Instabilidade e Efeitos de 2.ª Ordem em Edifícios

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1 Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Capítulo Prof. Romel Dias Vanderlei Instabilidade e Efeitos de 2.ª Ordem em Edifícios Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II.- Introdução Caderno

2 .2- Estruturas de Nós Fixos e Nós Móveis Caderno.3- Dispensa da Consideração dos Esforços Globais de 2ª Ordem A NBR 68:2003 (item 5.5) indica dois processos aproximados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços de 2ª ordem globais, ou seja, para classificar as estruturas de edifícios como sendo de nós fixos ou de nós móveis. São eles: Parâmetro de instabilidade α Coeficiente γ z. 2

3 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Teoria de BECK (966): α=h Nk ( EI) eq onde: H: altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou de um nível muito pouco deslocável do subsolo; N k : somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível considerado para o cálculo de H), com valor característico; (EI) eq : módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na base e livre no topo..3.- Parâmetro de Instabilidade α Módulo de rigidez equivalente: Valor representativo: Verificar o deslocamento do topo do edifício quando submetido a uma ação lateral uniformemente distribuída, segundo um modelo tridimensional; 3

4 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Módulo de rigidez equivalente: Associa-se à estrutura a um pilar de seção constante, engastado na base e livre no topo, com altura igual à do edifício, que sujeito à mesma ação apresente deslocamento idêntico;.3.- Parâmetro de Instabilidade α Módulo de rigidez equivalente: Considera-se a linha elástica do elemento linear de seção constante. 4 qh EI = 8a E, I, A : constantes q : ação lateral uniformemente distribuída ( geralmente é adotado um valor unitário ); H : altura total do edifício; a : deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação lateral de valor igual a q. 4

5 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Módulo de rigidez equivalente: Consideração de um modelo bidimensional..3.- Parâmetro de Instabilidade α Modelo Bidimensional: - Associação plana de painéis; 2- Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o contraventamento da direção analisada são posicionados seqüencialmente num plano e interligados em cada pavimento por barras rotuladas em suas extremidades, as quais simulam a presença das lajes atuando como um diafragma rígido. 3- Essas barras rotuladas devem ser consideradas com elevada área de seção transversal, para que não ocorra deformação axial nas mesmas. 4- Para as vigas, os momentos de inércia utilizados devem ser os reais. 5

6 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Exemplo: Módulo de rigidez equivalente: EI PH = 3a Parâmetro de Instabilidade α A NBR 68:2003 indica que uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada de nós fixos se α < α Sendo: α = H tot Nk E I ci c Eci = 5600 f ck Módulo de elasticidade tangente inicial Ic : considerar as seções brutas dos pilares E ci I c : representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. 6

7 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Sendo α : n 3 n 4 α = 0,2 + 0,n α = 0,6 para associações de pilares - parede e pórtico α = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente por pilares - parede α = 0,5 quando só houver pórticos n : número de andares acima da fundação; No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode-se considerar E ci I c como sendo de um pilar equivalente de seção constante..3.- Parâmetro de Instabilidade α Considerações: Pilares-parede são elementos de eixo vertical submetidos preponderantemente à compressão, nos quais a menor dimensão da seção transversal deve ser menor que /5 da maior. Há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por pilares-parede com grande rigidez (Núcleo Estrutural). Considerando somente o somatório das rigidezes das seções brutas desses elementos como sendo o valor de (EI) eq para cálculo do parâmetro de instabilidade α, se obtenha α α, satisfazendo a condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos de 2ª ordem. Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2ª ordem, deve-se avaliar ainda se esses não apresentam valores muito elevados o que implicaria na conveniência de se alterar a estrutura. 7

8 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Elementos de contraventamento:.3.- Parâmetro de Instabilidade α Exemplo: Para o edifício de 3 andares, mostrado na figura, verifique a sua estabilidade global através do parâmetro α. Dados: f ck : 20 MPa; Ação em cada pavimento: 0 kn/m 2 Distância entre os pavimentos: 3 m Pilares de canto: 20 cm x 20 cm Pilares de extremidade: 20 cm x 40 cm Vigas: 2 cm x 40 cm 8

