponto (neste caso CR ). 3. Escolha do movimento. M A CR, 2

10 4. Relação entre os ângulos de rotação Visto o CR relativo encontrar-se no infinito, as partes deformadas tem que se manter paralelas e por isso os dois ângulos de rotação são iguais incluindo o sentido. Nota-se que a componente vertical do deslocamento do corpo no lugar do encastramento é 3 e por isso os corpos continuam paralelos. M A 3 CR, 2 5. Trabalho virtual M A 0kN 2kNm 5kN M 2 0 5,5 0 M 0,5kNm A A M C : libertação e a introdução da reacção incógnita M C M C. Separação em corpos e posições dos CRs M C M C, fixo

11 2. Escolha do movimento. M C M C 3. Trabalho virtual (não é necessário introduzir a carga aos corpos sem movimento) M C 5kN M 5,5 0 M 22,5kNm C C roblema Determine as relações entre as rotações de corpos dos mecanismos apresentados e esboce um dos campos de deslocamentos virtuais. A 2 B 3 C D 2 2 E A 2 B 3 C D 2 2 E 4 F m 4 F m Resolução Caso. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas CR, 2 CR 3 3

12 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs CR 3 CR, 2 CR 3 3 Os dois restantes CRs foram determinados usando o primeiro teorema. O CR 3 tem lugar geométrico no corpo mas num ponto que está sobreposto com o corpo, ou seja não fixa o corpo. 3. Escolha do movimento. CR CR 3 3 CR 2 3 CR 2 CR, 2 3 Começa se por rodar o corpo, o corpo tem que se manter paralelo, ou seja 2. A nova posição do CR 3 define o deslocamento de um dos pontos do corpo. Assim pode determinar-se o 3 da relação Caso 2. Separação em corpos e posições dos CRs conhecidas CR 3 3 CR, 2 2. Teoremas e determinação dos restantes CRs

13 CR 3 CR 3 3 CR, 2 Os dois restantes CRs foram determinados usando o primeiro teorema. 3. Escolha do movimento. CR CR, Começa se por rodar o corpo, o corpo tem que se manter paralelo, ou seja 2. A nova posição do CR 3 define o deslocamento de um dos pontos do corpo. Assim pode determinar-se o 3 da relação Nota-se que as relações são iguais como no caso anterior, no entanto a posição dos CRs não é. Dois corpos ligados pelas barras paralelas roblema Determine a posição dos CRs e um campo de deslocamentos virtuais Resolução. Separação em corpos V

14 2. CRs Corpo tem apoio fixo que define o CR absoluto neste lugar Corpo tem apoio móvel que define o CR algures na recta perpendicular ao movimento As rótulas internas correspondem aos CRs relativos V 4 O segundo teorema indica que o 2 está no infinito na direcção das barras rotuladas V 4 2 CR CR, 2 2 O pode determinar-se do primeiro teorema V 4 2 CR CR, 2 2 Os corpos e vão ficar na posição deformada paralelos, ambos vão rodar pelo mesmo ângulo no mesmo sentido. Não é necessário, mas há possibilidade de encontrar os CRs das barras paralelas, usando o primeiro teorema. CR CR CR 4 4 V 4

15 ara determinar um dos campos de deslocamentos virtuais, começa-se por rodar o corpo (setas azuis). A rotação do corpo é igual (setas vermelhas). sso define a posição das rótulas e conseguintemente a posição dos corpos (violeto) e V (verde). A relação entre os ângulos poderá ser determinada usando os CRs absolutos dos corpos e V. 3 CR CR 4 4 Na projecção confirma-se que as barras não são paralelas na posição deformada, porque são de comprimentos diferentes. O esboço serviria para determinar a relação entre os ângulos, excepto dos corpos e que se sabe que efectuam mesmos ângulos. Dois corpos ligados pelas barras não-paralelas roblema Determine a posição dos CRs e um campo de deslocamentos virtuais Resolução. Separação em corpos V 2. CRs Corpo tem apoio fixo que define o CR absoluto neste lugar

16 Corpo tem apoio móvel que define o CR algures na recta perpendicular ao movimento As rótulas internas correspondem aos CRs relativos V 4 O segundo teorema permite determinar o O pode determinar-se do primeiro teorema Neste caso, por coincidência, o CR do corpo coincide com o apoio. Não é necessário, mas há possibilidade de encontrar os CRs das barras paralelas, usando o primeiro teorema. 3 CR 3 CR

