Capítulo Aplicações do produto interno

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1 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 1 Capítulo Aplicações do produto interno Ortogonalidade entre vetores Ângulo entre vetores Projeção ortogonal A analogia entre elementos do R n e vetores pode ser elevada a um novo nível quando tomamos da geometria dos vetores os conceitos de ortogonalidade, projeção e ângulos para aplicá-los aos elementos do R n. Neste capítulo mostraremos três aplicações que envolvem esses conceitos e o produto interno, visto no capítulo anterior Ortogonalidade entre vetores r Uma outra aplicação do produto interno é descobrir se dois vetores são ou não ortogonais. Duas retas (r e s) são ortogonais ou perpendiculares se elas formarem um ângulo de 90 o entre elas (orto significa reto e gonos vem de ângulo), conforme a figura ao lado. s De modo semelhante, dois elementos do R, por eemplo, são ditos ortogonais se as suas representações vetoriais formarem um ângulo de 90 o entre elas (primeira figura a seguir). O mesmo vale para dois elementos do R 3, que serão ortogonais se fierem um ângulo de 90 o entre eles (segunda figura a seguir). Começando com dois vetores ortogonais e (no R ou no R 3 ), podemos representá-los como na primeira figura a seguir. Na segunda figura a seguir, também representamos a soma + e a subtração. + Pode-se ver da figura que os veotres + e têm o mesmo módulo e, portanto, têm a mesma norma, de modo que + = + = +, + =,. Usando a propriedade P do produto interno, podemos escrever, +, +, +, =, +, +, +,.

2 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 Utiliando a propriedade P3 do produto interno, temos, +, +, +, =,,, +,. De acordo com a propriedade P1 do produto interno, podemos escrever, +, +, =,, +,, =, 4, = 0, = 0, de modo que se e são ortogonais, então o produto escalar entre eles é nulo. Também podemos trilhar o caminho inverso para mostrar que, se,, então e são ortogonais. A demonstração feita vale tanto para vetores em duas dimensões quanto para vetores em três dimensões. Esta ideia pode ser generaliada para o R n e podemos faer a seguinte definição. Definição 1 - Dois elementos e do R n são ortogonais se o produto interno deles for nulo, isto é, se, = 0. Eemplo 1: verifique se os vetores = (1, 3, ) e = (, 4, 5) são ortogonais. Solução:, = (1, 3, ), (, 4, 5) = = 0, de modo que e são ortogonais. Eemplo : verifique se os vetores A = ( 1,3) e B = (1,4) são ortogonais. Solução: A, B = ( 1, 3), (1, 4) = = 11 0, de modo que A e B não são ortogonais. Eemplo 3: determine α de modo que os vetores C = (, 3, 1) e D = (1,, α) sejam ortogonais. Solução: para que C e D sejam ortogonais, devemos ter C, D = 0 (, 3, 1), (1,, α) = α = 0 α = Projeção ortogonal Uma aplicação importante do produto escalar é a projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor. Para entendê-la, vamos primeiro analisar dois vetores no plano ou no espaço, que podem ser representados pela figura ao lado caso consideremos o plano que contém os dois vetores. Dados dois vetores, e, entendemos por projeção do vetor sobre o vetor o vetor P que tem a mesma direção de e cujo módulo é o cateto adjacente P ao ângulo (ou seu complemento, conforme o caso) no triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pelo módulo de. A seguir, temos duas figuras que representam dois casos possíveis de projeção, dependendo do ângulo entre e. A projeção P tem a mesma direção que o vetor, de modo que P = α, onde α é algum número real, positivo no primeiro caso ( < 90 o ) e negativo no segundo caso ( > 90 o ). No caso em que = 90 o, a projeção ortogonal é o vetor nulo. P P

