No eixo das ordenadas o ponto B tem abcissa nula (x 1 = 0) pelo que a equação se reduz a 20x 2 = 300. Madeira. C(10,10) não é admissível.

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1 IV. MÉTODO GRÁFICO O método gráfico só permite resolver problemas de PL de pequena dimensão (duas ou três variáveis) não sendo pois de considerar para resolução de problemas da vida real. Porque a determinação da solução óptima de modelos de PL pelo método gráfico permite visualizar um conjunto de situações que facilitam a compreensão da técnica de cálculo do método do Simple é de interesse a sua apresentação breve. Considere-se o modelo de PL apresentado no capítulo I para Optimizar a Produção de Mesas e Cadeiras: Ma f(x) = ( função de lucro) sujeito a: + (madeira) 5 + (horas de trabalho), e Int. O modelo na forma-padrão Simple é: Ma f(x) = sujeito a: = =, e Int ;, em que e representam, respectivamente, a madeira e as horas de trabalho não utilizadas na produção (variáveis de folga).. Graficar as restrições Considere-se a ª restrição +. Relaando a condição da desigualdade tem-se + = que sendo a equação de uma recta pode ser representada num sistema cartesiano calculando as coordenadas dos pontos A e B em que a recta intersecta os eios coordenados. No eio das abcissas o ponto A tem ordenada nula ( = ) pelo que a equação se reduz a = ou seja =. O ponto A tem pois as coordenadas (,). No eio das ordenadas o ponto B tem abcissa nula ( = ) pelo que a equação se reduz a = ou seja =. O ponto B tem pois as coordenadas (,). Graficando tem-se: B D(,6) Madeira C(,) não é admissível Veja-se a região admissível limitada pelos eios coordenados (, ) e pela recta de restrição (observar os pontos C e D). Admissível A IV-

2 Considerando agora a ª restrição 5 + e as restrições lógicas, tem-se: Madeira Horas Conveo de soluções a. Caso Particular Admita-se a necessidade de graficar a restrição Neste caso a recta - = passa na origem dos eios (,). Outro ponto da recta pode calcularse atribuindo um valor a (ou ) e resolvendo a equação em ordem a ( ). Considerando, por eemplo, = 6 tem-se = A recta é traçada pelos pontos (,) e (6,) como mostra a figura seguinte: 6. Variáveis de Folga A ª restrição na forma-padrão do Simple é + + =. A variável de folga representa o desvio entre a madeira consumida ( + ) e a madeira disponível (). Para que seja admissível (viável; aceitável) é necessário que o consumo de madeira tenha um dos seguintes valores: + = (não há consumo pelo que sobra = ) + < (consumo inferior à disponibilidade; sobra = - - ) + = (consumo igual à disponibilidade; não há sobra pelo que = ) Se o consumo eceder a disponibilidade tem-se + > ; neste caso tem-se < o que não é admissível. IV-

3 Na figura seguinte apresentam-se as situações referidas: = (restrição saturada) < (não admissível) Conveo de soluções > (admissível) = (admissível). Conveo de Soluções Como foi referido no capítulo anterior, o conveo de soluções pode ser fechado, ilimitado ou vazio. Nas alíneas seguintes apresentam-se modelos de PL associados aos três tipos referidos. a. Fechado Considere-se o modelo apresentado na secção anterior: Ma f(x) = s.a.: + 5 +, e Int. Veja-se na figura seguinte o conveo de soluções e respectivos etremos: Conveo de soluções b. Ilimitado Considere-se o modelo Ma f(x) = + s.a.: , IV-

4 Veja-se na figura seguinte o conveo de soluções e os etremos com solução finita: Conveo de soluções ilimitado - c. Vazio Considere-se o modelo: Ma f(x) = + s.a.: , Veja-se na figura seguinte que o conveo de soluções é vazio: 5. Etremos do Conveo de Soluções Considere-se o modelo padrão proposto na introdução deste capítulo. Atendendo às regiões do plano onde as variáveis de folga têm valores negativo (não admissível), nulo (restrição saturada) e positivo (recurso abundante) é possível determinar graficamente o vector X j da solução associada a cada um dos etremos do conveo. Conhecidas as coordenadas dos etremos é possível calcular o valor da função objectivo em cada um deles e por comparação determinar a solução óptima. Na figura seguinte estão assinalados os etremos X, X, X e X : IV-

