Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

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1 Licenciatura em Engenharia ivil MEÂNI I Recurso 22/07/2002 NOME: 1) (3 L.) a) O que é um mecanismo? Refira as condições de ligação deste tipo de sistema. Um mecanismo é um sistema hipoestático, isto é, um sistema em que o número de ligações independentes é inferior ao número de equações de equilíbrio estático. b) iga quais as condições a que um sistema articulado plano deve obedecer para ser considerado internamente isostático. Um sistema articulado plano é internamente isostático se: i) for um sistema rígido, nomeadamente, se for formado por triângulos indeformáveis com um lado comum; e, ii) o número de barras, b, e o número de nós, n, observarem a seguinte condição: b=2 n-3. c) Que tipos de atrito seco conhece. iga numa frase em que consistem. Os tipos de atrito seco são: atrito de escorregamento e atrito de rolamento. O atrito seco é gerado entre corpos rígidos que estão em contacto ao longo de superfícies não lubrificadas, ocorrendo escorregamento quando há deslizamento de uma superfície sobre a outra e rolamento quando uma peça tem tendência a rolar sobre a outra. d) onsidere o cabo, ilustrado na figura, com os apoios e ao mesmo nível e submetido à carga triangular. etermine a equação da geometria do cabo em relação ao sistema de eixos Oxy. onsiderando o troço entre os pontos O e, a resultante, P, da carga vertical aplicada entre esses pontos é: P = 1/2 x w(x) = 1/2 x (2 p x/l) = p x 2 /L. Escrevendo a equação de equilíbrio de momentos em : ΣM = 0 -T 0 y + 1/3 x P = 0, substituindo o valor de P pela expressão anterior vem: 1/3 x (p x 2 /L) - T 0 y = 0 y = p x 3 /(3 L T 0 ). Esta expressão é válida para valores de x 0, por simetria, obtém-se, para x < 0, a equação da geometria do cabo como sendo: y = -p x 3 /(3 L T 0 ). p Tc y O To O L/2 L/2 x P w(x)=2px/l x/3 y p Tc x

2 2 ) RESOLUÇÃO a) Sabendo que α = 35 0 (ângulo da tangente ao cabo no ponto com a horizontal): i. alcule o esforço do cabo nos pontos e ; onsiderando apenas o troço de cabo entre os pontos e : T 4,0 T H α H 20 kn/m 20,0 Temos três equações de equilíbrio global: m x Y = 0 H = H = 0 + = = = estas três equações de equilíbrio podemos juntar uma quarta que nos garante que o reacção em faz um ângulo α com a horizontal (o esforço do cabo tem sempre a direcção da sua tangente): H = tan(35) icamos assim com sistema de três equações a três incógnitas que nos dá: H = 222.2kN = 155.6kN T = H = 222.2kN T = = 244.4kN 2 2 H + H = 271.2kN = 330.3kN

3 ii. alcule o esforço máximo e mínimo do cabo; O esforço máximo ocorre no ponto do cabo onde o ângulo da sua tangente com a horizontal é máximo, neste caso corresponde ao ponto : T máx = T O esforço mínimo ocorre no ponto do cabo onde o ângulo da sua tangente com a horizontal é mínimo, neste caso o ângulo mínimo é zero pelo que o esforço apenas tem componente horizontal, logo: T = T = H = H kN min 0 = b) Sabendo que o bloco pesa 200 kn e β = 20 0 : i. onsiderando o ângulo de atrito igual a 20 0 (µ=0.364) determine (perpendicular ao plano inclinado) necessária para garantir o equilíbrio do bloco quando o cabo esta sujeito ao carregamento representado na figura. s forças que actuam no bloco são: y H N a β x P=200 kn azendo o equilibro segundo as direcções do sistema de eixos representado na figura vêm: x = 0 N = 200 cos(20) cos(20) sin(20) + Y = 0 a = cos(20) sin(20) sin(20) N = a = omo: a = µ N = ( ) = kN Logo para garantir o equilíbrio do bloco é necessário aplicar pelo menos uma força de 658kN.