3 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 3 Considerando essas duas figuras, podemos montar um vetor A ortogonal ao vetor. Esse vetor A pode ser visto como sendo tal que P + A =, isto é, o vetor é a soma dele com o vetor P, de modo que P + A = A = P. A P Sendo A ortogonal (perpendicular) ao vetor, então o produto interno entre eles tem que ser nulo:,a = 0. Desenvolvendo esta epressão, obtemos: A P,A = 0, P = 0,,P = 0. Substituindo P pela sua epressão em temros de, ficamos com,,α = 0, α, = 0 α, =, α =,,. Portanto, a projeção do vetor sobre o vetor fica P =,,. Observação: também podemos escrever, =, de modo que a epressão para a projeção de sobre fica P =,. Vale notar que os mesmos resultados aqui obtidos para vetores em duas dimensões são válidos para vetores em três dimensões. Isto é por que, dados dois vetores no espaço, eiste sempre um plano que contenha esses dois vetores (primeira figura a seguir), de modo que o tratamento da ortogonalidade entre eles é idêntico ao que foi feito aqui. Outro fator de importância é que dois vetores não estão restritos a uma região do espaço, como acontece com segmentos de retas orientadas. Portanto, é sempre possível tomar duas representações de dois vetores distintos que tenham em comum o seu ponto de origem (segunda figura a seguir). O conceito de projeção ortogonal pode ser generaliado para elementos do R n, de acordo com a definição a seguir. Definição - A projeção ortogonal de um elemento do R n sobre outro elemento do R n não nulo é dada por P =,,.

4 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 4 Eemplo 1: calcule a projeção P do par ordenado = (3,) sobre o par ordenado = (5, 1) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: P =,, = (5, 1) = + ( 1) 6 (5, 1) = 1 (5, 1) = ( ) 5, P Eemplo : calcule a projeção P da terna ordenada = (5,4,) sobre a terna ordenada = (,5,4) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: P =,, = (, 6, 4) = = (, 6, 4) = (, 6, 4) = = 4 ( 8 7 (, 6, 4) = 7, 4 7, 16 ) 7 (1, 14, 3, 43,, 8) P Vale lembrar que não é necessário desenhar os diagramas dos elementos do R ou do R 3 para calcular as projeções. O próimo eemplo mostra a projeção de vetores no R 5, onde não há a possibilidade de visualiá-la. Eemplo 3: calcule a projeção P do elemento = ( 1,3,5,4, ) do R 5 sobre o elemento = (, 1,0,,4) do R 5. Solução: P =,, = (, 1, 0,, 4) = (, 1, 0,, 4) = 1 (, 1, 0,, 4). 5 Uma aplicação da projeção de vetores no mercado financeiro é dada no próimo eemplo, onde ela é usada como uma medida de correlação entre duas variáveis. Eemplo 4: Correlação no mercado financeiro. Os dois gráficos a seguir mostram a evolução do índice Dow Jones, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Iorque, e do Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa de Valores de São Paulo, normaliados para que pudessem ser comparados, durante o chamado black monda (segunda feira negra), quando as bolsas mundiais cairam mais de 0 % em um dia. v v Dow Jones (1987) 1.8 Ibovespa (1987) t Alguns pesquisadores acreditam que, em situações de crise, os mercados mundiais comportam-se de forma semelhante, que é o que indicam os dois gráficos acima. Uma medida de quanto os mercados estão relacionados é dada pela estatística e tem o nome de correlação. No entanto, podemos utiliar o conceito t

5 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 5 de projeção de um vetor sobre o outro para medir essa correlação entre os dois índices. Os vetores a seguir armaenam os índices normaliados das duas bolsas de valores citadas entre os dias 13/10/1987 e 17/11/1987, somente nos dias em que ambas as bolsas operaram ( para o Dow Jones e para o Ibovespa): = (1,, 1,19, 1,13, 0,88, 0,93, 1,0, 0,98, 0,98, 0,90, 0,93, 0,93, 0,98, 1,00, 1,01), = (1,3, 1,5, 1,05, 1,07, 0,98, 0,98, 0,89, 0,91, 0,9, 0,97, 0,97, 0,96, 0,93, 0,94). A projeção do vetor sobre o vetor (ambos elementos do R 14 ) fica P 14,38 14,99 1,00, o que indica que ambos os vetores são quase idênticos. Isto mostra que há uma alta correlação entre esses dois índices no intervalo de tempo analisado Ângulo entre vetores Vamos agora utiliar a representação vetorial de elementos do R n, que chamamos, por analogia, de vetores, para introduir a ideia de ângulo entre vetores. Entendemos este como sendo o menor ângulo entre dois vetores, como ilustrado na figura ao lado. O menor ângulo entre os dois vetores ao lado é o ângulo α. Nossa intenção será relacionar esse conceito ao produto interno entre esses dois vetores. Começamos retornando à figura da projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor para ângulos < 90 o (primeira figura) e > 90 o (segunda figura). α β P P Analisando primeiro o caso em que < 90 o, podemos ver que cos = P P = cos. Da epressão para a projeção P de sobre, temos P =,, P =, =,, onde utiliamos a propriedade N3 da norma: α = α. Como é sempre positiva, então podemos escrever,, P = =. Olhando novamente a figura para < 90 o, podemos ver que P tem o mesmo sentido de, de modo que α =, > 0, o que significa que, > 0. Sendo assim,, =, e P =, Comparando agora esta epressão com aquela obtida em termos do cosseno do ângulo entre os vetores, ficamos com cos =, cos =,..

