1. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos, lineares e isotrópicos para obter a relação em termos de deformação.

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "1. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos, lineares e isotrópicos para obter a relação em termos de deformação."

Lucca Figueiredo Clementino
5 Há anos
Visualizações:

1 Mecânica dos Sólidos I Lista de xercícios III Tensões, Deformações e Relações Constitutivas.. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos, lineares e isotrópicos para obter a relação em termos de deformação. ε x = ν σ y + σ z ε y = σ y ν + σ z ε z = σ z ν σ y + ε xy = ε xz = ε yz = y G z G σ yz G = ( ν + ) ν ( ν) εx ν ε + y + ε z y = G ε xy σ y = ( ν + ) ν ( ν) εy ν ε + z + ε x z = G ε xz σ z = ( ν + ) ν ( ν) εz ν ε + y + ε x σ yz = G ε yz - Particularize as relações constitutivas acima mencionadas para os casos de estado de tensão e estado plano de deformação. stado Plano de tensão σ z = z = σ zx = σ yz = σ zy = ε x = νσ y ε xy = y G ε y = σ y νσ x ν ε z = σ y + ε xz = ε yz =

2 = ν ( ε x + νε y) y = G ε xy σ y = ν ( ε y + νε x) stado Plano de deformação ε z = ε xz = ε zx = ε yz = ε zy = ( ν) σx ν σ y + ν ε x = ( ν) σy ν + ν ε y = ε xy = y G = ( ν + ) ν ( ν) εx ν ε + y y = G ε xy σ y = ( ν + ) ν ( ν) εy ν ε + x z = σ z = ν ν + ( ν) ( ε y + ε x) σ yz = 3- placa plana mostrada na figura é carregada no plano xy. Sabendo-se que: =45 MN/m y = 4 MN/m e ε z =-3.6 x -4 z determinar o valor de σ y. x y GPa := 9 Pa MN := 6 N µ := 6 MPa := 6 Pa Considerando : := GPa ν :=.3 := 45MPa ε z := 3.6 4

3 Placa em estado plano de tensão : ν ε z = σ y + ν σ y + = ε z σ y := + ε z ν σ y = 7 MPa 4. Uma força F é aplicada uniformemente nos lados de uma placa quadrada, de tal forma que, em duas faces opostas, tem-se tração e, nas duas outras faces opostas, compressão. m quais planos da placa não ocorrerá tensão normal? Qual é a tensão de cisalhamento em tais faces? F = F F σ y := F F F c:= y = F a = Face sem tensão normal a 45 de X e a -45 de X. Y X F σ B = B

4 5 Uma barra de metal se encaixa entre dois suportes rígidos, à temperatura ambiente (ºC), como se vê na figura. Calcular as tensões normal e de cisalhamento na seção inclinada, quando a temperatura aumenta para 95ºC. dmitir α = 3.6 x -6 por ºC e = x 3 kgf/mm. 6º := kgf mm α := t := 95 Barra : estado uniaxial de tensão, ou seja, a única tensão não nula é a tensão. Cinemática : ε x := => + α t = := ( α t) kgf = 5.59 mm No plano inclinado θ := 3deg σ n := + cos θ kgf σ n = 4. mm σ ns := sin( θ) σ ns =.4 kgf mm

5 6 Uma barra tracionada é composta de dois pedaços de material que são colados ao longo da linha mn. Por razões práticas, o ângulo θ é limitado `a faixa de º a 6º. tensão de cisalhamento permissível, τ adm, na junta colada é ¾ da tensão de tração permissível (σ adm ). Qual deve ser o valor do ângulo θ, afim de que a barra suporte o máximo de carga P, admitindo que a resistência da junta colada controle o projeto. m P θ P n = P σ y = y = 3 τ adm = 4 σ adm Para P ser máximo, deve ser máximo. Logo: ( + cos( θ) ) σ adm sin( θ) 3 4 σ adm σ adm ( ) + cos θ 3 σ adm sin θ σθ := ( ) + cos θ τθ := 3 sin θ θ := deg, 5deg.. 6deg s max θ := if ( σθ ) τθ, σ θ, τ θ 6 4 Portanto o máximo admissivel ocorre em θ = 6 Neste caso :.5 normal maxima cisalhante maxiima maximo admissivel = 3 σ adm sin π 3 = σ adm 3

6 7 s deformações medidas em um ponto sobre uma superfície livre de um elemento de máquina fornecem os seguintes dados de deformações: ε x = µ ε y = 8 µ e γxy= 6 µ. material é liga de magnésio com um módulo de elasticidade de 45GPa e coeficiente de Poisson de.35. (a) Determine as deformações principais e tangenciais máximas (b)usando os resultados da parte (a), determine as tensões principais e tangenciais máximas no ponto. Superficie livre : σ z = z = σ zx = σ yz = σ zy = (stado Plano de Tensão) := 45GPa ε x := µ ν :=.35 ε y := 8µ G := + ν ε xy := 3µ ν ε z := ( ν) ε y + ε x (a) Deformações principais e tangenciais máximas c := ε x + ε y a := ε x ε y + ε xy Deformações principais ε := c + a ε := c a ε = 9 µ ε = 9 µ ε 3 := ε z ε 3 = 5.77 µ Tangenciais máximas ε ε ε := ε = 5 µ ε ε 3 ε 3 := ε 3 = 7.38 µ ε ε 3 ε 3 := ε 3 =.38 µ

