4 Estática das estruturas espaciais 1

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Giulia Meneses Camilo
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1 35 4 Estática das estruturas espaciais 4. omponentes Retangulares de uma orça Espacial. Vamos discutir os problemas que envolvem as três dimensões do espaço. onsideremos uma força atuante na origem de um sistema de coordenadas retangulares, e, conforme mostra a figura abaio (figura (a)). força pode ser decomposta em uma componente vertical e uma componente horiontal h (figura (b)) dentro do plano. θ φ θ h E h φ s correspondentes componentes escalares são: = cos θ = senθ (6) h Mas h pode ser decomposta em duas componentes retangulares, e segundo os eios e, respectivamente (figura (c)). btemos, então, as seguintes epressões para as componentes escalares correspondentes: = cos φ = sen θ cosφ h = sen φ = sen θ senφ h (7) força foi decomposta em três componentes vetoriais retangulares,, e, orientadas segundo os três eios coordenados. plicando o teorema de Pitágoras aos triângulos e da igura acima, escrevemos ( ) ( ) ( ) = = + = + h ( ) ( ) ( ) h = = + = + Mecânica vetorial para engenheiros - erdinand P. eer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 976

2 36 u seja, = + = + + e a relação a intensidade de e suas correspondentes h componentes escalares retangulares é: = + + intensidade da força. (8) Esta relação entre a força E e suas três componentes, e, é visualiada mais facilmente através da figura abaio. θ θ θ E E E = cos θ = cos θ = (9) s três ângulos θ, θ, e θ, definem a direção da força. s co-senos de θ, θ, e θ, são conhecidos como os co-senos diretores da força. Usando os vetores unitários i, j e k, orientados segundo os eios, e, respectivamente podemos eprimir na forma: = i + j+ k (20) onde as componentes escalares, e são: = cos θ, = cos θ e =. (2)

3 37 Eemplo. Uma força de 000 N forma ângulos de 60, 45 e 20, respectivamente, com os eios, e. eterminar as componentes, e, da força. = cos θ, = cos θ e = = cos θ = 000 0,5 = 500 N = cos θ = 000 0,707 = 707 N = cos θ = 000 (-0,5) = -500 N = i + j+ k (N) = 500 i j 500 k omo no caso de problemas bidimensionais, o sinal positivo indica que a componente tem mesmo sentido do eio correspondente e o sinal negativo indica que ela tem sentido oposto. ( ) = cos θ i+ cos θ j+ cos θ k = i+ j+ cos θ k =. λ Sendo λ = i+ j+ k = (22) um vetor unitário com componentes λ = cos θ λ = cos θ λ = (23) evemos observar que os valores dos três ângulos θ, θ e θ, não são independentes. soma dos quadrados das componentes de λ é igual ao quadrado de sua intensidade. λ = λ + λ + λ = ou cos θ cos θ cos θ + + = (24) Quando são dadas as componentes de uma força,, e, a intensidade da força é obtida por = + + e os co-senos diretores (eq. 9) também podem ser obtidos conforme a epressão abaio: cos θ cos θ cos θ (25)

4 38 Eemplo 2. Urna força tem as componentes = 200 N, = -300 N e = 600 N. eterminar a intensidade e os ângulos θ, θ e θ, que ela forma com os eios coordenados. a) equação (8) = + + =700N b) de (25) θ = 73,4 θ = 5,4 e θ = = 3,0 4.2 dição de orças oncorrentes no Espaço resultante R de duas ou mais forças no espaço é dada pela soma de suas componentes retangulares. s métodos gráficos e trigonométricos não são geralmente práticos no caso de forças no espaço. melhor método é análogo ao usado para as forças coplanares. R = Σ decompomos cada força em suas componentes retangulares e escrevemos ( ) ( ) ( ) ( ) R i+ R j+ R k =Σ i+ j+ k =Σ i+σ j+σ k da qual se segue que R =Σ R =Σ R =Σ (3) intensidade da resultante R e os ângulos θ, θ e θ (formados com os eios coordenados) são obtidos: R = R + R + R (32) (33) R R R R

5 39 Eercício 0 cabo de sustentação de uma torre está fiado em. tração no cabo é de kgf. eterminar (a) as componentes, e da força atuante sobre escora, (b) os ângulos θ, θ e θ que definem a direção e o sentido da força. a) omponentes da força. linha de ação da força atuante sobre o vínculo passa por e e está orientada de para. s componentes do vetor que tenham a mesma direção da força são: d = -30 m d = 60 m d = 22,5 m distância de e é d = d + d + d = 70,7 m Introduindo os vetores unitários i, j e k, segundo os eios coordenados, e o vetor unitário λ ao longo de, escrevemos = -(30 m) i + (60 m) j + (22,5 m) k = (70,7 m) λ () = i + j + k = (2.500 kgf) λ (2) Epressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários em () e (2), temos 2500 kgf 30 m 60 m 22,5 m 70,7 m e obtemos = -060 kgf = +220 kgf = +794 kgf b) ireção da orça. Relembrando que as componentes do vetor unitário λ são respectivamente iguais aos co-senos diretores de (eq. 22): λ = i+ j+ k = (22) = -(060 kgf) i + (220 kgf) j + (794 kgf) k = (2500 kgf) λ

6 40 Epressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários nas duas equações anteriores, temos θ = 80-64,9º = 5,, θ = 32,0 e θ = 7,5 Este resultado pode também ser obtido pelo uso das proporções que envolvem as componentes do vetor ao invés das referentes às componentes de. Eercício 02 fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados ao caminhão em e puados por dois guinchos e como é mostrado. eterminar a resultante das forças eercidas sobre o caminhão pelos dois cabos, sabendo-se que a tração no cabo é kgf e no de.500 kgf. Solução. s forças eercidas por cada cabo sobre o caminhão são decompostas nas componentes, e. Primeiro determinamos as componentes e intensidades dos vetores e, medindo-os do caminhão em direção aos guinchos. abo (e para ) d = -26 m d = +25 m d, = +20 m d = 4,2 m abo (e para ) d = -26 m d = -25 m d= +3 m d = 47,5 m

7 4 enominando por i, j e k os vetores unitários segundo os eios coordenados e por λ o vetor unitário segundo, escrevemos = -(26 m) i +(25 m) j + (20 m) k = (4,2 m) λ T = i + j + k = (2.000 kgf) λ e encontramos as componentes de T pelas proporções T = - (.260 kgf) i + (.22 kgf) j + (970 kgf) k eterminando por λ o vetor unitário segundo, escrevemos de modo análogo = -(26 m) i +(3 m) j - (25 m) k = (47,5 m) λ T = i + j + k = (500 kgf) λ e encontramos as componentes de T pelas proporções. Temos pois T = - (820 kgf) i + (978 kgf) j + (788 kgf) k resultante R das forças eercidas pelos dois cabos é: R = T + T = -(2.080 kgf) i + (2.90 kgf) j + (82 kgf) k intensidade R da resultante é R = R + R + R = ((-2.080) 2 + (2.90) 2 + (82) 2 ) = kgf e λ R = i + j + k = R = -(2.080 kgf) i + (2.90 kgf) j + (82 kgf) k e pelas proporções R R R R 2080 kgf kgf + 82 kgf kgf θ = 80-46,6º = 33,4, θ = 43,7 e θ = 86,6

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