6 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 6 Analisando, agora, o caso > 90 o (a figura é reproduida ao lado), podemos ver que P é o cateto adjacente ao ângulo ϕ = 180 o, de modo que cos ϕ = P cos (180 o ) = P Utiliando a fórmula cos (a + b) = cos acos b sen asen b, obtemos. ϕ P cos ϕ = cos (180 o ) = cos 180 o cos ( ) + sen 180 o sen ( ) = 1 cos ( ) + 0 sen ( ). Como cos ( ) = cos, então cos ϕ = cos. Também podemos observar da figura que P tem o sentido oposto ao do vetor, de modo que, < 0 e, consequentemente,, =,. Portanto, P = cos e P =,. Igualando as duas equações, temos, novamente, cos =, cos =,. Como esta fórmula é válida tanto para < 90 o quanto para > 90 o, e como para = 90 o esta igualdade também é válida sempre, podemos generaliar essa fórmula para definir o ângulo entre elementos do R n em geral, o que é feito na definição a seguir. Definição 3 - Dois elementos e do R n formam entre si um ângulo dado pela equação cos =,. Observação: podemos, inclusive, utiliar a definição acima para dar uma definição mais geométrica do produto interno entre dois vetores, que poderá ser escrito como, = cos, isto é, ele é o produto das normas (módulos) dos dois vetores pelo cosseno do ângulo entre eles. Eemplo 1: represente vetorialmente os pares ordenados = (3,1) e = ( 3, 1) e calcule o ângulo entre eles. Solução: temos que cos =,. O produto interno fica, = 9 1 = 10. = = = 10, = ( 3) + ( 1) = = a Substituindo esses valores na fórmula para o cosseno do ângulo, temos cos = = = 1. Portanto, = arccos ( 1) = 180 o. b

7 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 7 Eemplo : represente vetorialmente as ternas ordenadas = (1, 1, 4) e = ( 1,, ) e calcule o ângulo entre elas. Solução: temos que cos =,. O produto interno fica, = = 9. As normas dos dois vetores são dados por = = 9 = 3, = = 18 =.3 = 3. Substituindo esses valores na fórmula para o cosseno do ângulo, temos u v Portanto, = arccos cos = = 1. 1 = 45 o o Eemplo 3: represente vetorialmente os pares ordenados = (,1) e = (1, ) e calcule o ângulo entre eles. Solução: temos que cos =,. 1 u O produto interno fica, = = 0. Como nenhum dos dois vetores é nulo, então não é necessário calcular as suas normas, pois 0 cos = = 0. Então, é o ângulo cujo cosseno é ero, ou seja, = arccos 0 = 90 o v Eemplo 4: Correlação no mercado financeiro. No eemplo 4 da seção anterior, vimos como a projeção de vetores pode ser utiliada como uma medida da correlação entre dois índices financeiros. Neste eemplo, faremos o cálculo do ângulo entre os vetores que representam esses dois índices. Utiliando os vetores (Dow Jones) e (Ibovespa) dados por aquele eemplo, podemos calcular de modo que, 14,38, 3,781 e 3,801, cos 14, 38 3,781 3,801 0,997 e arccos 0,997 4,56 o. Portanto, pode-se ver que os dois vetores estão bem próimos, em termos do ângulo que os diferencia. A Leitura Complementar tra uma outra aplicação do produto interno, que é a medida da distância entre elementos do R n.