7 (b)tensões principais e tangenciais máximas Tensões principais Considerando o material isotrópico: σ := ( ν + ) ν ( ν) ε ν ε + + ε 3 σ =.36 MPa σ := ( ν + ) ν ( ν) ε ν ε ε σ = 8.3 MPa Tangenciais máximas σ 3 := σ := G ε σ 3 := G ε 3 σ 3 := G ε 3 σ =.67 MPa σ 3 = 5.68 MPa σ 3 = 4. MPa 8 Um cilindro,, de borracha de diâmetro d é comprimido em um cilindro, B, de aço por uma força P. Determinar a pressão p entre a borracha e o cilindro, quando P= 5 kgf, d= 5cm e o coeficiente de Poisson para a borracha é.45. P P := 5kgf d := 5cm ν :=.45 d B := π d 4 =.96 3 mm stado de tensão na borracha Cinemática P σ z := Tp := p p σ z ( δ) := δ L

8 Portanto, pela relação constitutiva: logo : p := ν σ z ν = ( p ν( p + σ z ) ) p =.83 kgf cm 9 O tensor de tensões em um ponto é da do como se segue: 8 T = Se = GPa e ν =.3, qual é a deformação normal na direção e n =.6 i +.8 j := GPa ν :=.3 G := + ν := MPa y := 8MPa σ y := 35MPa σ yz := 4MPa σ z := 49MPa z := MPa ε x ε:= x ν σ y + σ z ε y := σ y ν + σ z ε z := σ z ν σ y + ε xy := ε xz := ε yz := y G z G σ yz G ε := ε x ε xy ε xz ε xy ε y ε yz ε xz ε yz ε z ε = µ.6 e n :=.8 ε n := ε e n e n ε n = µ

9 . Uma placa de baquelite, com um orifício elíptico, é ensaiada para determinar o fator de concentração de tensões K. stando a placa em um estado plano de tensões, determinou-se por meio de fotoelasticidade que a tensão σ y no ponto, na borda da placa, como sendo de 4 MPa. Qual é o tensor de deformações em? ssumir =3,5 x 4 MPa e ν =.. y x := 35GPa ν :=. σ z = z = σ zx = σ yz = σ zy = (stado Plano de Tensão) Superfície livre: := MPa y := MPa σ y := 4MPa ε x := νσ y ε y := σ y νσ x ν ε z := σ y + ε xy := y G ε xz := ε yz := ε := ε x ε xy ε xz ε xy ε y ε yz ε xz ε yz ε z ε = µ D d i d d ã d i õ i i i di ã

10 . Dado o seguinte estado de tensão, determinar as tensões principais e a direção da tensão de cisalhamento máximo: = -5.6 MPa y =. MPa σ y = 3.5 MPa z = σ z =.4 MPa σ yz = 3.5 MPa := 5.6MPa σ y := 3.5MPa σ z :=.4MPa y :=.MPa z := MPa σ yz := 3.5MPa T := y z y σ y σ yz z σ yz σ z T = MPa Direções Principais: cálculo de auto- valorers σ := eigenvals( T) e := eigenvec T, σ e := eigenvec T, σ σ =.96 e =.5..4 e = MPa e 3 := eigenvec T, σ.4 e 3 =.8.57 Cisalhamento máximo τ max := max Direção : σ σ σ σ e + e 3 e max := e + e 3,, σ σ.78 e max = τ max = 6.5 MPa

11 . Um tubo de paredes finas, com curva em ângulo reto, é representado na figura abaixo. O diâmetro externo D do tubo é de 5 mm e a espessura é de.6 mm. Uma carga de.45 kn é aplicada na extremidade livre do sistema. Um extensômetro acha-se orientado na direção x em, na parte superior do tubo, e fornece uma deformação de.346. Um segundo extensômetro em, orientado na direção z, fornece uma deformação de.37. Quais são as componentes do tensor de tensões no ponto em relação ao sistema xyz. O coeficiente de Poisson é.5 e o módulo de lasticidade de Young é 4 x 4 MP. Determinar também ε y. P y z x D 6 mm σ zz z σ zx σxx Detalhe do estado de tensão próximo de DDOS: kn := 3 N D:= 5mm d :=.6mm D d R m := R m = 4. mm l := 6mm P :=.45kN := 4GPa ν :=.5 ε x := 346µ ε z := 37µ SOLUÇÃO: stado de Tensão em, localizado na superfície livre do tubo => σ yy = y = σ yz = logo: T = z z σ z (stado plano de tensão )

12 Componentes do tensor de tensão M t := P l M t =.7 kn m logo: z := M t π R m d z = MPa Relação constitutiva para stado plano de tensão: ε x = ν σ z + ε y = ν σ z + ε z = σ z ν + De onde se obtem que: := ε x νε z ν ( + ) = MPa σ z := ε z νε x ν ( + ) σ z = MPa Deformação ε y := ν σ z + ε y = 6 µ

Documentos relacionados

1) Qual propriedade de um material reproduz a lei de Hooke? Escrever a expressão que traduz a lei. 2) Um cilindro de 90,0 cm de comprimento (figura) está submetido a uma força de tração de 120 kn. Uma