Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 1/ Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 6ª Aula Duração - 2 Horas Data - 8 de Outubro de 2003 Sumário: Deformações. Conceito de Etensão e Distorção. Componentes do Tensor das Deformações. Propriedades do Tensor das Deformações. Deformação Volumétrica. Casos Particulares do Estado de Deformação. Objectivos da Aula: Apreensão das Grandeas associadas à caracteriação do Processo de Deformação de Sólidos no que respeita ao seu movimento após solicitação. Construção do Tensor das Deformações e estabelecimento das suas propriedades por analogia com o tensor das Tensões. Resumo do Conteúdo da Aula 1- Conceito de Etensão Considere-se um sólido no espaço, V, associado a esse sólido considere-se um sistema de Eios de Referência Cartesiano O, como se representa na figura 6.1. Considere-se o Ponto P, na configuração inicial do sólido, o vector de posição do ponto P é OP, o sólido muda de posição no processo de deformação e passa a ocupar o volume V*, como se representa na referida figura. O ponto P passa a ocupar a posição P* na congiguração deformada do Sólido, a que corresponde o vector de posição OP *, tendo sofrido um deslocamento representado pelo vector PP *, que pode ser designado por vector u, com componentes {u,v,w}. As componentes dos vectores OP, OP * PP * são: Componentes do Vector OP : {,,} Componentes do Vector OP * : {*,*,*} Componentes dos vectores PP *:{u,v,w} As componentes do vector u = PP * podem ser calculadas a partir das Coordenadas dos pontos P e P*, do seguinte modo: u = *-; v = *- e w = *-

2 2/ V* V P* P O Figura 6.1: Sólido Deformável Na figura 6.2 está representado um segmento P no sólido na configuração inicial a que corresponde um segmento P * * na configuração deformada do sólido. P V V* P* * O Figura 6.2: Vector P nas Configurações Inicial e Deformada do Sólido

3 3/ O vector P tem de grandea ds e o vector P * * tem de dimensão ds*, a etensão do segmento P no processo de deformação é designada por ε, sendo por definição: ds * ds ε = ds (6.1) Na definição de etensão acabada de introduir a dimensão de referência foi considerada na configuração inicial do sólido, isto significa que se está a considerar uma descrição Lagrangeana do Sólido. 3- Tensor das Deformações Considere-se um vector, P, que tem a direcção do eio dos na configuração inicial do sólido e um comprimento, d, como se representa na figura 6.3. Na configuração deformada do sólido o vector ocupa a posição P * * como se representa também na referida figura e tem um comprimento d*. * P d w u P* v P d d* Figura 6.3: Mudança de Comprimento de um Segmento Segundo Coordenadas do Ponto P ,0,0 Coordenadas do Ponto P* u,v,w Coordenadas do Ponto d,0,0 u Coordenadas do Ponto * u + d, d Comprimento do Vector P d v w + v + d,w + d

4 4/ Comprimento dovector P * * u v w d* = d + d + d + d A etensão do segmento inicial d durante o processo de deformação é designada por e é tal que: ε d* d v u v w ε = = ( ) + ( ) + ( ) d -1 (6.2) u w Admitindo que os deslocamentos são pequenos e que << 1, << 1 a etensão toma a forma: v ε = (6.3) o que é considerado admissível se as deformações forem pequenas. De modo análogo se determinam as deformações e que são no caso de se ε ε admitirem pequenas deformações ε u w = ; ε = (6.4) Além de haver alteração dos comprimentos dos segmentos como resulta do facto de eistirem etensões, ocorrem também mudanças angulares que devem ser contabiliadas em função dos deslocamentos. As mudanças angulares estão representadas do ponto de vista qualitativo na figura 6.3. d S* S P P* O R R* * Figura 6.3: Mudanças Angulares e de Etensão

5 5/ As coordenadas dos pontos P,,R,S,P*,*, R* e S*, assim como os ângulos formados pelos vectores que constituem três das arestas do paralelepípedo inicial e deformado estão representados no quadro I. Ponto Posição Inicial Ponto Posição Final P P* +u +v +w R S +d +d +d R* +u+d+( u/ )d +v+( v/ )d +w+( w/ )d * +u+( u/ )d +v+d+( v/ )d +w+( w/ )d S* +u+( u/ )d +v+( v/ )d +w+d+( w/ )d Ângulo Inicial Ângulo Final RP 90º R*P** 90º- φ PS 90º *P*S* 90º- φ RPS 90º R*P*S* 90º- φ Vector Componentes Vector Componentes PR d 0 0 P*R* d+( u/ )d ( v/ )d ( w/ )d P 0 d 0 PS 0 0 d P** ( u/ )d d+( v/ )d ( w/ )d P*S* ( u/ )d ( v/ )d d+( w/ )d uadro 6.1: Pontos, Vectores e Ângulos Os ângulos formados pelos vectores na configuração deformadas podem ser calculados considerando o produto escalar entre vectores e calculando esse produto escalar das duas maneiras possíveis, ou seja: uuuuuuur uuuuuuur u v u u v v w w P** P*R* = dd uuuuuuur uuuuuuur P** P*R* ( 1 ε)( 1 ε) dd cos( 2 ) = + + π φ (6.5 )