8 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 8 Resumo Ortogonalidade entre dois vetores. Dois elementos e do R n são ortogonais se o produto interno deles for nulo, isto é, se, = 0. Projeção de um vetor sobre outro vetor. A projeção ortogonal de um elemento do R n sobre outro elemento do R n é dada por P =,,. Ângulo entre dois vetores. Dois elementos e do R n forma entre si um ângulo dado pela equação cos =,.

9 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 9 Leitura Complementar Distância entre elementos do R n Um conceito associado à norma de um vetor é o da distância entre dois elementos do R n, também chamados de vetores, em analogia com aquele conjunto de segmentos de retas orientadas. Para isso, generaliaremos a noção de distância entre dois pontos no plano. Em um espaço plano, a distância entre dois pontos é o comprimento da linha reta que os conecta. Se conhecermos as posições de dois pontos em um sistema cartesiano de coordenadas, podemos determinar a distância entre eles usando a trigonometria. Para isso, consideremos a figura a seguir, onde representamos um elemento P = ( 1, 1 ) e um elemento Q = (, ), ambos do R. 1 P d 1 Q d 1 1 Desenhando um triângulo retângulo cuja base é dada por 1 e cuja altura é 1, a base e a altura correspondem aos catetos do triângulo retângulo e a distância d entre os dois pontos é a hipotenusa desse triângulo. Usando o Teorema de Pitágoras, d = ( 1 ) + ( 1 ) d = ( 1 ) + ( 1 ). Portanto, temos a seguinte fórmula para a distância entre os dois pontos: d = ( 1 ) + ( 1 ) = P Q,P Q = P Q. Eemplo 1: calcule a distância entre os pares ordenados = (, 1) e = (4,). Solução: = (, 3) e d = ( ) + ( 3) = = 13 3, 60. O mesmo conceito de distância se aplica a elementos do R 3, como no eemplo a seguir. Eemplo 4: calcule a distância entre as ternas ordenadas = (6, 3, ) e = (, 3, 1). Solução: = (4, 6, 3) e d = = = 50 7, 07. Observação: note que estamos aproimando os valores das raíes por meio de números decimais, mas sempre escrevendo o sinal (aproimadamente). Os valores reais das distâncias são aqueles em forma de raíes. Os gráficos dos vetores dos eemplos 1 e, indicando as distâncias entre eles, são feitos a seguir V d d

10 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/ Podemos generaliar esse conceito de distância para elementos do R n, como é feito na definição a seguir. Definição 4 - A distância entre dois elementos e do R n é dada por d =. Essa noção de distância é utiliada no eemplo a seguir no mercado financeiro. Eemplo 3: Correlação no mercado financeiro. No eemplo 4 da seção 1.4., vimos como a projeção de vetores pode ser utiliada como uma medida da correlação entre dois índices financeiros. Neste eemplo, faremos o cálculo da distância entre os vetores que representam esses dois índices. Utiliando os vetores (Dow Jones) e (Ibovespa) dados por aquele eemplo, podemos calcular d = = [ ( 0,11) + ( 0,06) + (0,09) + ( 0,19) + ( 0,05) + (0,04) + (0,09) + +(0,07) + ( 0,01) + ( 0,04) + ( 0,04) + (0,0) + (0,07) + (0,07) ] 1/ 0,0916 0,306, o que é uma distância bastante pequena.