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9 EXERÍIO 4 a) nalisando o sistema de forças que actua nos nós, e, e estabelecendo o equilíbrio de cada um deles é possível determinar os esforços nas barras [] e [G]. N x y = 0 N = 100 kn ( compressão) = 0... N N x y = 0 N = 0 kn = 0... NG 100 kn N θ cosθ=0.8 senθ=0.6 NG x y N N G = N cosθ + N G cosθ = 0 = 0 N senθ N G senθ = 0 = 62.5 kn ( compressão) = 62.5 kn ( tracção) b) i) onsidere-se o corte S-S, E G S S' H Sandra Nunes Julho /3

10 NE NEG G N NGH a parte superior encontra-se em equilíbrio logo: m G = 0 N = 0 N = 62.5 kn ( compressão) c) Retirando a ligação vertical da estrutura no apoio, e aplicando aí a correspondente componente da reacção total, pode efectuar-se a seguinte deformação virtual, compatível com as restantes ligações. E G δ H=IR plicando o princípio dos trabalhos virtuais (PT) vem, W = 0 8δ δ 100 6δ = 25 kn ( ) erificação: m H = = 25 kn ( ) O. K. Sandra Nunes Julho /3

11 ii) esligando a estrutura na rótula, e aplicando aí as componentes da força de interacção entre ambas as partes, pode realizar-se a seguinte deformação virtual, compatível com as restantes ligações. H H δ θ =IR[] E G=IR[G] H plicando o PT ao corpo [] vem: W = δ + H 3δ + 4δ = 0 3H + 4 = 300 plicando o PT a corpo [G] vem: W = 0 H 3θ 4θ = 0 3H 4 = 0 juntando as equações anteriores obtêm-se o valor das componentes da força de interacção em, 3H 3H = 300 = 0 H = 37.5 kn ( ), aplicadas no corpo = 50.0 kn ( ) [ ] Sandra Nunes Julho /3

12 Licenciatura em Engenharia ivil MEÂNI I Recurso 22/07/2002 NOME: Não esqueça de escrever o nome ssinale nas quadrículas verdadeiro ou falso. Nota: Poderão existir mais do que uma resposta verdadeiras ou nenhuma a) O momento de um vector em relação a um ponto do espaço permanece constante quando se desloca por equipolência esse vector ao longo da sua recta de suporte. Num campo de momentos as projecções dos momentos em dois pontos quaisquer do espaço sobre a recta que os une são sempre iguais. O eixo central é o lugar geométrico dos pontos do espaço onde o momento de um torsor é mínimo. b) onsidere a barra [] quebrada em e apoiada em, e. Trata-se de um sistema isostático. Se a força 2 é não nula, o sistema não se encontra em equilíbrio. Se a força 2 é nula (isto é, só existe uma força aplicada, 1 ), então a intensidade da reacção em é igual a Se a força 1 é nula (isto o 45 o L L é, só existe uma força aplicada, 2 ), então as componentes horizontais das reacções em e têm igual intensidade. 1 L c) onsidere a viga simplesmente apoiada submetida às duas forças representadas na igura: M O sistema de forças aplicadas é redutível a resultante aplicada num ponto do eixo central; utilização do método do polígono funicular na determinação das reacções de apoio exige que, no seu traçado, o polígono funicular passe por ; É condição necessária e suficiente para o equilíbrio da viga que o polígono funicular seja fechado e passe pelos pontos e.

13 d) igura 1 igura 2 igura 3 O sistema estrutural representado na igura 1 pode ser idealizado como um arco de três rótulas; O sistema estrutural representado na igura 2 pode ser idealizado como uma viga Gerber; O sistema estrutural representado na igura 3 é hiperestático. e) onsidere o sistema articulado representado na igura: O esforço axial é nulo nas barras GH, HI e IJ; O esforço axial na barra I vale 5 5 e é de compressão; s barras G e I estão comprimidas, enquanto que as barras G e I estão traccionadas E G H I J f) onsidere a viga simplesmente apoiada representada na igura e uma deformada virtual, representada a tracejado: 2.00 M δθ O Princípio dos Trabalhos irtuais pressupõe a aplicação a corpos rígidos. deformada virtual representada na igura permite avaliar a componente vertical da reacção de apoio em ; O trabalho virtual de deformação realizado pelo momento M na deformação virtual representada vale ( M δθ ).