5 Madeira X X Horas Conveo de soluções X X A solução X é = porque situando-se o etremo na origem dos eios tem abcissa e ordenada nulas. As variáveis de folga têm valor positivo dada a posição do ponto relativamente às rectas de restrição da madeira e das horas. Sendo o sistema de equações da forma-padrão: = = determinam-se = e =. O valor da função objectivo é f(x )= = A solução X é = 8 porque situando-se o etremo no eio das ordenadas tem abcissa nula e ordenada ou seja = e =. A variável de folga é nula porque o etremo pertence à recta de restrição das horas de trabalho (verifica-se a igualdade 5 + = ). Sendo o sistema de equações da forma-padrão: = = conhecendo os valores de,, determina-se =8. Trata-se de um valor positivo dada a posição do etremo relativamente à recta de restrição da madeira. O valor da função objectivo é f(x )= = 88 A solução X é escala). 9 = em que as coordenadas e foram obtidas graficamente ( a figura está à IV-5

6 Estas duas coordenadas podem determinar-se analiticamente atendendo a que o ponto é intersecção de duas rectas de que se conhecem as respectivas equações: + = = 5 + = = 9 As variáveis de folga e são nulas porque o etremo pertence às rectas de restrição da madeira e das horas de trabalho (restrições saturadas). O valor da função objectivo é f(x )= = 96. A solução X é = porque situando-se o etremo no eio das abcissas tem ordenada nula e abcissa 6 ou seja = e =. A variável de folga é nula porque o etremo pertence à recta de restrição da madeira (verifica-se a igualdade + = ). No sistema de equações da forma-padrão conhecendo os valores de,, determina-se =6. O valor da função objectivo é f(x )= = 6. Sabendo-se que a solução óptima é um etremo do conveo e comparando os valores da função objectivo conclui-se que a solução óptima é: X * = X = 9 = com f ( X ) = 96 u. m. Da leitura da solução conclui-se: plano óptimo de produção : mesas e 9 cadeiras recursos: a madeira e as horas de trabalho são empregues na totalidade (não há sobras) lucro máimo = 96 u.m. 5. Solução Óptima Na secção anterior detectou-se a solução óptima após eame de todos os etremos do conveo de soluções. Nesta secção procederemos à determinação gráfica do ponto óptimo de forma mais rápida aplicando o conceito de recta de nível de um plano (ver Cap. I - Interpretação geométrica). A função objectivo é f(x) = Considerando f(x)= (por eemplo) define-se a equação = de uma recta de nível do plano que é lugar geométrico dos valores de f(x). Esta recta intersecta o eio das abcissas em = e o das ordenadas em =. Qualquer ponto desta recta tem coordenadas e a que corresponde f(x)=. Sabendo que em qualquer plano todas as rectas de nível são paralelas entre si é possível traçar na origem dos eios a recta de nível onde f(x)=. Deste modo fica a conhecer-se a posição relativa das IV-6

7 rectas de nível "" e "" e assim conhece-se a direcção e sentido de aumento da função objectivo. Veja-se na figura seguinte as duas rectas de nível e a direcção e sentido de aumento de f(x): Direcção e Sentido do aumento de f(x) f(x)= f(x)= Resta agora identificar a última das rectas de nível que se pode traçar contendo um etremo do conveo de soluções. Na figura conclui-se que o ponto de coordenadas =, =9 é o etremo óptimo. Porque é único a solução óptima é Única. 6. Solução Óptima Indeterminada Uma solução óptima diz-se Indeterminada quando o máimo (ou mínimo) da função objectivo se verifica em mais do que um ponto do conveo de soluções. Considere-se o modelo de PL: Ma f(x) = + ( função de lucro) sujeito a: +.5 +, e determine-se geometricamente a solução óptima (ver a figura seguinte): A "última" recta de nível coincide com a recta de f(x)=6 X X Direcção e Sentido do aumento de f(x) restrição.5 + =. Há dois etremos onde a solução é óptima. f(x)= IV-7

8 IV-8 Os pontos X 8 = = e X 9 = = são soluções óptimas com valor f(x)=. Veja-se agora que qualquer ponto do segmento X X é também ponto óptimo. Os pontos do segmento podem obter-se por combinação linear convea pelo que a solução óptima é: X X α α ) ; f X Ma ( ) * =