11 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/ Leitura Complementar Menor distância entre dois vetores Uma aplicação da projeção de um vetor sobre outro é a medida da menor distância entre dois vetores. De acordo com a definição de vetor, eles estão em todo o espaço e por isso não deveria haver distância entre um e outro vetor. No entanto, como a representação de um vetor é uma semireta orientada, então podemos considerar a distância mínima entre dois vetores como sendo a distância mínima de duas semiretas que os representam, sendo que as duas devem partir da mesma origem (primeira figura a seguir). Essa mesma figura mostra diferentes distâncias entre as duas semiretas. Olhando para essas distâncias, podemos concluir que a menor distância entre essas duas semiretas é aquela em que temos um ângulo de 90 o com a semireta que representa o vetor. Na segunda figura, associamos a essa distância a projeção do vetor sobre o vetor quando estes formam um ângulo entre si. P A P Como foi visto no teto principal deste capítulo, a projeção do vetor sobre o vetor é dada pelo vetor P =,. No entanto, este não é o vetor que nos é importante no momento e sim o vetor A ortogonal, a mostrado na terceira figura acima. Esse vetor é tal que P +A =, ou seja, A = P. A distância mínima entre as duas semiretas é o módulo desse vetor, ou seja, d mín = A = P. Essa fórmula também é válida para vetores em três dimensões e pode ser entendida como a definição de distância mínima entre vetores do R n. Eemplo 1: calcule a menor distância entre = (3,) e = (5, 1). Solução: o cálculo da projeção de sobre já foi feito no teto principal do capítulo, mas é repetido aqui: P =,, = (5, 1) = + ( 1) 6 (5, 1) = 1 (5, 1) = O vetor A da figura ao lado fica, então, A = P = (3, ) de modo que (1 ) d mín = A = + ( ) ( 5 1, 1 =, 5 ), ( ) 5, 1 ( ) 5 1 = = 4 =, P A

12 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/009 1 Eemplo : calcule a projeção P da terna ordenada = (5,4,) sobre a terna ordenada = (,5,4) e faça uma representação vetorial de, e P. Solução: o cálculo da projeção de sobre já foi feito no teto principal do capítulo, mas é repetido aqui: P =,, = (, 6, 4) = = (, 6, 4) = (, 6, 4) = = 4 ( 8 7 (, 6, 4) = 7, 4 7, 16 ) O vetor A fica A = P = (, 5, 4) de modo que d mín = A = ( 8 7, 4 7, 16 ) ( 6 = 7 7, 11 7, 1 ) = 49 = 1 301, 48. 7, P

13 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/ Eercícios - Capítulo 1.4 Nível 1 Ortogonalidade Eemplo 1: verfique se os vetores = (, 1, 5) e = ( 1, 3, 1) são ortogonais. Solução:, = (, 1, 5), ( 1, 3, 1) = = 0, de modo que e são ortogonais. E1) Verifique se os seguintes vetores são ortogonais: a) = (4, 1) e = (1,3). b) A = (,,3) e B = (4,1, ). c) = (1,,3, 1) e = ( 1,3,1, ). Projeção ortogonal Eemplo : calcule a projeção ortogonal do vetor = (,3,4) sobre o vetor = (1, 1,0). Solução: P =,, = (1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) = ( 1, 1 ), 0. E) Calcule as projeções ortogonais do vetor = ( 1,,3) sobre os seguintes vetores: a) = (,1,). b) A = ( 1,1,4). c) B = (1,0,0). Ângulos entre vetores Eemplo 3: calcule o ângulo (até uma precisão de 1 o ) entre os vetores = (1,,4) e = (6, 3,). Solução: sabemos que cos =,. O produto escalar é dado por Calculando os módulos, temos, = ( ) ( 3) + 4 = = 0. = 1 + ( ) + 4 = = 1, = 6 + ( 3) 3 + = = 49 = 7. Substituindo esses resultados na fórmula para o ângulo, obtemos cos = = arccos O resultado acima é eato. Se quisermos aproimar o resultado para um ângulo com precisão de até 1 o, podemos escrever 51 o. E3) Calcule os ângulos (até uma precisão de 1 o ) entre os seguintes vetores: a) = (, 1,3) e = (3,,1). b) A = (1,1,1) e B = ( 1, 1, 1). c) C = (4,, ) e D = (3,,). d) E = (,0,0) e F = (0,0,3). Observação: use os resultados arccos 0 = 90 o, arccos o, arccos ( 1) = 180 o, arccos o.

