TEORIA DAS ESTRUTURAS I PROF.: VICTOR MACHADO

Transcrição

1 TEORIA DAS ESTRUTURAS I PROF.: VICTOR MACHADO

2 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

3 TRELIÇAS Seja uma estrutura como a apresentada abaixo, com cargas aplicadas apenas nos nós Como as extremidades são rotuladas, é possível afirmar que não existem esforços cisalhantes ou momentos, apenas esforços normais A determinação dos esforços é realizada através da análise sucessiva dos nós C, B e A Cada nó apresenta duas equações de equilíbrio (somatório de forças em x e em y iguais a zero) Sendo três reações de apoio (V A, H A e V B ) e três esforços normais (nas barras AB, BC e AC), temos um sistema isostático (seis variáveis e seis equações de equilíbrio)

4 TRELIÇAS Considerando que estamos no âmbito das pequenas deformações, podemos afirmar que as deformações axiais são nulas Como a estrutura possui apenas esforços axiais, assumimos então que essa estrutura é indeformável Já o caso abaixo é deformável e hipoestático e, portanto, instável Podemos afirmar que todo sistema reticulado indeformável é, também, estável

5 TRELIÇAS Uma treliça ideal é todo sistema reticulado cujas barras têm todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas apenas em seus nós Qualquer sistema reticulado fechado composto por um polígono rotulado em seus vértices é deformável, a não ser que o polígono seja um triângulo Do ponto de vista construtivo, devemos garantir que os eixos das barras (ou seja, as retas que passam pelos respectivos centros de gravidade) devem se encontrar em um único ponto em cada nó Caso contrário, haverá a criação de momentos e outros efeitos indesejados

6 TRELIÇAS Podemos formar novas treliças estáveis unindo estruturas triangulares à treliça já existente, como no caso abaixo Também é uma treliça isostática a indicada abaixo (veja que também possui seis variáveis e seis equações de equilíbrio, como no primeiro exemplo)

7 TRELIÇAS Treliça simples é aquela formada pelos dois exemplos básicos apresentados anteriormente, sempre adicionando barras duas a duas Normalmente são construídas de madeira ou aço São projetadas visando a economia de material na construção, aumentando o vão máximo admissível Na prática, a maioria das treliças é isostática Existem dois principais métodos de resolução, além do cálculo direto de cada equação de equilíbrio: métodos de Ritter e Cremona Veremos neste curso apenas o método de Ritter

8 TRELIÇAS Classificação quanto à estaticidade Considere as seguintes variáveis r reações de apoio b número de barras n número de nós (incluindo os apoios) Portanto, são três possíveis situações Se r + b < n, então a estrutura é hipostática Se r + b = n, talvez ela seja isostática Se r + b > n, talvez ela seja hiperestática Para os dois últimos casos, sempre é necessário analisar a estrutura para confirmar se a lei de formação das treliças também é atendida

9 TRELIÇAS Classificação quanto à estaticidade Por exemplo, no caso (a), abaixo, a estrutura atende a equação r + b = n, já que r = 3, b = 11 e n = 7. A estrutura também atende a lei de formação das treliças, partindo de uma treliça básica e adicionando barras duas a duas No entanto, no caso (b), abaixo, apesar da estrutura atender a equação r + b = n, uma vez que r = 3, b = 11 e n = 7, ela não atende a lei de formação das treliças, já que o trecho ABCD destacado é hipostático, tornando a estrutura toda hipostática

10 MÉTODO DE RITTER Para resolver uma treliça através do método de Ritter, aplicamos o seguinte roteiro: 1) Numerar todas as barras; ) Através das equações de equilíbrio da Estática, determinar as reações dos apoios; 3) Traçar seções imaginárias na treliça, que sejam contínuas e cortem duas ou três seções, e de forma que as barras não sejam todas concorrentes; 4) Incluir, como esforços de tração, as normais nas barras que foram cortadas; 5) Através das equações de equilíbrio da Estática e para cada seção, determinar os esforços de tração; 6) Se facilitar, os esforços finais podem ser calculados através do equilíbrio de forças nos nós. Isso pode ser feito, por exemplo, quando houver nós com todas as barras ou perpendiculares entre si ou colineares

11 MÉTODO DE RITTER Como exemplo, vamos determinar todos os esforços da treliça abaixo 1) As barras foram numeradas em vermelho na figura abaixo ) Determinar as reações de apoio: M A = 0 8V E = 0 8V E = = 10 V E = 15kN F y = 0 V A + V E 0 5 = 0 V A = 5 15 = 10kN F x = 0 H A = 0 H A = 5kN

12 MÉTODO DE RITTER 3) Definir seções imaginárias - considere as seções s1 e s abaixo. Temos condições de determinar a partir daí os esforços nas barras 4, 5, 6, 8, 9 e 10 4) Em seguida, consideramos apenas um lado de cada seção, aplicando esforços normais em cada barra que tenha sido dividida pela seção. Para uniformizar os resultados, estimamos os esforços como sendo de tração (ou seja, positivos), de forma que se os cálculos resultarem em valores negativos, isso significa que os esforços estarão comprimindo as barras

13 MÉTODO DE RITTER 5) Calculamos agora os esforços axiais a partir das equações da Estática Para a seção 1 temos M F = 0 N = 0 N 4 = 30 = 15kN M C = 0 N = 0 N 6 = 60 = 30kN F x = 0 N N 5. + N 4 5 = 0 N 5 = = 10. = 14,1kN Na seção temos M H = 0 N = 0 N 8 = 15kN M C = 0 N = 0 N 10 = 60 = 30kN F y,h = 0 5 N = 0 N 9 = (15 5) = 10 = 14,1kN

14 MÉTODO DE RITTER 6) Determinar os esforços finais Nos nós B, D e G só há uma barra vertical em cada (barras 3, 11 e 7, respectivamente). Sendo assim, podemos calcular o equilíbrio em cada um desses nós pelo somatório de forças em y F y,b = 0 N 3 = 0 F y,d = 0 N 11 = 0 F y,g = 0 0 N 7 = 0 N 7 = 0kN As barras 1,, 1 e 13 podem ser determinadas pelo equilíbrio dos nós A e E. Começando pelo nó A temos F y,a = 0 N 1. F x,a = N + N = 0 N 1 = 10. = 14,1kN = 0 N = = 15kN

15 MÉTODO DE RITTER 6) Determinar os esforços finais Por fim fazemos o equilíbrio no nó E F y,e = 0 N 13. F x,e = 0 N 1 N = 0 N 13 = 15. = 1,kN = 0 N 1 = 15kN Como solução final, apresentamos uma tabela para facilitar a visualização das respostas Barra Esforço (kn) -14,1 15,0 0,0 15,0 14,1-30,0-0,0 15,0 14,1-30,0 0,0 15,0-1,