9 .3.- Parâmetro de Instabilidade α.3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Associação de pórticos na direção x por meio das barras rígidas bi-rotuladas. 9

10 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Pórticos planos: Vista Superior:.3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Onde: Eci = 5600 fck = = MPa Sendo: 3 bh I c = 2 P, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm P2 e P5 com seção 40 cm x 20 cm Viga com seção 2 cm x 40 cm Barra rígida com comprimento de m e seção 600cm x 40 cm 0

11 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Programa Ftool:.3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Deformada: a a = 0,0486cm

12 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: a = 0,0486cm H tot = 3m x 4 pavimentos = 2 m = 200cm P = kn 3 3 PH 200 EI = = = ,9kN. cm 3a 3 0,0486 N k = 0 kn/m 2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos Nk = 920 kn Nk 920 α = H tot = 200 = 0,483 E I ,9 ci c Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção x: Nk 920 α = H tot = 200 = 0,483 E I ,9 Comparando com α para n = 4 n 3 α = 0,2 + 0,n ci c α = 0,6 para associações de pilares - parede e pórtico n 4 α = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente por pilares - parede α = 0,5 quando só houver pórticos Portanto α < α = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo x. 2

13 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Associação de pórticos na direção y por meio das barras rígidas bi-rotuladas..3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Pórticos planos: Vista Superior: 3

14 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Onde: Eci = 5600 fck = = MPa Sendo: 3 bh I c = 2 P, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm P2 e P5 com seção 20 cm x 40 cm Viga com seção 2 cm x 40 cm Barra rígida com comprimento de m e seção 600cm x 40 cm.3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Programa Ftool: 4

15 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Deformada: a = 0,0509cm.3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: a = 0,0509 cm H tot = 3m x 4 pavimentos = 2 m = 200cm P = kn 3 3 PH 200 EI = = = ,3kN. cm 3a 3 0,0509 N k = 0 kn/m 2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos Nk = 920 kn Nk 920 α = H tot = 200 = 0,494 E I ,3 ci c 2 5

16 .3.- Parâmetro de Instabilidade α Contraventamento na direção y: Nk 920 α = H tot = 200 = 0,494 E I ,3 Comparando com α para n = 4 n 3 α = 0,2 + 0,n ci c α = 0,6 para associações de pilares - parede e pórtico n 4 α = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente por pilares - parede α = 0,5 quando só houver pórticos Portanto α < α = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo y Coeficiente γ z Avalia a importância dos esforços de 2ª orem global; É válido para estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares. O valor de γ z para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: γ z = Δ M M tot, d, tot, d onde: M,tot,d : soma dos momentos de todas as forças horizontais, da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura (momento de tombamento); ΔM tot,d : soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise em.ª ordem com todas as componentes de força horizontal de cálculo agindo. 6

17 .3.2- Coeficiente γ z Condição γ z, γ z>, Considera-se que a estrutura é de nós fixos. Considera-se que a estrutura é de nós móveis Coeficiente γ z Exemplo: Para a edificação abaixo os pilares P, P2, P4 e P5 fazem parte da estrutura de contraventamento, enquanto P3 é um pilar contraventado. A planta de formas e a perspectiva são apresentadas nas figuras a seguir. Verifique a sua estabilidade global através do coeficiente γ z. 7

18 .3.2- Coeficiente γ z Exemplo:.3.2- Coeficiente γ z Exemplo: Dados: f ck = 25 MPa; Número de pavimentos: 6; Distância piso-a-piso: 3,00 m; γ concreto armado = 25 kn/m³; carga estimada do piso = 2 kn/m 2 ; p k,vento = 0,8 kn/m². 8