14 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/ Nível E1) Determine α de modo que os vetores U = (α, α, ) e V = ( 3, 3, 3) sejam perpendiculares (ortogonais) entre si. E) Qual é o objeto geométrico formado por todos os vetores ortogonais a um vetor? E3) (Leitura Complementar 1.4.1) Calcule as distâncias entre seguintes vetores: a) = (, 1,3) e = (3,,1). b) A = (1,1,1) e B = ( 1, 1, 1). c) C = (4,, ) e D = (3,,). d) E = (,0,0) e F = (0,0,3). E4) (Leitura Complementar 1.4.) Calcule as menores distâncias entre vetores do eercício E3. Nível 3 E1) Determine o vetor W de módulo 1 que esteja entre os vetores U = (4,) e V = (,4) e que esteja sobre a bissetri entre esses dois vetores (lembrando que a bissetri entre dois vetores é a linha que divide o ângulo entre eles em dois ângulos idênticos). E) Considere um cubo de lado l. Calcule o ângulo entre um dos lados desse cubo e a diagonal desse cubo. E3) Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. E4) Prove que um vetor que forma os ângulos α, β e γ com os versores (vetores de módulo 1) I = (1,0,0), J = (0,1,0) e K = (0,0,1), respectivamente, são tais que cos α + cos β + cos γ = 1. E5) (Leitura Complementar 1.4.1) Determine um vetor que tenha a mesma direção que o vetor U = (1, 6, 1) e que esteja à mesma distância do vetor V = (1,,3) que o vetor W = ( 3,,1). E6) Calcule os ângulos internos do triângulo cujas arestas são dadas por A = (1, 1), B = (,4) e C = ( 3,). E7) Se U é ortogonal a V e a W, então ele é ortogonal a V + W? Justifique a sua resposta. E8) Se U é orotognal a V + W, então U é ortogonal a V e a W? Justifique a sua resposta. E9) Se U, V = U, W para um determinado vetor U, então V = W? Justifique a sua resposta. E10) Se U + V = 0, então U = V? Justifique a sua resposta. E11) Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas faces. E1) Calcule o ponto médio entre = ( 1,, 1) e = (3, 4, 3). Respostas Nível 1 E1) a) Não são ortogonais. b) São ortogonais. c) Não são ortogonais. ( 4 E) a) P = 3, 3, 4 ) (. b) P A = 5 3 6, 5 6, 10 ). c) P B = ( 1, 0, 0). 3 E3) a) 38 o. b) 180 o. c) 53 o. d) 90 o.

15 Cálculo - Capítulo Aplicações do produto interno - versão 0/ Nível E1) α = /3. E) Um plano. E3) a) 6. b) 1. c) 17. d) E4) a) 6, 3. b) 1, 15. c), 1. d) Nível 3 E1) W = (, E) = arccos ) o. E3) Podemos desenhar um losango como na primeira figura abaio. Definimos, então, os vetores U e V como na segunda figura a seguir, onde U = V, pois o losango tem que ter lados iguais. U + V V V U Uma das diagonais do losango pode ser vista como sendo o vetor U + V e a outra diagonal como o vetor U V (terceira figura acima). O produto interno entre esses dois vetores é U U V U + V, U V = U, U U, V + V, U V, V = U U, V + U, V V = U V = 0, pois U = V. Por isso, as diagonais do losango formam um ângulo de 90 o entre si (são perpendiculares). E4) Dado um vetor V = (v, v, v ), da definição de produto interno em termos dos módulos dos vetores que o compõe V, I e do ângulo entre eles, cosα = V I = v V, J, cosβ = V V J = v V, K e cosβ = V V K = v V. Então, cos α + cos β + cos γ = E5) O vetor pode ser dado por A = U ou por B = U. ( ) 11 E6) Os ângulo são α = arccos 5 64 o, β = arccos 6 E7) Sim, pois U, V + W = U, V + U, W = = 0. ( ) ( ) ( ) v v v + + = v + v + v V V V V ( ) 57 o e γ = arccos = v + v + v v + v + v = 1. ( ) 59 o. E8) Não, pois se W = V, então U, V + W = U, 0 = 0, mas W e V não precisam ser ortogonais a U. E9) Não, pois se V W forem ambos ortogonais a U, então U, V = U, W = 0, de modo que podemos ter V e W distintos tais que U, V = U, W. E10) Sim, pois U + V = 0 U + V = 0 U = V. E11) = arccos 6 35 o. E1) (1, 1, ).