6 uuuuuuur tendo em conta que P** = ( +ε) 1 d uuuuuuur e P*R* = ( +ε) 6/ 1 dde acordo com a definição de Etensão. Igualando os 2ºs membros das duas igualdades 6.5 e resolvendo em ordem ao coseno do ângulo obtém-se: u v u u v v w w π senφ = cos( φ ) = ( + ε)( + ε) (6.6) Despreando os infinitésimos de 2ª ordem e admitindo que ε << 1 e ε << 1 e admitindo que o ângulo φ é muito pequeno, conclui-se que: φ = senφ e que u v γ = φ = + (6.7) A quantidade γ é designada por distorção. As distorções γ e γ são calculadas de forma análoga. As deformação de corte, ε, ε e ε são iguais a metade da distorção correspondente, ou seja ε /2 =γ, ε /2 =γ e ε /2 =γ (6.8) O tensor das deformações tem a forma u 1 u v 1 u w ε ε ε 1 u v v 1 v w ε ε ε = ε ε ε 1 u w 1 v w w (6.9) e é um tensor simétrico à semelhança do que acontecia com o tensor das Tensões. 4- Propriedades e Operações com o Tensor das Deformações As operações e propriedades do Tensor das Deformações são em tudo análogas às operações efectuadas e às propriedades consideradas para o Tensor das Tensões. Assim a operação de mudança de sistema de eios das componentes do Tensor das Deformações é análoga à operação efectuada com o tensor das Tensões, ou seja: T ε= ε (6.)

7 7/ sendo e o tensor das Deformações no novo sistema de Eios. Para o Estado de Deformação também se podem considerar etensões principais e direcções principais de etensão, sendo os seus valores calculados de forma análoga ao considerado para o Estado de Tensão num ponto. A Equação Característica toma neste caso a forma: 3 2 ε + I1ε I2ε+ I3= 0 (6.11) sendo I 1 = ε + ε + ε I = ε ε + ε ε + ε ε ε ε ε I = ε ε ε + 2ε ε ε ε ε ε ε ε ε Deformação Volumétrica A Deformação Volumétrica é por definição a variação de volume sofrida no processo de deformação, dv = V*-V, por unidade de volume do sólido elementar, V. Designando por V, o volume inicial de um paralelepípedo elementar e por V* o volume do paralelepípedo deformado e calculando estes volumes em termos das dimensões do paralelepípedo tem-se V = ddd * V = ( 1+ ε)( 1+ ε)( 1+ ε ) ddd (6.12) dv=v*-v A deformação volumétrica, ε v, é de acordo com a definição V* V ( 1+ ε)( 1+ ε)( 1+ ε) ddd ddd ε v = = (6.13) V ddd ou seja εv= dv = ( 1 + ε)( 1 + ε)( 1 + ε ) 1 = ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε V Admitindo que se tratam de pequenas deformações e despreando os infinitésimos de ordem superior à 1ª, obtém-se: εv ε+ ε+ ε = I 1 (6.14) sendo I 1 o 1º Invariante do Tensor das Deformações. A Etensão média ou hidrostática é: 1 ε + ε + ε εm = ε v= (6.15) 3 3 O tensor das Deformações de Desvio é:

8 8/ ε εm ε ε εd = ε ε εm ε ε ε ε ε m 6- Casos Particulares do Estado de Deformação (6.16) Os casos Particulares considerados mais relevantes são: Estado Uniforme - As Distorções são nulas e a etensão em qualquer direcção é constante. O Tensor das Deformações é neste caso ε 0 0 ε= 0 0 ε (6.17) 0 0 ε Estado Uniaial ou Simples - Uma das Etensões é diferente de ero, sendo nulas todas as outras componentes do Tensor das Deformações. Este tensor é neste caso ε 0 0 ε= (6.18) Estado Plano de Deformação - Um estado de Deformação para o qual em todos os pontos do corpo uma das Etensões Principais é nula, sendo a direcção correspondente sempre a mesma. As componentes do tensor das Deformações são neste caso ε ε 0 ε= 0 ε ε (6.19) Estado Distorcional Simples - As etensões são todas nulas e só uma das distorções é diferente de ero. As componentes do tensor das Deformações são neste caso 0 ε 0 ε= 0 0 ε (6.20) Problemas Propostos para Resolução na Aula 1. Considere um ponto de num estado de deformação plana, as componentes da deformação associadas com os eios O e O são: ε = 250 ; ε = 150 ; γ = 600 Determine as Etensões Principais e Direcções Principais de Deformação. 2. Considere o tensor das deformações num ponto do sólido. As componentes são:

9 9/ ε = ij a)determine as Etensões Principais. b)determine as Orientações das Etensões Principais. 3. Considere o tensor das deformações abaio indicado ε ij 30 = e determine a dilatação volumétrica. 8- Problemas Propostos para Resolução nas Horas de Estudo 1. Considere o tensor das deformações num ponto do sólido. As componentes são: εij = a)determine as Etensões Principais, b)determine as Orientações das Etensões Principais, c) Determine a Dilatação Volumétrica, d) Determine a deformação de corte máima. 9- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995, Páginas Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, Páginas J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia. No Final da Aula deve estar capa de Responder a questões tais como: - O que se entende por Etensão - O que se entende por Distorção - Diga o que representam as componentes do tensor das Deformações

10 - Dedua as Epressões que relacionam as deformações com os deslocamentos - Diga o que entende por Deformação Volumétrica - etc. /