Sumário e Objectivos. Objectivos: Lúcia M.J.S. Dinis 2005/2006. Mecânica dos Sólidos e das Estruturas 2ª Aula

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Antônio Martim Arruda Freire
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1 Sumário e Objectivos Sumário: Barra Traccionada. Conceito de Deformação. Conceito de Tensão. Tensor das Tensões. Casos articulares. Simbologia. Unidades e Aplicações Elementares. Relações Tensões Deformações na caso Uni aial. Revisão do Cálculo de Reacções em Vigas. Objectivos: Apreensão de Alguns Conceitos Associados à Grandeza Deformação e á Grandeza Tensão de Cauch e sua Simbologia e forma como se relacionam no caso uni - aial. Relembrar o processo de Cálculo de Reacções da Mecânica I. 1

2 Sólidos no Espaço 2

3 Conceito de Deformação e Etensão Barra Traccionada L 0 L 0 -Comprimento inicial L L - Comprimento Final Deformação usual em Engenharia- Etensão ε = L L o L o Deformação natural ε = L L o L 3

4 Barra Traccionada L 0 -comprimento inicial L Comprimento Final L 0 L Deformação Logarítmica Deformação de Lagrange L L o E = 2 2 L o d η = = n = o Δ = n 1 + = n ( 1 + ε)= o = ε ε + ε ε o... 4

5 Sólidos no Espaço F z Fi Viga O Fn p Sólido Genérico Torre Forma, Acções e Ligações ao Eterior e Forma de Representação 5

6 Eemplo 2.1 Considere o sólido representado na figura e determine as resultantes dos esforços que se desenvolvem na Secção A-A A A A A Método das Secções a eça M=a arte da eça Equações de Equilíbrio Estático 6

7 Barra rismática-1 Barra Traccionada A Tracção Secção A-A a A Barra Comprimida A Compressão b Secção A-A a A b 7

8 Barra Traccionada Ã Secção A -A a A b Grandezas = σda A σ = /A Força Tensão σ σ Secção A-A 8

9 Barra Traccionada B Secção A -A a α B b O A = A/cos α = cos α = sen α Secção Inclinada 9

10 Tensões na Secção Inclinada O A = A/cos α = cos α = sen α Secção Inclinada Tensão Normal σ n = A cos α = = A /cosα A cos 2 α Tensão Tangencial σ t = A s enα = = A /cosα p A cos α senα 10

11 Eemplo 2.2 Uma barra colada, como se representa na figura 2.5, tem secção rectangular de dimensões 1020 mm. O plano que corresponde ao plano de colagem faz um ângulo de com o eio da barra, como se mostra na figura. Admitindo que a resistência ao corte da ligação colada controla o projecto e admitindo que a tensão de corte máima admissível é de 10 Mpa, determine a carga aial a aplicar à barra. Resolução Forças Normal e Tangencial Tensão Tangencial ou de Corte σ t = cos( β ) = cos60º = = = = N / mm π A 200 / cos( 30 º ) 2 = 10 / = N π 2 = sen( β ) = sen60º = π 2 2 β=30 11

12 Conceito de Tensão σ= lim ΔA 0 ΔF τ= lim ΔA 0 ΔA ΔF σ= lim ΔA 0 ΔA ΔFz τz= lim ΔA 0 ΔA ΔF ΔA Tensão Componentes da Tensão σ numa faceta perpendicular a z ΔFz ΔF O ΔF ΔA ΔF ΔF 12

13 Tensor das Tensões-1 lano perpendicular ao Eio dos : σ; τ; τz σ Tensão Normal ; τ τz Tensões Tangenciais ou de Corte lano perpendicular ao Eio dos : lano perpendicular ao Eio dos zz: σ; τ; τz σzz; τz; τz 13