19 .3.2- Coeficiente γ z Ações: Ações horizontais de cálculo entre pisos: F h = γ f x p k,vento x área entre pisos F h =,4 x 0,8kN/m² x (6m x 3m) = 20,2 kn Ações verticais de cálculo por piso: F v = γ f x (g +q) x área do pisos F v =,4 x 2kN/m² x (6m x 6m) = 604,8 kn Ações verticais de cálculo por pilar: F vp = F v / (nº de pilares) F vp = 604,8 kn / 4 = 5,2 kn.3.2- Coeficiente γ z Características: Módulo de elasticidade: Eci = 5600 fck = = MPa P = P5 com seção 20 cm x 70cm P2 = P4 com seção 70 cm x 20cm P3 com seção 20 cm x 20 cm Viga com seção 20 cm x 50 cm Barra rígida com comprimento de 3m e seção 600cm x 50 cm 9

20 .3.2- Coeficiente γ z Deslocamentos: Pavimento simétrico nas direções x e y FTOOL:.3.2- Coeficiente γ z Deslocamentos: Pavimento simétrico nas direções x e y FTOOL: 20

21 .3.2- Coeficiente γ z Cálculo de γ z : γ z= ΔM M tot, d, tot, d Andar 6º 5º 4º 3º 2º º Térreo Cota piso (m) 8,0 5,0 2,0 9,0 6,0 3,0 0,0 F h (kn) 0,0 20,20 20,20 20,20 20,20 20,20 0,0 Σ M,tot,d 8,8 303,0 242,4 8,8 2,2 60,6 0,0 090,8 F v (kn) 604,80 604,80 604,80 604,80 604,80 604,80 0,0 d(m) 0,0670 0,0500 0,0320 0, , , , Σ ΔM tot,d 9,78 9,3 7,99 6,23 3,94,46 0,00 38, Coeficiente γ z Cálculo de γ z : γ z= ΔM M tot, d, tot, d = 38,52 090,8 =,04 γ z =,04 <,0 Ok! Estrutura de nós fixos 2

22 .4- Análise de Estruturas de Nós Fixos Permite-se considerar cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de ª ordem. Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável..4- Análise de Estruturas de Nós Fixos O comprimento equivalente l e do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, é o menor dos seguintes valores: l e = l o + h le = l Onde: l o distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; l distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. 22

23 .5- Análise de Estruturas de Nós Móveis A análise deve levar obrigatoriamente em conta os efeitos da não-linearidade geométrica e da nãolinearidade física. No dimensionamento, consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Deve ficar assegurado que para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não ocorra perda de estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade resistente de cálculo das seções mais solicitadas..5- Análise de Estruturas de Nós Móveis Consideração da Não-linearidade Geométrica: Modificações apropriadas na matriz de rigidez da estrutura; Processo P-Δ. NBR 68:2003 Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares, consiste na avaliação dos esforços finais (ª + 2ª ordem) pela majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γ z ; Desde que γ z,3. 23

24 .5- Análise de Estruturas de Nós Móveis Consideração da Não-linearidade Física: Considerações adequadas sobre ductilidade, fissuração e deformabilidade. Maneira aproximada indicado pela NBR 68: Análise de Estruturas de Nós Móveis Consideração da Não-linearidade Física: NBR 68:2003 Estruturas reticuladas com no mínimo 4 andares; Permite-se considerar a não-linearidade física tomandose como rigidez das peças os valores a seguir: Lajes: (EI) sec = 0,3. E ci. I c Vigas: (EI) sec = 0,4. E ci. I c para A s A s (EI) sec = 0,5. E ci. I c para A s = A s Pilares: (EI) sec = 0,8. E ci. I c Sendo: E ci o módulo de deformação tangente inicial I c o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes. 24

25 .5- Análise de Estruturas de Nós Móveis Consideração da Não-linearidade Física: NBR 68:2003 Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por vigas e pilares, e γ z for menor que,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: (EI) sec = 0,7. E ci. I c Os valores acima dados para (EI) sec são aproximados e não poderão ser usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem..6- Análise dos Efeitos Locais de 2ª Ordem A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas; Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento l e, porém, aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem. 25

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