17 A relação entre os ângulos será determinada apenas na projecção. 3 CR 3 CR Os casos anteriores são importantes para perceber a resolução dos esforços internos das treliças. Ver-se-á em seguida que neste caso a treliça separar-se-á em geral em dois corpos grandes de formas irregulares e a ligações entre eles será efectuada via rótula interna ou barras rotuladas, dependendo da estrutura e do esforço axial solicitado. Treliças Uma treliça é composta pelas barras rotuladas sem carga, assim cada barra apenas desenvolve o esforço axial na direcção da barra. ara calcular este esforço numa das barras, pode proceder-se como no cálculo das reacções internas, ou seja, considera-se que existem dois corpos ligados por esta barra. ara calcular o esforço actuante nela, tem que se completamente remover e substituir pelo este esforço incógnito. roblema Determine o esforço normal das barras CD e DJ. q kn p kn b a a a a a a Resolução Esforço CD. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular q kn p kn b a a NCD a NCD a a a

18 2. dentificação dos corpos e a determinação dos CRs Sabe-se que as 3 barras rotuladas formam uma parte que é internamente determinada, ou seja pode-se apenas mover como corpo rígido e não há possibilidade de rotações relativas entre as barras. or esta razão todas as partes de treliça que são formadas pelos triângulos adjacentes formam um único corpo. 2 N CD N CD O CR2 pode se determinar usando o primeiro teorema 2 N CD N CD 3. A relação entre os ângulos de rotação Esta relação é mais fácil determinar em projecção 2 b N CD N CD Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas opostos. Da semelhança de triângulo determina-se a posição do, tal como indica a figura acima. 4. Trabalho virtual Usando as regras de determinação, basta exprimir os momentos das forças em torno dos respectivos CRs. qa pb qa pb NCD 2b 0 NCD 2b

19 Esforço DJ. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular q kn N DJ p kn b N DJ a a a a a a 2. dentificação dos corpos e a determinação dos CRs 2 V CR CR 3 34 CR24 O CR2 pode se determinar usando o primeiro teorema 2 CR CR 3 34 CR24 Mas isso não é suficiente para identificar o movimento do mecanismo Aplicando o segundo teorema V 2 3 V Encontra-se o 3 na intersecção da recta que une 2 e 3 e da recta que une CR 34 e 4. Verifica-se que o 3 coincide com 3. Analogamente 4 coincide com o 4. CR CR 3 34 CR CR CR V CR CR CR34

20 Agora é fácil aplicar o primeiro teorema CR 3 CR 3 CR CR 2 V CR CR CR34 e confirmar que também o CR 3 está no mesmo sítio. Analogamente o CR 4 coincide com 4. sso fixa os corpos e e o único movimento verifica-se nos corpos e V. 2, fixo V, fixo CR 3 CR34 3. A relação entre os ângulos de rotação Esta relação é mais fácil determinar em projecção CR 4 2, fixo V, fixo CR 3 CR34 CR 4 Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas opostos. No entanto as forças de carga actuam somente nos corpos e que não sofrem movimento e por isso não realizam trabalho. or isso o esforço na barra é nulo. Na Estática esta dedução fez se imediatamente do equilíbrio no nó D. 4. Trabalho virtual N a 0 N 0 DJ DJ Corpos que envolvem partes que se comportam como placas rígidas roblema a) Confirme que a estrutura em baixo representa um mecanismo com grau de liberdade b) Determine os CRs e uma possível posição deformada (um campo de deslocamentos virtuais)

21 B C D F E A Resolução a) Estática b). Separação em corpos; as 3 barras rotuladas podem considerar-se como um único corpo 2. CRs Os 3 corpos são ligados pelas rótulas internas que formam os CRs relativos Corpo tem apoio fixo que define o CR absoluto neste lugar Corpo tem encastramento deslizante que define o CR no infinito na recta perpendicular ao movimento CR2 CR23 Usando o primeiro teorema pode encontrar-se o CR do corpo CR, V B CR, 3

22 3. Determinação do deslocamento virtual; começa-se por arbitrar uma das rotações, por exemplo do corpo, depois as restantes rotações são dependentes da arbitrada. 2 B B 2 C C 2 D 2 D 3 F F E E CR, 3