14 Tensor das Tensões 2 O modo como se representam as tensões é tal que o primeiro índice representa a direcção da normal ao plano de intercepção e o segundo índice indica a direcção de actuação da tensão z τz τz σ τ σzz τz τ τz σ Convenção de sinais: As tensões são consideradas ositivas se têm o sentido considerado positivo nas facetas do paralelepípedo mais próimas do observador e nas outras facetas são consideradas positivas se têm o sentido contrário. As Tensões representadas nas figuras estão a ser consideradas positivas. Tensor das Tensões σ τ τz σ11 σ12 σ13 σ= ij z ou σ = τ σ τ σij = σ σ σ τz τz σzz σ31 σ32 σ33 14

15 Estado Uni aial de Tensão z σ Tensor das Tensões no sistema de Eios Oz σ σ ou σ ou σ 15

16 Corte uro O τz 0 τz 0 z 0 τ τ z z 0 0 τz τz

17 Tensões Normais σ σ z σzz σ σ σ zz 17

18 Estado lano de Tensão σ τ σ τ σ τ τ σ z σ τ 0 τ σ σ τ τ σ ou 18

19 Unidades Unidade S.I. S. Métrico U.K. Comprimento metro(m) metro(m) polegada(in) Tempo segundo (s) segundo(s) segundo(s) Massa Kilograma(Kg) Kilograma(Kg) Libra Massa (lb) Força Newton(N) Kilogramo(Kg) Libra eso (lb) Tensão ascal(a) Kg/m 2 lb/in 2 T G M k m μ n p

20 roblema 2.3 Num plano perpendicular ao eio dos a tensão resultante é T={0 10 5}Ma. Determine as componentes das tensões no referido plano. 1 τ = T.e1 = { } 0 = 0Ma 0 0 σ = T.e 2 = { } 1 = 10Ma 0 0 τ z = T.e1 = { } 0 = 5Ma 1 20

21 roblema 2.3 z τ τ z T σ 1 τ = T.e1 = { } 0 = 0Ma 0 0 σ = T.e 2 = { } 1 = 10Ma 0 0 τ z = T.e1 = { } 0 = 5Ma 1 21

22 Eemplo 2.4 O tensor das tensões num ponto é: Desenhe um paralelepípedo centrado no ponto e sobre cada Ma uma das faces represente as tensões que sobre ela actuam. 22

23 Eemplo 2.4 z

24 Cálculo das Reacções em Vigas - Revisão Vigas Isostáticas Cálculo das Reacções de Apoio A pkn/m B 6pkN 45º pkn/m 45º 6pkN C A B C L L/2 L L/2 a) b) 24

25 Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão a) A pkn/m B 6pkN 45º L L/2 As reacções de apoio possíveis na viga da figura a) são: uma reacção segundo em B e duas reacções em A, uma reacção segundo e uma reacção segundo. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo e outra segundo e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano O, por eemplo em A. 25

26 Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão Equilíbrio de Forças n n F i= 1 n i= 1 i = 0 RA 6p cos 45 = 0 R A = 3 2p a) Fi = 0 RA + RB = pl + 3 2p Equilíbrio de Momentos m 2 L 9 L 9 F F + M = 0 R L = p + 2pL R =p + 2p ( ) i i i i zj B B i= 1 j= 1 R B L 9 L 3 =p + 2p e RA=p - 2p b) 26

27 Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão b) pkn/m 45º 6pkN A L L/2 As reacções de apoio possíveis na viga da figura são: uma reacção segundo em A, uma reacção segundo em A e um momento em A. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo e outra segundo e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano O, por eemplo em A 27

28 Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão Equações de Equilíbrio de Forças n F i= 1 n F i= 1 i i = 0 RA + 6p cos 45 = 0 R A = 3 2p a) = 0 pl 3 2p ) R A = + b n Equação de Equilíbrio de Momentos m 2 2 L 9 9 F F + M 0 M p 2pL =0 L = + + MAz=-p - 2pL ( ) i i i i zj Az i= 1 j= 1 28

29 roblemas ropostos para Resolução Calcule as Reacções de Apoio para as vigas isostáticas representadas na figura. a) O A 10kN/m 20kN B b) M=1500N.m 6m 4m 4m L=1m 15kN/m 10kN/m c) d) O A B =3000N M=1500Nm 2m 2m 2m 3m 0,60m 0,40m 29

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