MOVIMENTO OSCILATÓRIO

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Davi Molinari Laranjeira
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1 MOVIMENO OSCILAÓRIO Força proporcional ao deslocamento Movimento periódico ou oscilatório Conservação da energia mecânica Movimento harmónico simples MOVIMENO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) Um movimento diz-se do tipo harmónico simples, quando é representado pela epressão: A cos( ω t + φ ) A amplitude máima do movimento. φ - fase inicial do movimento. ω - frequência angular Ao conjunto (ωt+φ) dá-se o nome de fase Ao tempo que demora uma partícula a eecutar um ciclo completo dá-se o nome de período. Usando esta definição e o facto de um ciclo corresponder a π é possível deduzir a relação, substituindo na epressão (t) o tempo por t+: ω π A frequência é definida como o inverso do período: f

2 Para determinar a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS: d v dt dv a ω dt ωasen( ωt + φ ) Acos( ωt + φ) v a má má a ω ωa ω A As relações de fase entre estas grandezas são dadas pelo gráfico: Para calcular A em função de v 0, 0 e ω, usar as epressões: 0 Acosφ e v0 ωasenφ E obtém-se: tgφ v0 ω 0 e A 0 + v0 ω MASSA LIGADA A UMA MOLA Atendendo a que uma massa ligada a uma mola está sujeita a uma força: F k e comparando com os resultados obtidos para o MHS, facilmente se conclui que, para este sistema: k ω e, portanto : π m m k

3 Sejam analisados dois casos distintos: CASO I: A massa é puada até um deslocamento 0 e largada sem velocidade inicial. Acosωt v Aωsenωt a Aω cosωt CASO II: É conferida uma determinada velocidade à massa, v 0, a partir da posição de equilíbrio. v ω senωt v v0cosωt a ωv0senωt 0 Os pêndulos simples, os estados vibracionais das moléculas, os campos electromagnéticos podem também ser descritos, sob determinadas condições, por este formalismo. ENERGIA DE UMA MASSA LIGADA A UMA MOLA (OHS) Admitindo que não eiste atrito no movimento de uma massa ligada a uma mola, então a soma das energias cinética e potencial, mantém-se constante: Obtendo-se: E C + E P mv + k te c E M ( OHS ) ka Como resumo, poderemos usar o seguinte quadro: t v a E C E P 0 A 0 -ω A 0 0.5kA /4 0 -ωa 0 0.5kA 0 / -A 0 ω A 0 0.5kA 3/4 0 ωa 0 0.5kA 0 A 0 -ω A 0 0.5kA 3

4 MOVIMENO OndulaÓRIO Eigem: Ondas mecânicas ) uma fonte ) um meio que possa ser perturbado 3) uma forma de ligação entre as partículas que constituem esse meio Quanto à relação entre a direcção de propagação e a direcção da perturbação das partículas do meio, podem ser: ) ondas longitudinais ) ondas transversais Eemplo de onda longitudinal São caracterizadas por: ) amplitude deslocamento máimo das partículas ) comprimento de onda distância mínima entre quaisquer dois pontos da onda que estejam no mesmo estado 3) frequência número de ciclos por unidade de tempo 4) velocidade de propagação da onda Eemplo de onda transversal PROPAGAÇÃO DE ONDAS A UMA DIMENSÃO Uma onda que se propaga tem um movimento caracterizado por uma função do tipo (admitindo que a onda se propaga no sentido positivo do eio), à qual se dá o nome de função de onda: y f ( vt) 4

5 Reparar que neste tipo de movimento temos a considerar duas velocidades: a velocidade de propagação e a velocidade linear das partículas do meio. SOBREPOSIÇÃO E INERFERÊNCIA DE ONDAS Na propagação de ondas é, em geral, válido o princípio da sobreposição: Quando uma ou mais ondas partilham simultaneamente o mesmo espaço, a função de onda resultante é a soma algébrica das funções de onda individuais.. Ou seja, não eiste destruição de ondas por interferência com outras ondas. Interferência construtiva Interferência destrutiva PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM CORDAS A propagação de ondas em cordas obedece à epressão: v µ, onde v é a velocidade de propagação da onda, a tensão da corda e µ a densidade de massa da corda por unidade de comprimento. Para a demonstrar atente-se na figura seguinte, admitindo que uma pequena porção da corda pode ser aproimada a um arco de circunferência e que a aceleração, sendo normal, será dada por v /r. Admita-se ainda que, para ângulos pequenos, sen(α) α. 5

6 REFLEXÃO E RANSMISSÃO DE ONDAS O aparecimento de uma fronteira na propagação de ondas pode causar refleão total ou parcial da energia transportada pela onda: Eemplos de refleão total 6

7 Eemplos de refleão parcial ONDAS SINUSOIDAIS Uma classe importante de ondas são as chamadas ondas sinusoidais, cuja função de onda, quando esta se propaga segundo o sentido positivo do eio, tem a epressão,: π y Asen vt λ ( ), onde A é a amplitude e λ o comprimento de onda. Neste caso o período da onda é o tempo que a onda leva a percorrer um comprimento de onda e, portanto, temos a relação: v λ O carácter periódico da onda é evidenciado quando a função de onda toma a forma: y A Introduzindo as variáveis: t π λ sen, y repete-se para nλ e para t n. nº de onda: forma: π π k e frequência angular: ω πf λ y Asen( k, a função de onda, toma a ω t) Repare-se que nas epressões anteriores y 0, para t 0 e para 0, numa situação mais geral: y Asen( k ωt φ ) Reparar que, uma vez mais, é possível obter a epressão da velocidade linear das partículas e a sua aceleração, por derivação de y. v wacos( k ωt φ ) e a w Asen( k ωt φ ) 7

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Complementos de Fluidos A consequência mais visível da viscosidade de um fluido é o seu perfil de velocidades no interior de um tubo: Ver nota 1 A equação de Bernoulli é, então, substituída pela expressão: