RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II MOMENTO DE INÉRCIA Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Apresentar os conceitos: Momento de inércia Momento polar de inércia Produto de Inércia Eios Principais de Inércia Calcular propriedades geométricas com relação a quaisquer eios Determinar os eios principais e calcular os momentos principais de inércia

3 Material de Estudo Material Notas de Aula Apresentação Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) Acesso ao Material (Aula 2) (Aula 2) Resistência dos Materiais (Beer, Johnston, Dewolf), páginas 728 a 732 Biblioteca Virtual, páginas 570 a 576.

4 RELEMBRANDO: A FORMA DÁ O TOM

5 Características das Figuras Planas Perímetro Área Momento Estático cálculo do centróide Momento de Inércia... Mas antes, vamos relembrar um pouco!

6 Momento Estático Cálculo do Momento Estático S = A da S = A da

7 Momentos Estáticos b h b S = b h2 2 S = h b2 2 h S = b h2 6 S = h b2 6 r S = π r 3 S = 0

8 Distância ao Centro de Gravidade b h b = g = h 2 = g = b 2 h = g = h 3 = g = b 3 r = g = r = g = 0

9 Distância ao Centro de Gravidade r = g = 4 r 3 π = g = 0 r = g = 4 r 3 π = g = 4 r 3 π

10 MOMENTO DE INÉRCIA

11 Momento de Inércia Momento Estático (ou de 1ª Ordem) S = A d Mede ação da distribuição de massa de um corpo Momento de Inércia (ou de 2ª Ordem) Mede a inércia de um corpo Resistência a ser colocado em movimento Massa Momento de Inércia I = A d 2

12 Momento de Inércia Cálculo do Momento Retangular de Inércia I = A 2 da I = A 2 da Sempre positivos! Unidade I = [L 4 ]

13 Momento de Inércia Eemplo b h da d I = A 2 da h = 2 b d 0 = b h3 3

14 Momento de Inércia Se houvesse duas áreas, resultado igual b h A1 A2 I = A1 2 da + 2 da A2 h = 2 b 2 d 0 h + 2 b 2 d 0 = = b h3 6 + b h3 6 = b h3 3

15 Momento de Inércia h Outro Eemplo f() d da da = f() d f() = b b h S = b A h 2 da = (b 2 0 h = 2 (b 0 b 3 h ) d = b h ) d b h3 12

16 Momento Estático E nesse outro caso? b1 b2 h A1 A2 I = A1 2 da + 2 da A2 = b1 h3 4 + b2 h3 12

17 EIXO CENTRAL DE INÉRCIA

18 Eio Central de Inércia Eio Central de Inércia Passa pelo centróide do corpo Eemplo b h/2 da d h/2 I = A 2 da h/2 = 2 b d h/2 = b h3 12

19 Eio Central de Inércia O eio central, dentre os paralelos a ele, é o eio de menor inércia Passa pelo centróide do corpo Eio Central de Inércia Eemplo b h/2 da d h/2 I = A 2 da h/2 = 2 b d h/2 = b h3 12

20 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

21 Momento Polar de Inércia Cálculo do Momento Polar de Inércia J O = A ρ 2 da Inércia relativa a um ponto Importante nas torções Sempre positivo! Unidade J = [L 4 ]

22 Momento de Inércia Eemplo da O ρ r dρ J O = A ρ 2 da r = ρ 2 2 π ρ dρ 0 = π r4 2

23 Momento Polar de Inércia Relação com Momento de Inércia O ρ ρ 2 = J O = ( ) da A

24 Momento Polar de Inércia Relação com Momento de Inércia J O = A ( ) da J O = A 2 da + 2 da A J O = I + I

25 PRODUTO DE INÉRCIA

26 Produto de Inércia Se isso é momento de inércia... I = I = O que seria isso? I = A A A 2 da 2 da da

27 Produto de Inércia Produto de Inércia: será usado depois I = da A Pode ser positivo ou negativo [I ] = m 4 I < 0 I > 0 I > 0 I < 0

28 Produto de Inércia Produto de Inércia: será usado depois I = da A Pode ser positivo ou negativo [I ] = m 4 I < 0 I > 0 Quando um dos eios é de simetria, o produto de inércia será sempre ZERO! I > 0 I < 0

29 TRANSLAÇÃO DE EIXO NO MOMENTO DE INÉRCIA

30 Translação de Eios Momento de Inércia (I conhecido) b h d I = A ( + d) 2 da

31 Translação de Eios Momento de Inércia (I conhecido) I = A ( + d) 2 da I = A 2 da + 2 d da A + d 2 da A I = I + 2 d S + d 2 A Se era o eio que passa pelo centróide... I = I + A d 2

32 Translação de Eios Analogamente, para e passando pelo centróide I = I + A d 2 I = I + A d 2 Como I e I eios centrais, d positivo E também... se O é o centróide... J O = J O + A d 2

33 Eercício Calcular I ,5

34 Eercício Calcular I - medidas em metros 7 6 A2 A1 4 4 A3 5 1,5 I = I A1 + I A2 + I A3 I = b1 h13 + b2 h b2 h2 d 2 I = 1, , b3 h33 3 = 749,3 m 4

35 TRANSLAÇÃO DE EIXO NO PRODUTO DE INÉRCIA

36 Translação de Eios Pode-se demonstrar que se os eios passam pelo centróide, isso é válido... I = I + A d 2 I = I + A d 2 Da mesma forma deduz-se que... I = I + A d d

37 Eercício Calcular I 250mm 400mm 100mm

38 Eercício Y Calcular I A 1 X 250mm A2 A 3 400mm I A2 = 0 I A1 = I A1 +A1 d d 100mm = (-250) 200 = -1, mm 4 I A3 = I A3 +A3 d d = (-200) = -1, mm 4

39 Eercício Y Calcular I A 1 X 250mm A2 A 3 400mm 100mm I = I A1 +I A2 +I A3 = = 0-1, , = -3, mm 4

40 ROTAÇÃO DE EIXOS DE INÉRCIA

41 Rotação de Eios Conhecidos I, I e I Como calcular I, I e I? =.cos θ +.sen θ =.cos θ -.sen θ di = 2.dA di = 2.dA da θ Realizando a integral de di e di...

42 Rotação de Eios Relações: I = I + I 2 + I I 2 da θ cos 2θ I sin 2θ I = I + I 2 I I 2 cos 2θ + I sin 2θ I = I I 2 J o permanece o mesmo! sin 2θ + I cos 2θ

43 EIXOS PRINCIPAIS E MOMENTOS PRINCIPAIS

44 Eios Principais e Momentos Principais Para um dado centro de inércia O......eistem infinitos pares de eios Um deles: máimo e mínimo momentos I e I O

45 Eios Principais e Momentos Principais Para um dado centro de inércia O......eistem infinitos pares de eios Um deles: máimo e mínimo momentos I e I Em geral: considera-se o O no centróide O

46 Eios Principais e Momentos Principais Um desses pares: momento máimo mínimo Podemos achar esse par de eios Basta derivar di /dθ = 0 I = I + I + I I cos 2θ I 2 2 sin 2θ Chegando à seguinte equação: tan 2θ p = 2 I I I

47 Eios Principais e Momentos Principais Essa equação: Tem duas raizes: I ma/min = I + I 2 Momentos Principais tan 2θ p = 2 I I I ± I + I I 2

48 Eios Principais e Momentos Principais E o ângulo pode ser calculado por: atan 2 I I I θ p = 2 Se eios cruzam no centróide, I = 0! Nesse caso, eios principais eios centrais...

49 EXERCÍCIO

50 Eercício (Em Dupla) Calcule o I, o I e o I no centróide Verifique se esses já são os eios principais Se não forem, calcule-os

51 PARA TREINAR

52 Para Treinar em Casa Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 578 e 579 Mínimos: Eercícios A.2 a A.6 Eercício A.11 Etras: Eercícios A.7 a A.10, A.12 a A.15 e A.17

53 CONCLUSÕES

54 Resumo Momento de Inércia e Momento Polar de Inércia Produto de Inércia Eios Centrais de Inércia Translação de Eios Rotação de Eios Eios Principais de Inércia Eercitar Eercícios Hibbeler / Material Didático

55 Próima Aula E a resistência? Esforços Aiais Tração e Compressão

56 PERGUNTAS?

57 BOM DESCANSO A TODOS!

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